高中數(shù)學選修第一冊：2021版新教材-高中同步-數(shù)學人教A版-選擇性必修第一冊-考前必背

1、考 前 必 背第一章空間向量與立體幾何一、共線向量、共面向量定理1.共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b0),ab的充要條件是存在實數(shù),使a=b.2.共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.二、空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.三、空間向量運算的坐標表示1.空間向量運算的坐標表示設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).運算坐標表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)減法a-b

2、=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)乘a=(a1,a2,a3),R數(shù)量積ab=a1b1+a2b2+a3b32.空間向量常用結(jié)論的坐標表示設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).結(jié)論坐標表示共線ab(b0)a=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(R)垂直abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0向量長度|a|=aa=a12+a22+a32向量夾角公式cos=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b323.空間兩點間的距離公式設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,則P1P2=|P1P2|=(x2-x

3、1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.四、空間向量1.設直線l,m的方向向量分別為,v,平面,的法向量分別為n1,n2,則線線平行l(wèi)mv=v,R線面平行l(wèi)n1n1=0面面平行n1n2n1=n2,R線線垂直lmvv=0線面垂直ln1=n1,R面面垂直n1n2n1n2=0線線夾角l,m的夾角0,2,cos =|線面夾角l,的夾角為0,2,sin =|n1|n1|面面夾角,的夾角為0,2,cos =|n1n2|n1|n2|2.點到直線的距離設AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(au)u,點P到直線l的距離PQ=|AP|2-|AQ|2=a2-(au)2.3.點到平面的距離已知平面的法

4、向量為n,A是平面內(nèi)的定點,P是平面外一點,過點P作平面的垂線l,交平面于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面的距離PQ=APn|n|=APn|n|=|APn|n|.第二章直線和圓的方程一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角定義當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角規(guī)定當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0范圍0,)2.直線的斜率定義當直線l的傾斜角2時,其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tan 斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k=y2-y

5、1x2-x13.直線的方向向量直線的方向向量設A,B為直線上的兩點,則AB就是這條直線的方向向量方向向量的坐標設A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1x2),則直線AB的一個方向向量為AB=(x2-x1,y2-y1)方向向量與斜率若直線l的斜率為k,則直線l的一個方向向量為(1,k)4.兩條直線平行和垂直的判定對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2.位置關系判定特例平行l(wèi)1l2k1=k2直線l1,l2的斜率都不存在時,l1與l2平行垂直l1l2k1k2=-1一直線斜率為零,另一直線斜率不存在時,兩條直線垂直二、直線的方程直線方程的五種形式及適用范圍:名稱幾何條件方程適用條

6、件斜截式縱截距、斜率y=kx+b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y-y0=k(x-x0)兩點式過兩點yy1y2-y1=xx1x2-x1與兩坐標軸均不垂直的直線截距式橫、縱截距xa+yb=1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B20)所有直線三、直線的交點坐標與距離公式1.兩條直線的交點坐標直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標就是方程組A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.位置關系方程組的解的個數(shù)相交方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解平行方程組無解重合方程組有無數(shù)個解2.距離公式距離類型已知幾何元

7、素距離公式兩點間的距離兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2點到直線的距離點P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0d=|Ax0+By0+C|A2+B2兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0d=|C1-C2|A2+B2四、圓的方程圓的定義圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合圓的方程標準式(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圓心坐標:(a,b)半徑為r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圓心坐標:-D2,-E2半徑r=12D2+E2-4F五、直線與圓、圓與圓的位

8、置關系1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系判斷;(2)代數(shù)法:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,利用判別式判斷. 位置關系幾何法代數(shù)法相交d0相切d=r=0相離dr0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).方法位置關系幾何法:根據(jù)圓心距d=|O1O2|與r1+r2或|r1-r2|的大小關系進行判斷代數(shù)法:根據(jù)兩圓方程組成的方程組解的個數(shù)進行判斷外離dr1+r2無解外切d=r1+r2一組實數(shù)解相交|r1-r2|dr1+r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d0,c0,且a,c

9、為常數(shù)軌跡類型ac點M的軌跡為橢圓a=c點M的軌跡為線段ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)圖形標準方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)性質(zhì)范圍-axa,-byb-aya,-bxb對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a,a為長半軸長;短軸B1B2的長為2b,b為短半軸長焦距|F1F2|=2c離心率e=ca,e(0,1),其中c=a2-b2a,b,c的關系a2=b2+c2二、雙曲線1.雙曲線的定義定義

10、平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距符號語言集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,02a0,c0軌跡類型ac點M不存在2.雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)標準方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)圖形性質(zhì)范圍x-a或xa,yRxR,y-a或ya對稱性對稱軸:坐標軸對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)漸近線y=baxy=abx離心率e=ca,e(1,+),其中c=a2+b2軸實軸A1A2的長為2a

11、,a為實半軸長;虛軸B1B2的長為2b,b為虛半軸長a,b,c的關系c2=a2+b2三、拋物線1.拋物線的定義定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線符號語言集合P=M|MF|=d(d為點M到準線l的距離)特例當Fl時,動點M的軌跡是過F點垂直于l的直線2.拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì)圖形標準方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸y=0 x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,p2離心率e=1準線方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR開口方向向右向左向上向下四、直線與圓錐曲線的位置關系的判斷聯(lián)立直線l與圓錐曲線C的方程,消去x(或y),得ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),設其判別式為,則有:(1)若a=0,則當b=0時,l與C相離(無交點);當b0時,l與C相交(1個交點).(2)若a0,則當0時,l與C相交(2個交點);當=0時,l與C相切(1個交點)