《物理場論》時變電磁場課件

1、第3章 時變電磁場張元中中國石油大學（北京）地球物理與信息工程學院物理場論第2篇：電磁場第1頁，共60頁。主要內(nèi)容第1節(jié) 法拉第電磁感應定律、準靜態(tài)場和電荷守恒定律第2節(jié) 完備的Maxwell方程組第3節(jié) 電荷和電流的劃分；感應、極化和磁化第4節(jié) 時變電磁場的位函數(shù)第5節(jié) 時變電磁場的波動方程第6節(jié) 時變電磁場的坡印亭定理第7節(jié) 平面電磁波的傳播第2頁，共60頁。第1節(jié) 法拉第電磁感應定律、準靜態(tài)場和電荷守恒定律法拉第（Faraday）電磁感應定律法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），偉大的英國物理學家和化學家。他創(chuàng)造性地提出場的思想，磁場這一名稱是法拉第最早引入的。

2、他是電磁理論的創(chuàng)始人之一，1831年發(fā)現(xiàn)電磁感應定律，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的抗磁性和順磁性，以及光的偏振面等。第3頁，共60頁。電磁感應定律當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應電動勢，且感應電動勢正比于磁通量對時間變化率的負值。國際單位制韋伯伏特第4頁，共60頁。電磁感應定律 磁通量：感應電動勢：電磁感應定律的微分形式感應電動勢分為： 動生電動勢：導體相對磁場運動引起。 感生電動勢：磁場隨時間變化引起。第5頁，共60頁。電磁感應定律令 討論：電場是由隨時間變化的磁場和聚集電荷產(chǎn)生，對于恒定磁場， 不隨時間變化，則有 ，與前面的討論一致。 第6頁，共60頁。 有一半徑

3、為a、高度為h的圓盤，電導率為。把圓盤放在磁感應強度為B的磁場中, 其方向垂直盤面。設磁場隨時間變化，且dB/dt=k，k為一常量。求盤內(nèi)的感應電流。電磁感應定律應用舉例渦流與電磁爐原理！第7頁，共60頁。已知求：解：如圖取一半徑為 r ,寬度為dr ,高度為h 的圓環(huán)。圓環(huán)中感生電動勢為代入已知條件得又則第8頁，共60頁。計算得到圓環(huán)中電流：圓盤中的感應電流為：第9頁，共60頁。電荷守恒定律大量實驗表明：孤立系統(tǒng)的電荷總量保持不變。在任何時刻，系統(tǒng)中正負電荷的代數(shù)和保持不變，稱為電荷守恒定律。電荷守恒定律意義：孤立系統(tǒng)中產(chǎn)生或湮沒某種符號的電荷，必有等量異號的電荷伴隨產(chǎn)生或湮沒。孤立系統(tǒng)總電

4、荷量增加或減小，必有等量電荷進入或離開該系統(tǒng)。第10頁，共60頁。電荷守恒定律積分形式：微分形式：電流連續(xù)性方程 恒定條件下 第11頁，共60頁。準靜態(tài)場 在靜電場中： 在恒定磁場中： 若 ，通常t時刻的電荷和電流經(jīng)過時間r/c后才影響到P點的 和 ，即有滯后現(xiàn)象。 通常把隨時間變化的源 和 產(chǎn)生的 和 稱為推遲位（推遲勢）。 若P點的 和 與 和 的關(guān)系和靜態(tài)場中的關(guān)系完全一樣，稱為準靜態(tài)場。 只有當場存在區(qū)域的尺寸遠小于波長時，即f很小時，準靜態(tài)場的條件才能滿足。 第12頁，共60頁。麥克斯韋：18311879，英國物理學家。經(jīng)典電磁場理論的奠基人，氣體動力理論創(chuàng)始人之一。1865年，提出

5、了有旋電場和位移電流的概念，建立了經(jīng)典電磁場理論，并預言了以光速傳播的電磁波的存在。在氣體動力理論方面，他還提出了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。麥克斯韋（James Clerk Maxwell）第13頁，共60頁。第2節(jié) 完備的 Maxwell方程組位移電流密度這顯然是錯誤的！ 為了對 進行修正，Maxwell發(fā)揮天才設想，引入 （定義為位移電流密度），得到位移電流包括極化電流和變化的電場兩部分第14頁，共60頁。位移電流密度 揭示磁場可以由脫離電荷以外的電場的變化來激發(fā)； 揭示電磁場可以相互激發(fā)和轉(zhuǎn)化，預示電磁波的存在，計算出真空中電磁波的速度： 全電流包括傳導電流、位移電流和真空或氣體中自

6、由電荷運動形成的運流電流。引入位移電流以后，則全電流在任何情況下都是連續(xù)的。1888年1月21日，赫茲證實了電磁波的存在！ （ 真空中的光速）第15頁，共60頁。Maxwell方程組的微分形式“電磁場的精華”Maxwell被認為是“一貫正確的人”，玻耳茲曼(18441906)引述歌德的詩贊美Maxwell：“寫出這些符號的是上帝嗎？”“嘆問這莫非是神譜寫的如美妙的詩句嗎？”第16頁，共60頁。電磁場的本構(gòu)關(guān)系 自由空間： 靜止的各向同性介質(zhì)： 靜止的各向異性介質(zhì)： 說明：Maxwell方程組中7個方程是獨立的 ，本構(gòu)方程中9個方程是獨立的，共16個方程，16個未知數(shù)，因此理論上可以求解。第17

7、頁，共60頁。Maxwell方程組的積分形式（Faraday電磁感應定律） （廣義安培環(huán)路定律，全電流定律） （高斯定律）（磁通連續(xù)性定律） （電流連續(xù)性方程） 注意：微分形式要求介質(zhì)的連續(xù)性；積分形式可以在介質(zhì)不連續(xù)處成立。 第18頁，共60頁。Maxwell方程組的復數(shù)形式 工程實際中，會遇到一種特殊形式的時變電磁場：諸場量隨時間做正弦或余弦形式的變化，即隨時間做簡諧變化，這種形式的時變電磁場稱為時諧電磁場，其時間因子為，得到Maxwell方程組的復數(shù)形式： 第19頁，共60頁。邊界條件 在不同介質(zhì)的分界面處，由于介質(zhì)參數(shù)發(fā)生突變，Maxwell方程組的微分形式失去意義，代替它的是以積分形

8、式場方程導出的分界面處電磁場各分量的連續(xù)條件（邊界條件）為：（切向連續(xù)） （切向的不連續(xù)量為邊界面電流密度） （法向 的不連續(xù)量為邊界面電荷密度） （法向 連續(xù)）第20頁，共60頁。常用的邊界條件 介質(zhì)I為理想導體，介質(zhì)II為一般介質(zhì) 介質(zhì)I、II均為一般介質(zhì) 介質(zhì)I、II均為理想電介質(zhì) 第21頁，共60頁。第3節(jié) 電荷和電流的劃分；感應、極化和磁化 電荷的劃分 自由電荷：能夠被宏觀分離并能在宏觀范圍內(nèi)運動的正電荷或負電荷。如：金屬導體內(nèi)的自由電荷，電解質(zhì)溶液中的正負離子。 極化電荷（束縛電荷）：不能被宏觀分離也不能在宏觀范圍內(nèi)運動的正負等量電荷。第22頁，共60頁。電流的劃分 傳導電流：在外

9、電場作用下，自由電荷宏觀運動形成的電流。 極化電流：在外電場作用下，電介質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)向極化或位移極化，形成極化電荷，其宏觀效果等價于在電介質(zhì)中形成極化電流。 磁化電流：在外磁場作用下，磁介質(zhì)產(chǎn)生磁化現(xiàn)象，磁化的宏觀效果等價于形成了磁化電流，盡管分子內(nèi)的電子與原子核均未宏觀移動。 通常極化電流和磁化電流統(tǒng)稱為誘導電流。第23頁，共60頁。感應、極化和磁化 感應：在外電場作用下，介質(zhì)中自由電荷的某種宏觀分布和宏觀運動，用感應電荷和傳導電流表示。 極化：在外電場作用下，介質(zhì)中極化電荷的某種宏觀分布和宏觀運動，用極化電荷密度和極化電流表示。 磁化：在外磁場作用下，介質(zhì)呈現(xiàn)的磁性，是由宏觀磁化電流引起。第2

10、4頁，共60頁。第4節(jié) 時變電磁場的位函數(shù)位函數(shù)的定義和物理意義 時變場的輔助位函數(shù)本身不具有任何物理意義而僅是數(shù)學運算上的輔助量； 由于電磁場的不可分割性，輔助電位函數(shù)和輔助磁位函數(shù)之間是互相關(guān)聯(lián)的。 3種輔助函數(shù)： 矢量電位和標量磁位 赫茲電位和赫茲磁位 矢量磁位和標量電位第25頁，共60頁。矢量磁位和標量電位令代入 的散度方程和 的旋度方程 對于只有電流、電荷源而無磁流、磁荷源的情況，可以利用矢量磁位和標量電位來研究： 根據(jù) ，定義一矢量位 ，把 代入 的旋度方程第26頁，共60頁。矢量磁位和標量電位代入 的散度方程和 的旋度方程此為達朗貝爾（DAlembert）方程組。 第27頁，共6

11、0頁。矢量磁位和標量電位引入附加條件洛倫茲規(guī)范 ：可得 形式的波動方程： 第28頁，共60頁。矢量磁位和標量電位在時諧場 條件下，方程變?yōu)椋捍藭r洛侖茲規(guī)范為： 第29頁，共60頁。矢量磁位和標量電位或 在洛倫茲規(guī)范條件下，對于時諧場無須從達朗貝爾（DAlembert）方程組分別求出 和 ，而只需求出 即可，此時 第30頁，共60頁。第5節(jié) 時變電磁場的波動方程電磁場波動方程的導出對 再取一次旋度可得：(1)第31頁，共60頁。電磁場波動方程的導出 對 再取一次旋度可得：(2) 方程（1）和（2）說明 和 隨時間和空間而變化，電磁場以波動的形式存在。電磁波是電磁場的存在形式。方程（1，2）稱為波

12、動方程。第32頁，共60頁。電磁場波動方程的導出 波動方程的一般形式為：此公式是對變量的二階時間微分與二階空間微分的組合。若 ，稱為齊次波動方程。 時諧的波動方程為：第33頁，共60頁。波動方程求解矢量波動方程的兩種解法： 把矢量波動方程分解為標量波動方程，此標量是矢量在所選坐標系中的分量，通過求解標量波動方程再求得待解的矢量函數(shù)； 直接求滿足矢量波動方程的解。分離變量法：稱為波數(shù)。 令 代表待求矢量波動方程解的直線坐標分量，滿足標量波動方程（亥姆霍茲方程）：第34頁，共60頁。波動方程求解（1）直角坐標系中的標量波函數(shù) 圓柱坐標系中的標量波函數(shù)： 圓柱坐標系中，上式的展開式為 令 ，分離變量

13、可得：（2）圓柱坐標系中的標量波函數(shù) 第35頁，共60頁。波動方程求解 特征方程： 第一式為Bessel方程，其解為Bessel函數(shù)的線性組合，其它兩個方程的解為三角函數(shù)的組合。 第36頁，共60頁。非齊次波動方程的求解非齊次波動方程的Green函數(shù)解法；時變場的標量Green函數(shù)和推遲位。自學該部分內(nèi)容。 第37頁，共60頁。第6節(jié) 時變電磁場的坡印亭矢量坡印亭定理定量地描述電磁場能量的運動和轉(zhuǎn)移，是電磁場中的能量和轉(zhuǎn)化守恒定律。 電場的能量密度（單位體積內(nèi)所儲存的電場能量）： 磁場的能量密度（單位體積內(nèi)所儲存的磁場能量）： 第38頁，共60頁。坡印亭矢量 能流密度矢量（坡印亭矢量） ：意義

14、：單位時間內(nèi)穿過一與之垂直的單位面積的能量。坡印亭定理 焦耳楞次定律的推導： 電荷dq在dt時間內(nèi)通過的距離為dl，做功為：第39頁，共60頁。坡印亭矢量 在微小圓柱體積元dV中，單位時間內(nèi)消耗的功，即功率為： 因此，單位體積內(nèi)所消耗的功率為： 得到焦耳楞次定律： （微分形式）（積分形式）第40頁，共60頁。坡印亭定理把 代入焦耳楞次定律積分表達式： 根據(jù)恒等式：第41頁，共60頁。坡印亭定理則：于是得到： 此式左邊項表示V內(nèi)電磁能量的減少率； 右端第一項表示熱能； 第二項表示穿過S面的逸散的能量。 即體積V內(nèi)的電磁儲能的減少率，等于電磁能轉(zhuǎn)化為熱能的部分及通過S面向外逸散的部分。 第42頁，

15、共60頁。用坡印亭矢量表示的坡印亭定理為：（積分形式）（微分形式） 坡印亭定理說明了電磁場是能量的儲存者和傳遞者。 無論是電力傳輸或電訊傳輸，都必須通過空間電磁波實現(xiàn)能量傳遞。坡印亭定理第43頁，共60頁。坡印亭定理 分別為的共軛復數(shù)，時諧電磁場的坡印亭定理為： 其實部具有的物理意義：等于一個時間周期內(nèi)瞬時坡印廷矢量的平均值，記為： 定義 為復坡印廷矢量。第44頁，共60頁。第7節(jié) 平面電磁波的傳播無損耗介質(zhì)（理想介質(zhì)）：介質(zhì)的電導率為零。有損耗介質(zhì)（導電介質(zhì)）：介質(zhì)的電導率不為零。從Maxwell方程出發(fā)，在線性各向同性和均勻介質(zhì)中，當只有傳導電流和位移電流的情況下，可以導出電磁場滿足的波動

16、方程：第45頁，共60頁。電磁波方程復數(shù)形式方程組可簡化為:其中， 是傳播常數(shù)或波數(shù)。是復介電常數(shù)。上述兩個方程具有相同的形式，在直角坐標系下其各分量均滿足標量方程：第46頁，共60頁。電磁波方程或復數(shù)形式： 無限大無損耗介質(zhì)中的均勻平面波通解形式為：在 的表達式中，前項為正向波，后項為反向波。下面的推導不考慮反向波，同時考慮時間因子可得： 第47頁，共60頁。電磁波方程若考慮實部即是：其中，波數(shù) ， 稱為相位常數(shù)（傳播常數(shù)），即傳播1米的相位變化，單位是弧度/米。 波速度： 為光速。 第48頁，共60頁。電磁波方程 波長： 為實數(shù)，無損介質(zhì)電場與磁場是同相的。 特性阻抗： 真空的特性阻抗：

17、平面波傳播特點：（1） 和 都垂直于波的傳播方向，是一個TEM波；第49頁，共60頁。電磁波方程 平面波傳播特點：（2） 和 相互垂直， 沿波傳播的方向。坡印亭矢量 的方向與傳播方向一致；（3） 和 同相位，振幅比為波阻抗 ；（4）波在傳播過程中無衰減，波形不變化。波的傳播常為 ，相速度為 ，波長 ； （5）波中的電場能量密度等于磁場能量密度，群速度和相速度相等。第50頁，共60頁。電磁波方程無限大有損耗介質(zhì)中的均勻平面波討論電場方程： 則：同理可得： 稱為波數(shù)， 是相位常數(shù)， 衰減常數(shù)，單位為奈培/米，表示波傳播1米時的衰減值。第51頁，共60頁。電磁波方程無限大有損耗介質(zhì)中的均勻平面波 衰

18、減長度（穿透深度，趨膚深度），是指電磁 波在其能量衰減為原來能量 的時穿過的距離。 相速度 波 長 第52頁，共60頁。電磁波方程無限大有損耗介質(zhì)中的均勻平面波 特性阻抗 電場與磁場不同相。第53頁，共60頁。電磁波方程無限大有損耗介質(zhì)中的均勻平面波 幾種介質(zhì)的特性參數(shù) 介質(zhì) m e s a b Vp l Z(Ohm) 空氣 m0 1 0 0 2p 3108 1 377 淡水 m0 81 0 0 56.55 33107. 0.111 42 海水 m0 81 4 58.3 81.3 232108. 0.077 23.7035ie 第54頁，共60頁。電磁波方程無限大有損耗介質(zhì)中的均勻平面波 和 的討論 無損耗介質(zhì) 弱