《馬爾可夫預測》教學課件

1、馬爾可夫預測方法是根據俄國數(shù)學家馬爾可夫 (Markov) 的隨機過程理論提出來的，它主要是通過研究系統(tǒng)對象的狀態(tài)轉移概率來進行預測的。7.7 馬爾可夫預測第1頁，共50頁。一變量x，能隨機地取數(shù)據（但不能準確地預言它取何值），而對于每一個數(shù)值或某一個范圍內的值有一定的概率，那么稱x為隨機變量。 假定隨機變量的可能值xi發(fā)生概率為Pi 即P(x = xi) = Pi 對于xi的所有n個可能值，有離散型隨機變量分布列： Pi = 1 對于連續(xù)型隨機變量，有 P(x)dx = 1 一 隨機變量第2頁，共50頁。1、狀態(tài)：系統(tǒng)在某時刻出現(xiàn)的某種結果。 常用Ei表示（i=1，2，N）。2、狀態(tài)變量Xt

2、=i：表示系統(tǒng)在時刻t處于 Ei 。3、狀態(tài)轉移：系統(tǒng)由一種狀態(tài)轉移為另一種狀態(tài)。常用Ei Ej表示。二、狀態(tài)和狀態(tài)轉移第3頁，共50頁。狀態(tài)舉例：例1：人民生活水平可分為三種水平狀態(tài)：溫 飽、小康、富裕。例2：企業(yè)經營狀況可分為：盈利、不盈不虧、 虧損。例3：商品銷售狀況可分為：暢銷、平銷、滯 銷。狀態(tài)轉移舉例：例4：營業(yè)情況由盈利虧損。例5：商品由暢銷滯銷。第4頁，共50頁。1、無后效性：如果系統(tǒng)在狀態(tài)轉移過程中，系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關，而與過去的狀態(tài)無關。這種特性稱為無后效性或馬爾柯夫性。例：本月庫存只與本月調入調出、損耗及上月底庫存有關。2、遍歷性：又稱穩(wěn)定性，若轉移概率矩陣

3、不變，系統(tǒng)狀態(tài)經過許多步轉移之后將逐漸達到穩(wěn)定的狀態(tài)，且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關。例：市場最終占有率。三、無后效性和遍歷性第5頁，共50頁。池塘里有三張荷葉，我們將它們編號為1，2，3，有一只青蛙隨機地在荷葉上跳來跳去，假設在初始時刻t0，它在第一張荷葉上，在t1時刻，它有可能跳到第二張或者第三張荷葉上，也有可能在原地不動。無后效性舉例：第6頁，共50頁。第7頁，共50頁。四、馬爾柯夫鏈 如果一個系統(tǒng)具有 有限個狀態(tài)，狀態(tài)轉移的時間是離散（如月、季、年），且這種轉移具有無后效性，則稱此系統(tǒng)構成一個馬爾柯夫鏈。五、狀態(tài)轉移概率和轉移概率矩陣 設系統(tǒng)有N個狀態(tài)Ei（i=1，2，N），以狀態(tài)變量xt=i

4、表示在時刻t處于Ei（i=1，2，N），如果系統(tǒng)在時刻t處于Ei而在時刻t+1轉移到Ej的概率只與Ei有關而與t以前處的狀態(tài)無關，則此概率可表示為： Pij=P（EiEj）=P（ xt+1 =jxt =i） 并稱為一步轉移概率。 第8頁，共50頁。0 Pij 1 Pij =1所有Pij構成的矩陣為：稱為一步轉移概率矩陣。第9頁，共50頁。在多步轉移中，k步轉移概率記為：Pij（k）=P（Ei k Ej）=P（ xn+k =j xn =i） （i，j=1，2，N）所有Pij（k）構成的矩陣稱為k步轉移概率矩陣。P（k）與P的關系：可證明： P（k）=Pk P（k）= P（k-1）P=Pk-1P第

5、10頁，共50頁。例：設一步轉移矩陣為：第11頁，共50頁。 設系統(tǒng)有N個狀態(tài)Ei（i=1，2，N），用Pi表示系統(tǒng)在k時期處于狀態(tài)Ei（i=1，2，N）的概率，所有概率 所構成的向量，稱為狀態(tài)概率向量 。其中： 0Pi（k）1 （i=1，2，N） Pi（k）=1當k=0時， 反映系統(tǒng)在初始時狀態(tài)概率的分布情況，稱為起始狀態(tài)概率分布。六、預測模型第12頁，共50頁。由S（k+1）=S（k）P 可得遞推關系：這就是馬爾柯夫鏈的預測模型。第13頁，共50頁。馬爾柯夫預測法的步驟：1、確定系統(tǒng)的狀態(tài)Ei和S（0）；2、確定P；3、進行預測：S（k）=S（0）Pk第14頁，共50頁。例1：某地有甲、乙

6、、丙三家食品廠生產同一食品，有1000個客戶，假定無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶轉移，轉移表如下：試求其狀態(tài)轉移概率從 轉到甲乙丙合計甲4005050500乙2030080400丙101080100合計4303602101000第15頁，共50頁。解：狀態(tài)轉移概率為第16頁，共50頁。例2 設味精市場的銷售記錄共有 6 年 24 個季度的數(shù)據，見表。求味精銷售轉移概率矩陣。季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1用“1”表示暢銷用“

7、2”表示滯銷第17頁，共50頁。季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1 共24個季度數(shù)據，其中有15個季度暢銷，9個季度滯銷，現(xiàn)分別統(tǒng)計出:連續(xù)暢銷、由暢轉滯、由滯轉暢和連續(xù)滯銷的次數(shù)。 以 p11 表示連續(xù)暢銷的可能性，以頻率代替概率，得： 分子 7 是表中連續(xù)出現(xiàn)暢銷的次數(shù)，分母 15 是表中出現(xiàn) 暢銷的 次數(shù)，因為第24季度是暢銷，無后續(xù)記錄，故減1。2個狀態(tài): “1” 暢銷“2” 滯銷第18頁，共50頁。季度1234567891

8、01112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯2暢1滯2暢1暢1暢1 以 p12 表示由暢銷轉入滯銷的可能性：分子 7 是表中由暢銷轉入滯銷的次數(shù)。 以 p21 表示由滯銷轉入暢銷的可能性：分子 7 是表中由滯銷轉入暢銷的次數(shù)，分母數(shù) 9 是表中出 現(xiàn)滯銷的次數(shù)。2個狀態(tài):“1” 暢銷“2” 滯銷第19頁，共50頁。季度123456789101112銷售狀態(tài)暢1暢1滯2暢1滯2滯2暢1暢1暢1滯2暢1滯2季度131415161718192021222324銷售狀態(tài)暢1暢1滯2滯2暢1暢1滯

9、2暢1滯2暢1暢1暢1 以 p22 表示連續(xù)滯銷的可能性：分子 2 是表中連續(xù)出現(xiàn)滯銷的次數(shù)。綜上所述，得銷售狀態(tài)轉移概率矩陣為：第20頁，共50頁。例：某經濟系統(tǒng)有三種狀態(tài) （如暢銷、一般、滯銷），系統(tǒng)地轉移情況見下表，試求系統(tǒng)的二步狀態(tài)轉移概率矩陣。解：首先是寫出一步狀態(tài)轉移系統(tǒng)本步所處狀態(tài)系統(tǒng)下步所處狀態(tài)E1E2E3E121714E216812E31082二步轉移概率矩陣可由一步轉移概率矩陣通過公式 計算求出:第21頁，共50頁。 由一步轉移概率矩陣求出，由公式 計算得：第22頁，共50頁。例：某商店在最近20個月的商品銷售量統(tǒng)計記錄如下： 解：1、劃分狀態(tài)：按盈利狀況為標準（1） 銷售

10、量60千件 屬于滯銷（2） 60千件銷售量100千件 屬于一般（3） 銷售量100千件 屬于暢銷商品銷售量統(tǒng)計表 單位：千件 時間t1234567891011121314151617181920銷售量404580120110384050629011013014012055704580110120試預測第 21 期商品銷售狀態(tài)。第23頁，共50頁。2、計算初始概率 Pi 為使問題更為直觀，繪制銷售量散點圖如下，并畫出狀態(tài)分界線。由圖可算出處于：滯銷狀態(tài)的有： M1= 7一般狀態(tài)的有： M2= 5暢銷狀態(tài)的有： M3= 8第24頁，共50頁。3、計算初始轉移概率矩陣 計算狀態(tài)轉移概率時，最后一個數(shù)

11、據不參加計算，因為它究竟轉到哪個狀態(tài)尚不清楚。M11= 3， M12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23= 3， M31= 2， M32= 0， M33= 5從而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7滯銷狀態(tài)： M1= 7一般狀態(tài)： M2= 5暢銷狀態(tài)： M3= 8-1 第25頁，共50頁。4、預測第21月的銷售情況 由于第20月的銷售情況屬于暢銷狀態(tài)，而經由一次轉移到達三種狀態(tài)的概率是：P31= 2/7， P32= 0/7，

12、 P33= 5/7 P33 P32 P31 因此，第21月超過100千件的可能性最大。 即預測第21月的銷售狀態(tài)是“暢銷”。第26頁，共50頁。二、人力資源預測例：某高校教師狀態(tài)分為5類：助教、講師、副教授、教授、流失及退休。目前狀態(tài)(550人)： 根據歷史資料: 試分析三年后教師結構以及 三年內為保持編制不變應進多少研究生充實教師隊伍？ 第27頁，共50頁。一年后人員分布：要保持550人的總編制，流失76人，故第一年應進 76 位新教師。第二年：補充74人。第三年： 補充72人。 在第三年年底，人員結構為：第28頁，共50頁。三、預測:策略與市場占有率例： A、B、C三公司的產品市場占有率分

13、別為50%，30%，20%。由于C公司改善了銷售與服務，銷售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司卻下降。通過市場調查發(fā)現(xiàn)三個公司間的顧客流動情況如表所示。其中產品銷售周期是季度。問題：按目前趨勢發(fā)展，A公司產品銷售或客戶轉移的影響將嚴重到何種程度？更全面的，三個公司產品的占有率將如何變化？第29頁，共50頁。第30頁，共50頁。第31頁，共50頁。未來各期的市場占有率：C促銷政策：C的市場份額不斷增大，是否可持續(xù)下去？第32頁，共50頁。穩(wěn)態(tài)市場占有率問題： 穩(wěn)態(tài)市場占有率即為平衡狀態(tài)下的市場占有率，亦即馬氏鏈的平穩(wěn)分布。 可解得：最佳經營策略：因于A廠不利，A廠隨后制定兩套方案：第33頁，共50頁。最佳

14、經營策略A廠制定的兩套方案：甲方案 保留策略，拉住老顧客。 新的平衡狀態(tài)下、三公司的市場占有率分別為31.6，26.3，42.1，公司的市場占有率從17.65提高到31.6。 第34頁，共50頁。乙方案 爭取策略，挖客戶。乙方案：在新的平衡狀態(tài)下，、三家公司的市場占有率分別為33.3，22.2，44.5。 第35頁，共50頁。例：市場上有三種品牌的汽水，6月份市場占有率分別是30%、40%、30%。各品牌消費變化情況如下表：試求（1）8月份的市場占有率；（2）預測長期占有率本月 下月甲乙丙甲0.20.60.2乙0.10.50.4丙0.20.30.56月份各品牌汽水消費變化表解：初始市場占有率為

15、：S(0)=(0.3 0.4 0.3)狀態(tài)轉移概率矩陣為第36頁，共50頁。(1)7月份市場占有率為8月份市場占有率為第37頁，共50頁。(2) 顧客的流動經過一段時間后會達到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，設穩(wěn)態(tài)矩陣為U,則U*P=U如果 即經過長時期流動后，甲、乙、丙三品牌的市場占有率 分別是 15.6%、43.4%、41.0% 第38頁，共50頁。例3 、設備維修方面的應用企業(yè)中的機器設備，粗略地劃分，可以分為良好和損壞兩種狀態(tài)，在運轉和使用過程中，良好的可能會轉變?yōu)閾p壞，而損壞的也可能經過維修轉變?yōu)榱己?。一般可用下圖表示這種狀態(tài)轉移。狀態(tài)轉移概率矩陣可寫為第39頁，共50頁。式中 P11為某時刻機器處

16、于良好，到下一時刻仍轉變?yōu)榱己脿顟B(tài)的概率；P12為某時刻機器處于良好，到下一時刻轉變?yōu)楣收蠣顟B(tài)的概率；P21為某時刻處于故障到下一時刻轉為良好概率；P22為某時刻處于故障到下一時刻仍為故障狀態(tài)的概率；第40頁，共50頁。例 設某車間里的機器出故障的概率為0.2，機器能修復良好的概率為0.85，試求穩(wěn)定狀態(tài)下，機器處于良好狀態(tài)和故障狀態(tài)的概率各為多少？解: 由題意可知，機器不出故障的概率為 10.2= 0.8；機器修不好的概率為10.85=0.15。故得狀態(tài)轉移概率矩陣為第41頁，共50頁。于是有解此聯(lián)立方程組得：即在穩(wěn)定狀態(tài)下機器不出故障的概率為0.81，而出故障的概率為0.19。第42頁，共

17、50頁。43 四、應用舉例 已知2005年為大旱年，要求預測2006年的氣象情勢和該地區(qū)的長期氣象趨勢。2005年的狀態(tài)為初始狀態(tài)，即 例 某地區(qū)根據歷史長期統(tǒng)計資料統(tǒng)計出其旱、澇的年際轉移狀態(tài)概率，其狀態(tài)轉移概率矩陣如下第43頁，共50頁。44 四、應用舉例馬爾可夫預測法 1. 預測2006年的氣象趨勢，也就是求S(1)。第44頁，共50頁。45 四、應用舉例馬爾可夫預測法 ，即旱的可能性為0.74。 因此，根據計算結果，在2006年應做好抗旱準備。 ，即澇的可能性為0.10。 2.長期趨勢預測求極限轉移概率。第45頁，共50頁。46 四、應用舉例馬爾可夫預測法 所以有 聯(lián)立求解上述方程組，得：第46頁，共50頁。47 四、應用舉例馬爾可夫預測法 根據上述計算結果，可以看出該地區(qū)長遠的氣候應是旱的情勢。因此，應努力選育各種作物的抗旱品種，在作物布局上應考慮種植耐旱作物，在水利和農田基本建設上應著重考慮各種灌溉設施。 即旱的可能性為64.56%。 即澇的可能性為17.9 %。第47頁，共50頁。1. 預測A、B、C三個廠家生產的某種抗病毒藥在未來