拱橋撓度理論知識培訓(xùn)

1、撓度理論的控制平衡微分方程撓度理論控制微分方程求解方法變截面（Ritter函數(shù)）拱的基本解變截面（ ）拱的基本解變截面（ ）拋物線拱的基本解等截面拱的攝動法及其它數(shù)值法簡介小結(jié)本章參考文獻 拱橋撓度理論 1886年由JMelen提出的吊橋撓度理論已被人們廣泛接受并應(yīng)用到工程實際中去。1988年由西安公路學(xué)院何福照教授提出的拱橋撓度理論1經(jīng)過十多年的研究完善，正逐步被人們所認識234。與吊橋撓度理論的分析結(jié)果相反，拱橋考慮撓度影響后內(nèi)力大于不考慮此影響的內(nèi)力，這意味著應(yīng)用彈性理論所設(shè)計的拱橋存在不安全隱患。本章著重介紹撓度理論的精確解析法，簡介有關(guān)非線性數(shù)值分析方面的內(nèi)容，詳細討論可參閱文獻26

2、撓度理論的控制平衡微分方程(1) 分析假定（a）平截面假定：即截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變；（b）彈性中心不動假定：即將拱軸變形引起彈性中心位置的改變量忽略不計；（c）恒、活載可疊加假定：即認為可將恒、活載分別分析，然后疊加求得總內(nèi)力。這樣處理雖附合加載順序及設(shè)計習(xí)慣，但不符合非線性理論的一般規(guī)律，在計算中，若有必要，應(yīng)將恒、活載作用一并考慮，并不影響這一理論的應(yīng)用。2) 平衡微分方程如下圖所示，撓度理論的控制微分方程為2 （1）恒載階段平衡微分方程為 邊界條件為 約束方程為（2）外載階段平衡微分方程為 邊界條件為約束方程為撓度理論控制微分方程求解方法 無論是恒載階段，還是活

3、載階段，撓度理論的控制微分方程均可以寫為 邊界條件為約束方程為常見的變截面拱有以下三種變化規(guī)律 （1） 函數(shù)，即 （2） 時，即（3） 時，且 有 與相似的規(guī)律拱頂截面 此三種變化規(guī)律均可找到撓度理論的控制微分方程的解析解，按以下步驟即可獲得撓度理論的全部解答（1）滿足邊界條件求出方程的全解，但解中含有彈性中心的三個贅余力及拱軸力（2）利用及三個約束方程可求出三個贅余力（3）回代即可獲得全部變形及內(nèi)力 對于等截面拱，可獲得數(shù)值解變截面（Ritter函數(shù)）拱的基本解 取 進行分析，分析時仍按恒載作用階段及活載作用階段兩個階段進行1) 恒載階段 令 則 將以上關(guān)系代入恒載階段的控制方程，則方程變?yōu)?/p>

4、 （1）撓度曲線由于恒載及結(jié)構(gòu)都是對稱的，恒載撓曲也將是左右對稱的。因此，可以只討論 在 范圍內(nèi)的解上式的齊次方程為 =0進行變量轉(zhuǎn)換，可令則齊次方程式可轉(zhuǎn)換成 這是標(biāo)準(zhǔn)的貝塞爾函數(shù)方程式。故可得其齊次解為1/3 階的貝塞爾函數(shù) 階的貝塞爾函數(shù)當(dāng)用無窮級數(shù)表示時為控制方程式的特解可由拉格朗日參數(shù)變異法求得，即 為 和 的朗斯基行列式，即于是方程的全解為將 代入上式，并取 ，則上式可改寫為 其中： （2）待定常數(shù)將方程的全解及其導(dǎo)數(shù)代入邊界條件，解得待定常數(shù)為 其中： （3）贅余力 將方程的全解及其導(dǎo)數(shù)代入約束方程，可整理出求解贅余力方程為2 ） 外載階段 外載作用時的控制方程與恒載作用時類似，

5、但此時撓曲線將不再對稱?？梢苑謩e對左半拱及右半拱進行討論，并要求撓曲線在原點連續(xù)，即與恒載作用階段相似，令將控制方程式改寫成（1） 的區(qū)段同樣進行變量轉(zhuǎn)換，令可將外載作用的齊次方程轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)貝塞爾函數(shù)方程式與恒載階段相仿，可得 時的撓度表達式為將 的表達式代入上式，則可將上式改寫成以贅余力表達的形式，即 式中： （2） 0的區(qū)段作與 0的相似的變換，同理可得 上式中的 、 與前式中的表達式形式是相同的，只是計算 時 應(yīng)取負值，即 。式中系數(shù) 也與前式中相應(yīng)的系數(shù) 表達式完全相同，只需注意將 取成負值需要指出的是， 及 反映的是活載推力在恒載撓度上產(chǎn)生的附加力矩，此時計算的活載撓度曲線是以變形后

6、的拱軸線即 變?yōu)?后的軸線為基礎(chǔ)的。但此時彈性中心至拱頂?shù)木嚯x 仍近似認為不變（基本假定2）。（3）待定常數(shù) 將兩撓度式及其導(dǎo)數(shù)代入邊界條件式及拱頂處撓曲線變形連續(xù)條件式，經(jīng)整理后可解得式待定常數(shù)值為式中： （4）贅余力將兩撓度式及其導(dǎo)數(shù)代入約束方程式，經(jīng)整理化簡后即可得到求解贅余力的方程組式中 彈性中心處的贅余未知力解出后，不難求得拱各截面計入拱的撓度理論后的內(nèi)力值及撓度值變截面（ ）拱的基本解1） 恒載階段令 則控制方程式（變?yōu)槠淙鉃?將上式及其導(dǎo)數(shù)代入邊界條件方程式中，經(jīng)整理有其中： 且 將其及其導(dǎo)數(shù)代入約束方程中，經(jīng)整理有式中： 2 ） 外載階段令 ，用同樣的方法可得 （1）撓曲線方

7、程其中： (2)待定系數(shù)（3）贅余力式中： 變截面（ ）拋物線拱的基本解設(shè)拱軸方程為 令 ，則控制方程方程可以寫為式中：按照前述辦法，可以解得撓度方程及內(nèi)力1） 撓度曲線式中： 2） 贅余力式中： 等截面拱的攝動法簡介以外載階段方程為例，令將控制方程式改寫為 并轉(zhuǎn)化為積分方程其中常數(shù)為分部積分有將 的有關(guān)表達式代入約束方程式中有式中： 將式各函數(shù)及自變量無量剛化，即令外荷載 將以上各參數(shù)分別代入，可得攝動方程為 其中： 如將 、 作為攝動參數(shù)，將 和 展為 、的無窮級數(shù)，即 則可獲得攝動解，詳細討論見文獻2。 拱橋的撓度理論控制方程還可以用其它數(shù)值方法求解。在4中，對系桿拱橋的拱結(jié)構(gòu)分析按撓度

8、理論求解，對梁結(jié)構(gòu)分析考慮非線性影響7，則可獲得系桿拱的非線性解小結(jié) （1）彈性理論 若 =0的或（ ） ，則獲彈性理論方程 （2）線性撓度理論若參數(shù) 、 為已知時，則求解贅余力方程組成為線性方程組，內(nèi)力與荷載成線性關(guān)系，疊加原理仍將適用，因而可以用影響線方法來求內(nèi)力，稱為線性撓度理論。這時，可以用彈性理論所得的恒載推力值 代替參數(shù)中的 ，使 成為已知值。如再進一步忽略活載推力 ，使 也為已知，即可據(jù)此求得拱的內(nèi)力影響線，然后在影響線上加載求內(nèi)力。這不僅使計算簡化，使用方便，也能直觀反映推力、撓度對內(nèi)力的影響程度。大多數(shù)拱橋的恒載遠大于活載，用線性撓度理論計算其活載內(nèi)力也是可行的 （3）撓度理

9、論的彈性中心 撓性理論中的彈性中心位置已不能使撓度理論中求解彈性中心贅余力方程的副系數(shù)為零。但就線性撓度理論而言，仍然存在變位互等性，即剪力不引起彈性中心的水平位移和轉(zhuǎn)角位移，同時水平力和彎矩對彈性中心的相對豎向位移的貢獻也為零。另外，從線性撓度理論中可以證明，單位水平力引起的彈性中心相對轉(zhuǎn)角與單位彎矩引起的彈性中心相對水平位移是相等的 要確定撓度理論時的彈性中心位置 ，可以在求解贅余力方程中令副系數(shù)如 ，從而解出為 在恒載作用階段，同樣可求解，由此可見，撓度理論中的彈性中心位置不但與拱圈的幾何因素有關(guān)，而且與外 荷截及其作用位置有關(guān)，如果在分析時采用這個彈性中心，不但計算繁復(fù)，也不便與彈性理論作比較。分析表明兩者的差別是微小的，因此，在基本假定中認為變形前后彈性中心的位置不變。（4）等截面拱 等截面拱橋的精確解析式較難得出，可用數(shù)值方法求解，如攝動法3，但以上特征是共同的。 （5）其它支承拱橋 本章僅對