一維定態(tài)薛定諤方程的建立和求解舉例

1、 16.3 一維定態(tài)薛定調方程的建立和求解舉例（一）一維運動自由粒子的薛定謂方程波函數(shù)隨時間和空間而變化的基本方程，是薛定渭于1926年提出的，稱為薛定謂波動方程，簡稱波動方程或薛定渭方程，它成為量子力學的基本方程.將（16.2.14）式分別對t和x求導，然后從這兩式消去E、p、和小，便可得到一維運動自由粒子的薛定謂方程：；：2,-;2-.:x二(ip/ )即優(yōu)容=E=(p2/2m)V =(Zi2/2m)2-t二 x1由粒子（v c）產薛定謂方程Fl吟(16.3.3)方程（16.3.3）中不含有能量 E和動量p,表明此方程是不受 E和p的數(shù)值限制的普遍 方程.請同學們自己試一試，如果上述波函數(shù)

2、不用復數(shù)表式（16.2.14）,改用類似于（16.2.1）式的余弦函數(shù)或正弦函數(shù)表式，就不會得到合乎要求的薛定渭方程（16.3.3）式.這薛定謂方程不是根據(jù)直接實驗結果歸納而得，也不是由經典波動理論或其他理論推導出來的，它是在物質波假設的基礎上，參照經典波動方程而建立起來的.薛定謂方程在微觀領域中得到廣泛的應用，它推導出來的結果，都與相關實驗結果符合得很好，這才是薛定謂方程正確反映微觀領域客觀規(guī)律的最有力的證明.（二）一維運動自由粒子的定態(tài)薛定謂方程上述薛定渭方程（16.3.3）是偏微分方程，從此方程可解出波函數(shù)少（x, t）.在量子力學中最重要的解，是可把波函數(shù)少（x,t）分離成空間部分 u

3、 （x）和時間部分f （t）兩函數(shù)的乘積的特解，即一維運動自由粒子的定態(tài)波函數(shù)少（x,t） =u （x） f （t） （16.3.4）將此式代入（16.3.3）式得：i U（x） df =（一 /2m）f （t）d2出dx2兩邊除以W=uf得：此式左邊是時間廣那=(J/2m)1 d2uu dx2t的函數(shù)，右邊是坐標x的函數(shù).已知t與x是互相獨立的自變量,左右兩邊相等，必須是兩邊都等于同一常量E,即郭敦仁量子力學初步1617頁，人民教育出版社1978年版.郭敦仁量子力學初步 21 22頁，人民教育出版社 1978年版.周世勛編量子力學32 33頁，上?？茖W技術出版社 1961年版.2i Idf

4、=E (- / 5/2m) 1d U =Ef dtu dx(16.3.5)因此，一個偏微分方程(16.3.3)可分解成兩個常微分方程(16.3.5)以求解.如附錄16C所示，(16.3.5)式的E就是粒子的能量 E.上述兩個常微分方程的解分別為：iEt /時間波函數(shù) f (t)f(t)=Ce(16.3.6)空間波函數(shù) u(x)U(X)=AsinaX + BCOS50C X (16.3.7)5 =，2mE/0維運動自由粒卜(V c)的定態(tài)波數(shù)和幾率密度,(X,t) =u(x)f(t)=將上式的待定常量 C合并到A和B中，便可得到下式：iEt/ =(Asina x Bcosa x)eIM2 = A

5、sinax +B cosa xT u |2從此式可知，特解 W=uf使得幾率密度岫|2與時間t無關，這是粒子的幾率分布與時間 無關的恒定狀態(tài)，因此稱為定態(tài).少=uf稱為定態(tài)波函數(shù)，其中空間部分u(X)可稱空間波函數(shù)，時間部分 f (t)可稱時間波函數(shù).如(16.3.9)式所示，定態(tài)的幾率密度仲|2決定于空間波函數(shù)u,與時間波函數(shù) f無關.(16.3.5)式中空間波函數(shù) u滿足的方程，稱為定態(tài)薛定謂方程，此方程重寫如下：二維運動自由粒子 卜!定態(tài)薛定謂方程(V：?： c),2-d-2 十Qm/% Eu =0 dx(16.3.10)(16.3.7)式表明，空間波函數(shù) u (x)的表式中有三個待定常

6、量A、B、”，它們要由實際例子中的邊界條件和歸一化條件來確定.下面就要介紹確定常量A、B、a的一個實際例子.(三)一維矩形深勢阱中，自由粒子的薛定謂方程定態(tài)解(1)金屬中自由電子的運動金屬中自由電子的運動，假設可簡化為自由粒子的一維運動.在外界條件不變的情況下，可設想自由電子的幾率分布是恒定的，不隨時間而變.這就是上述定態(tài)的一維運動自由粒子的一個例子.上述(16.3.3)至(16.3.10)諸式均可應用于此例子.上述待定常量A、B、%可按此例的邊界條件和歸一化條件確定之.(2)邊界條件確定常量 B與a上述自由電子只能在金屬中運動，可設定它的運動范圍為0vxvb.在此范圍內，設它的勢能為零，即

7、Ep=0, E=Ek.在此范圍外，它 的勢能必須達 到無限大，即Ep一 8 , E 8.所謂Ep 8,就是用勢能條 件表示自由電子不能越出金屬之外，也就是說，這些自由電子被限制在矩形無限深勢阱中運動，如(圖16.3a)所示.(圖16.3a)一維矩形深勢阱按幾率來說，在金屬表面以外沒有自由電子，就是說，在 x W0和xb的范圍中，這些電子的幾率密度 仲|2=0.因此，在此 范圍中，波函數(shù) 少=0, u=0.這就是邊界條件，或稱邊值條件.將此邊值條件代入（16.3.7）式便可確定B與a的數(shù)值，計算如下:在 x=0 處：u (0) =Asin0 +Bcos0 =B=0(16.3.11)1. u (x

8、) =Asin ox(16.3.12)在 x=b 處：u (b) =Asin o(b=0 , o(b=n u即 oFnTt/b,n=1,2,3,(16.3.13)(x,t) =Asin (njtx/b) e(16.3.14)在（16.3.13）式中，u （b） =0不選用A=0的答案.這因為A=0 ,則u （ x） =0 ,仲|2=0 ,這 是x等于任何數(shù)值，都使岫|2=0的不合理答案.在（16.3.13）式，不選用 n=0的答案.因為 n=0則a=0、u （x） =0、惇|2=0,這也是處 處都沒有電子的不合理答案.在（16.3.13）式，如果選用n=-1,-2,-3,所得少值，與選用n=1

9、,2,3,求得的 力值，絕對值相等、正負號相反.因此，在計算 漳|2時，不必要保留n的負值.（3）歸一化條件確定常量 A將波函數(shù)表式（16.3.14）代入歸一化條件式（16.2.11）,按上述一維情況進行積分，并 考慮到自由電子只在 0vxvb范圍內運動，可得結論如下：2A sin a x dx =1二-2b 2QM dx=I。M dx =1日口1 =(A2/2 vb (1 cos2a x dx =A2b/2(A2/4a) bin 2a xb = 016.3.15)= A2b 2 - A2b 4n；：. gin(2nx b) 1b =A2b 2 , A2 = 2 /b , A = V27b二維

10、無限深矩形勢阱中，自由粒子（v c）:的定態(tài)波函數(shù)中 -(x,t)= 2/bsin(n x/b)e_lEt/ , u(x) = 2/bsin(nx/b), 0 x 二 b, n =1,2,3W|2 = u 2 =(2/b)|sin(nTix/b)|2n =1,2,3,0 ：x 二 b（四）一維矩形無限深勢阱中、自由粒子的幾率分布從（16.3.17）式可得上述自由粒子的幾率密度仲|2的表式:二維矩形深勢阱中, 芻由粒子（v c） ,的幾率密度（16.3.18）上述空間波函數(shù)u和幾率密度|小的圖線，如（圖 16.35所示.自由粒子的運動范圍限制在0vxvb,因此（16.3.18）式的角度o（x=n

11、 Ttx/b的變化范圍為 0 V冰 v n兀.19廣樂八 g（圖16.3b）一維矩形深勢阱中、自由粒子 的幾率密育與能級當量子數(shù) n=1 時，u1 (x) =，2/bsin(Hx/b);里1 =(2/b)sin 2(兀x/b),如(圖16.3b)所示，曲線ui和 巴 的最高點都在 兀x/b=兀/2,即x=b/2 處.這就是說，當n=1時，在勢阱中x=b/2處，粒子的幾率密度最大.這與經典理論所說自 由粒子應是均勻分布的結論不同.經典理論不能說明微觀粒子的情況.當n=2時，22U2(x)=V2/bsin(2/b), 2 =(2/b)Sin Qjb).角度的變化范圍是 0V 冰 2 兀,曲線u2的

12、最高點在 2兀x/b=兀/2,即x=b/4處.曲線u2的最低點在 2兀x/b=3兀/2,即x=3b/4處.曲 線電還有一個零點在 2兀x/b=兀,即x=b/2處，如圖所示.2當n=2時，幾率密度 中2的曲線應有兩個最高點，在 x=b/4和x=3b/4處，有一個零點 在x=b/2處.當n=3和n=4時的曲線圖，由同學們在習題中計算分析.(圖16.3b)所示曲線形狀，與兩端固定的弦線中，形成駐波的形狀相似.雖然粒子的物質波與弦線中機械波的駐波，在本質上是不同的現(xiàn)象.但是人們仍然喜歡引用駐波中的熟悉名詞描寫微觀粒子的幾率分布，把噂=0的位置叫做波節(jié)或節(jié)點，把 伸|2的最大位置叫做波腹或腹點. (五)

13、一維矩形無限深勢阱中、自由粒子的能級從(16.3.7)與(16.3.13)式可得到能量 E的表式:二維矩形深勢阱中,1圻/0成芻由粒子(v c):的能級 EnEn =n2(冗咕2/2mb2) =n2(h2/8mb2)En是能量E的本征值.粒子的能量 E只能具有這一系列分立的數(shù)值 En,也就是說，能 量E是量子化的.上述的 n值相當于玻爾理論中的量子數(shù).雖然能級En和量子數(shù)n都是玻爾先提出的，但他只作為一種假設提出. 而在量子力學中，從薛定謂方程解出波函數(shù) 少的過 程，很自然地得出 En和n,不必求助于人為的假設.最低的能級Ei是為基態(tài)能級，相當于n=1的Ei值.其他各級能量En=n2E1，如(

14、圖16.3b) 所示.粒子的能量不能小于Ei.但經典理論原以為，粒子的最小能量為零，所以最小能量Ei也被稱為零點能.例題 16.3A已知原子核的線度為 b=10 14米的數(shù)量級，質子的靜質量為 m=1.67 X 1027千克.假設 質子在原子核內作線性自由運動.求： (1)此質子的能量 E和速率v. (2)它的動量p和物 質波波長入.(3)它的總能和頻率v. (4)它的空間波函數(shù) u(x)和幾率密度伸|2.解(1)把此質子看做是在線度為b的無限深矩形勢阱中，作線性自由運動.應用求得它的能量 E (即動能E。：E=n2 (h2/8mb2) =n2X 6.632x 10 68/8 x 1.67x

15、10 27x 10 28=n2X3.29x 10 13 焦.E=Ek=mv2/2, v2=2E/m=2r2x 3.29X 10 13/1.67X 10 27=n2X3.94X 1014, v=nx 1.98X 107米/秒.當vc時，可應用上述計算和下面的計算.p=mv=1.67107XnX1.981C7=nX3.31Cf20千克 W.入=h/p=6.63 x 10 34/nX 3.31 x 10 20=(1/n)x 2.00X 10 14 米.e=Ek+mc2=n2X 3.29X 10 13+1.67X 10 27X9X 1016=n2X 3.29X 10 13+ 1.50X 10 10=1.50 x 10 10焦.v= /h=1.50 X 10 10/6.63X 10 34=2.26X 1023 赫,或 v=c2/v 入=9X 1016/nX 1.98X 107x (1/n)x 2X 10 14=