圓錐曲線的參數(shù)方程解答

1、圓錐曲線的參數(shù)方程解答橢圓的參數(shù)方程復(fù)習(xí)圓的參數(shù)方程1.圓心在原點(diǎn),半徑為r的圓的參數(shù)方程:2.圓心為(a, b),半徑為r的圓的參數(shù)方程:3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：它的參數(shù)方程是什么樣的？M如圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以a, b(ab0)為半徑作兩個(gè)圓,點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作ANOx,垂足為N,過(guò)點(diǎn)B作BMAN,垂足為M,xOyANB設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y)。那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y。由于點(diǎn)A, B均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有:yNMxON 這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程。 常數(shù)a、b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)

2、。 在橢圓的參數(shù)方程中，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為|OA|cosacos，|OB|sinbsinOAMxyNB橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:xyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓的參數(shù)方程: x2+y2=r2的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數(shù)方程:是AOX=, 不是MOX=.稱為點(diǎn)M的離心角 小 結(jié) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的參數(shù)方程：離心角一般地： 在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、 b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半 軸長(zhǎng). ab練習(xí) 把下列普通方程化為參數(shù)方程. (1)(2)(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程 練習(xí) O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓 上離心角為-/6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，那么直線OP的傾角的正切值是 . 解

3、：把代入橢圓參數(shù)方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)所以直線OP的傾角的正切值是: xyOM解：因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為由點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)M到直線的距離為 例1、如圖，在橢圓 上求一點(diǎn)M，使M到直線 l：x+2y-10=0的距離最小. 例1、如圖，在橢圓 上求一點(diǎn)M，(1)使M到直線 l ：x+2y-10=0的距離最小.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例2、已知橢圓 有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。雙曲線的參數(shù)方程ABBOyxM A以原點(diǎn)O為圓心, a, b(a0, b0)為半徑分別作同心圓C1,C2.設(shè)A為圓C1上任一點(diǎn), 作直線OA,過(guò)A作圓C

4、1的切線AA與x交于點(diǎn)A,過(guò)圓C2與x軸的交點(diǎn)B作圓C2的切線BB與直線OA交于點(diǎn)B。過(guò)點(diǎn)A, B分別作y軸, x軸的平行線AM, BM交于點(diǎn)M,設(shè)OA與OX所成角為(0, 2),/2,3/2)求點(diǎn)M的軌跡方程, 并說(shuō)出點(diǎn)M的軌跡。研究雙曲線的參數(shù)方程 ABBOyxM Abaoxy)MBA事實(shí)上(t 是參數(shù), t 0)化為普通方程, 畫(huà)出方程的曲線.表示什么曲線?畫(huà)出圖形.練習(xí):4不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為 則直線MA的方程為 解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 平行四邊形MAOB的面積為 由此可見(jiàn)，平行四邊形MAOB的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無(wú)關(guān)說(shuō)明： 這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直

5、線OM的傾斜角不同. 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.例3 例4 求證：等軸雙曲線平行于實(shí)軸的弦在兩頂點(diǎn)所張的角均為直角。A2A1BAyxO證明：設(shè)雙曲線方程為取頂點(diǎn)A2(a, 0), 弦AB Ox，弦AB對(duì)A1張直角，同理對(duì)A2也張直角MOyxBA 例5 已知雙曲線， A，B是雙曲線同支上相異兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P ,求證：，解：設(shè)A，B坐標(biāo)分別為則中點(diǎn)為M于是線段AB中垂線方程為將 代入上式,(A，B相異)， 例6 求證：等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積是常數(shù)。拋物線的參數(shù)方程MFOYXA前面曾經(jīng)得到

6、以時(shí)刻 t 為參數(shù)的拋物線的參數(shù)方程:對(duì)于一般拋物線，怎樣建立參數(shù)方程呢？以拋物線的普通方程為例，其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 設(shè)M(x, y)為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記作 顯然，當(dāng)在 內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，并且對(duì)于的每一個(gè)值，在拋物線上都有唯一的點(diǎn)M與之對(duì)應(yīng)，因此，可以取為參數(shù)來(lái)探求拋物線的參數(shù)方程. 因?yàn)辄c(diǎn)M在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)定義可得由方程 (為參數(shù))這是拋物線(不包括頂點(diǎn))的參數(shù)方程. 如果令則有（t為參數(shù)） (為參數(shù)) 當(dāng)t=0時(shí)，上式表示的點(diǎn)正好就是拋物線的頂點(diǎn)(0,0),因此，當(dāng) 時(shí)， （t為參數(shù)） 就表示整條拋物線參數(shù) t 表示拋物線上除頂點(diǎn)

7、外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)C練習(xí) 例1 如圖，O為原點(diǎn)，A,B為拋物線 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且OAOB，OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程當(dāng)點(diǎn)A,B在何位置時(shí),AOB面積最??？最小值是多少？ 練習(xí) 已知橢圓C1: 及拋物線C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范圍。代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1內(nèi)有解； 3 已知A, B, C是拋物線 y2=2px(p0)上的三個(gè)點(diǎn)，且BC與x軸垂直，直線AB和AC分別與拋物線的軸交于D, E兩點(diǎn)，求證：拋物線的頂點(diǎn)平分DE.練習(xí) 4 經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相

8、垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)M的參數(shù)方程。解：直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為由y2=2px和y=kx，得A點(diǎn)坐標(biāo)為同理B點(diǎn)坐標(biāo)(2pk2,-2pk) 5 已知橢圓 上任意一點(diǎn)M，(除短軸端點(diǎn)外)與短軸端點(diǎn)B1, B2的連線分別與x軸交于P, Q兩點(diǎn)，O為橢圓的中心，求證：|OP|OQ|為定值。 練習(xí) 對(duì)于一切實(shí)數(shù)，若 直線 與曲線 恒有公共點(diǎn)，則m的范圍是：A B C D直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)直線與曲線恒有公共點(diǎn)時(shí)，必滿足直線的參數(shù)方程請(qǐng)同學(xué)們回憶:我們學(xué)過(guò)的直線的普通方程都有哪些?兩點(diǎn)式:點(diǎn)斜式:一般式:溫故知新問(wèn)題情景M0(x0，y0)M(x,y)解：

9、在直線上任取一點(diǎn)M(x，y)，則xOy探究思考| t | = | M0M |M0M所以，直線參數(shù)方程中參數(shù)t的絕對(duì)值等于直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.這就是 t 的幾何意義，要牢記xOy分析:3.點(diǎn)M是否在直線上1.用普通方程去解還是用參數(shù)方程去解；2.分別如何解.ABM(-1，2)xyO解：因?yàn)榘腰c(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程后，符合直線方程，所以點(diǎn)M在直線上.M(-1，2)ABxOyM(-1，2)ABxOy探究思考BB5. 動(dòng)點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動(dòng)，它在x軸和y軸方向的分速度分別是3cm/s和4cm/s，直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位是1cm，點(diǎn)M的起始位置在點(diǎn)M0(2，1)處，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.辨析:例: 動(dòng)點(diǎn)M作等速直線運(yùn)動(dòng)，它在 x 軸和 y 軸方向分速度分別為 9，12，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn) M 位于A(1，1)，求點(diǎn) M 的軌跡的參數(shù)方程.請(qǐng)思考: 此時(shí)的t有沒(méi)有明確的幾何意義?沒(méi)有重要結(jié)論:直線的參數(shù)方程可以寫(xiě)成這樣的形式:例3 當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h的速度向