超快激光器腔內(nèi)動力學(xué)模型和函數(shù)

1、 超快激光器腔內(nèi)動力學(xué)模型和函數(shù) 1 傅里葉變換（復(fù)習(xí)） (Fourier Transform)2 分布傅里葉法 (Split-step Fourier Method, SSFM)3 超快激光腔內(nèi)數(shù)值分析方法 (Numerical Solutions of ultrafast lasers)1 傅里葉變換 （復(fù)習(xí)） (Fourier Transform)1.1 變換域分析 (Transform-Domain Analysis)1. 傅里葉傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩，黑格爾是一首辯證法的詩。 恩格斯Jean Baptiste Joseph Fourier， 17681830法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家。熱的解

2、析理論：記載著傅里葉級數(shù)與傅里葉積分的誕生，公認為數(shù)學(xué)史，乃至科學(xué)史上一部劃時代的經(jīng)典著作。 傅里葉變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計學(xué)、信號處理、密碼學(xué)、海洋學(xué)、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（wiki），這是傅里葉本人及其同時代人都難以預(yù)料到的！“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和” 傅里葉的第一個主要論點2. 傅里葉的兩個最主要的貢獻“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示” 傅里葉的第二個主要論點3. 時域 vs. 變換域 什么是變換？ 通過提取信號特征進行信號分析的一種工具(數(shù)學(xué)工具)。簡言之，一種特征 另一種特征傅里葉變換時間域(時域)特征 頻

3、率域(頻域)特征傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成。 4. 本章內(nèi)容與重點 本節(jié)的思路傅里葉級數(shù) 傅里葉變換 卷積定理 抽樣定理本節(jié)的重點 傅里葉變換的性質(zhì)與應(yīng)用 卷積定理 抽樣定理1.2 周期信號的傅里葉級數(shù)分析 Fourier Series Representation of Periodic Signals1. 傅里葉級數(shù) (Fourier Series) 三角函數(shù)式的傅里葉級數(shù)：周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù)：正交性函數(shù)內(nèi)積/點積2. 三角函數(shù)式的傅里葉級數(shù)周期信號 f(t)，周

4、期 T1，角頻率直流分量：余弦分量幅度：正弦分量幅度：直流分量The DC Components基波分量 (n=1)the fundamental componentsthe 1st harmonic components諧波分量 (n1)The nth harmonic components利用正交性求解3. 狄利克雷條件 (The Dirichlet Conditions)(1) 在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；(2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點；(3) 在一個周期內(nèi)絕對可積，即；并不是任意周期信號都能做傅里葉級數(shù)展開，須滿足上述狄利克雷條件（一般均滿足）。4. 周期信號的頻譜 (Spec

5、trum) *各分量的幅度 以及相位 都是 的函數(shù)。幅度頻譜（幅度譜）相位頻譜（相位譜）這種圖形清晰地顯示了周期信號的頻域特性，從頻域角度反映了該信號攜帶的全部信息。幅度譜相位譜5. 周期信號的頻譜特性 *(1) 離散性(2) 諧波性（整數(shù)倍）(3) 收斂性（幅度譜）一般隨 總是趨于零譜線沿頻率軸呈離散分布只含有基波頻率整數(shù)倍的諧波成分6. 復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集： 級數(shù)形式： 系數(shù)：（利用復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交特性）（周期信號可以由復(fù)指數(shù)信號 加權(quán)疊加而成）6. 復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) (1) (2)周期信號可分解為 區(qū)間上的復(fù)指數(shù)信號的線性組合。如果給出 ，則 唯一確定；反之依

6、然。(1) 和 (2) 可稱為一對變換對。6. 復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（ 為正整數(shù)）歐拉公式7. Fn 與其他系數(shù)的關(guān)系仍是 對應(yīng)的直流項不變“幅度” 減半8. 周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜 *復(fù)數(shù)幅度譜復(fù)數(shù)相位譜關(guān)于 的偶函數(shù)（實際n只取正值）關(guān)于 的奇函數(shù)（實際n只取正值）關(guān)于 的偶函數(shù)關(guān)于 的奇函數(shù)復(fù)數(shù)幅度譜復(fù)數(shù)相位譜與幅度譜相位譜比較9. 周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜特性 *(2) 出現(xiàn)了負頻率分量 F-n，沒有物理意義，只是方便運算。(1) cn 是實函數(shù)，F(xiàn)n 一般是復(fù)函數(shù) (數(shù)學(xué)變換的結(jié)果)。(3) 當(dāng) Fn 是實函數(shù)時，可用 Fn 的正負表示 0 和相位， 幅度譜和相位譜合一。bn= 0f (

7、t) 是偶函數(shù) 是實函數(shù)，分解成虛函數(shù)，必須有共軛對 和 ，才可能保持分解過程中 實函數(shù)的性質(zhì)不變。只有把正負頻率項成對合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)。周期（偶對稱）矩形脈沖信號的復(fù)數(shù)頻譜10. 周期信號的功率特性 周期信號的平均功率：帕塞瓦爾(Parseval) 定理：11. 對稱信號的傅里葉級數(shù) (1)(1) 偶函數(shù)：三種對稱形式： (2) 奇函數(shù)：(3) 奇諧函數(shù)：( 半波對稱 )任意周期函數(shù)： 偶函數(shù)項奇函數(shù)項11. 對稱信號的傅里葉級數(shù) (2)(1) 周期偶函數(shù)是實數(shù)周期偶函數(shù)只含直流分量和余弦分量(偶分量)例如： 周期三角函數(shù)是偶函數(shù)。f(t)T1/2T1/2tE11. 對稱信號的傅

8、里葉級數(shù) (3)(2) 周期奇函數(shù)是純虛數(shù)周期奇函數(shù)只含正弦分量 (奇分量)常規(guī)意義上的奇函數(shù)沒有直流分量一般意義上的奇函數(shù)可以是“ DC + 常規(guī)奇函數(shù) ”11. 對稱信號的傅里葉級數(shù) (4)(3) 奇諧函數(shù) 沿時間軸移半個周期； 相對時間軸上下反轉(zhuǎn)； 波形不變。半周期 (半波) 對稱T1/2T1/20tf (t)奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)系數(shù)周期奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的正、余弦分量( n為偶數(shù) )( n為奇數(shù) )( n為奇數(shù) )“奇諧”函數(shù)的由來例：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量偶對稱的奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的余弦分量奇對稱的奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的正弦分量12. 傅里葉

9、有限級數(shù) 實際應(yīng)用中，n = N, N是有限整數(shù)。 如果 N 愈接近 n ，則其誤差愈??； 若用 2N1 項逼近，則；如果要完全逼近原周期信號，則 n = 誤差函數(shù)與方均誤差誤差函數(shù)方均誤差例如：對稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)E/2-E/2T1/4-T1/4t對稱方波有限項的傅里葉級數(shù) N = 1 N = 3 N = 5有限項的N越大，誤差越小例如: N=11由以上可見：N越大，越接近方波快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真有吉伯斯 (Gibbs) 現(xiàn)象發(fā)生吉伯斯 (Gibbs) 現(xiàn)象隨著N的增加，部分和的起伏向不

10、連續(xù)點處壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小約為跳變幅度的 9%N=1 N=3N=7 N=19N=791.3 典型周期信號的傅里葉級數(shù)(Fourier Series Representation of Typical Periodic Signals)典型的周期信號 周期矩形脈沖信號 * 周期鋸齒脈沖信號 周期三角脈沖信號 周期半波脈沖信號 周期全波脈沖信號自學(xué)內(nèi)容1. 周期矩形脈沖信號的頻譜 f(t)：脈寬，幅度 E，周期 T1在一個周期內(nèi) ( T1/2 t T1/2 )：紅色部分：一個周期1.1 三角函數(shù)式傅里葉級數(shù)直流分量：余弦分量幅度：正弦分量幅度：1.2 周期矩形脈沖信號的頻譜

11、 (單邊譜)除原點外，其零點由 sin( ) 函數(shù)決定。1.3 復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)方法一：根據(jù)定義方法二：根據(jù)系數(shù)相互關(guān)系周期偶函數(shù)性質(zhì)：1.4 周期矩形脈沖信號的復(fù)數(shù)頻譜 (雙邊譜)1.5 周期矩形脈沖信號的頻譜特性 *(2) 各分量的大小與脈幅 E 成正比， 與脈寬成正比，與周期成反比。(1) 頻譜是離散的，譜線間隔為基波頻率； 脈沖重復(fù)頻率越低(即T1越大)，譜線越密集。(3) 各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化； 過零點為： 。(4) 含有無窮多條譜線，但其主要能量集中在第一零點以內(nèi)。 低頻信號能量大。 信號帶寬 。1.6 周期矩形脈沖信號的頻譜變化規(guī)律(1)(2)脈沖重復(fù)頻率越低 (即 )

12、，譜線越密集 ( )。時， ，頻譜連續(xù)一般信號的 “傅里葉變換”引申：T1 ：信號的周期脈寬基波頻率 11.8 周期矩形脈沖信號傅里葉級數(shù)小結(jié)傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)的系數(shù)1.4 傅里葉變換 * Fourier Transform1. 從傅氏級數(shù)到傅里葉變換 (FT)傅里葉級數(shù) 周期信號傅里葉變換 非周期信號 把非周期信號的情況作為“周期 ”的周期信號的這種極限來處理，可由傅里葉級數(shù)推演出傅里葉變換，而進一步借助奇異函數(shù)，可以求得周期信號的傅里葉變換。回顧：周期脈沖的頻譜分析時，譜線高度從數(shù)學(xué)意義上看： 時，譜線長度 看似以傅里葉級數(shù)表示的頻譜將化為烏有！但無窮多無窮小量之和不一定為零。從物理意義上看

13、：無論信號怎樣分解，其能量不變。因此周期趨無窮的信號，其頻譜分布依然存在。1.1 頻譜密度函數(shù) (Spectrum Density)當(dāng) 時， ，但有可能：單位頻帶的頻譜值：“頻譜密度”的概念有：令：f (t) 的頻譜密度函數(shù)，簡稱 “頻譜函數(shù)”稱為“傅里葉變換”1.2 傅里葉變換對 * (Fourier Transform Pair)傅里葉逆變換傅里葉正變換 (Fourier Transform)傅里葉逆變換 (Inverse Fourier Transform)1.3 討論(1) 反映信號的時域特征， 反映頻域特征，這是傅里葉變換的本質(zhì)。(2) 非周期信號與周期信號均可以分解為不同的頻率分量。周期信號表述為無限多頻率分量的離散和非周期信號表述為無限多頻率分量的連續(xù)和離散性諧波性非周期信號在所有頻率上都有分量(3) 一般都為復(fù)函數(shù)，但：(4) 非周期信號各頻率分量的頻率不再具有諧波關(guān)系。(5) 具有離散頻譜的信號，其功率集中在一些諧波分量之中。 具有連續(xù)頻譜的信號，其功率分布在所有頻率之中， 每一頻率分量之功率 0表示周期信號各頻率分量的復(fù)振幅，模為有限