現(xiàn)代控制理論：第3章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、第 二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4 線性時變系統(tǒng)的解2.5 離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6 連續(xù)時間狀態(tài)空間表達式的離散化第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性現(xiàn) 代 控 制 理 論 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.

2、8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.1 能控性的定義1 提出 狀態(tài)方程反映了控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴 能控性揭示系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的制約能力；能觀性反映從外部對系統(tǒng)內(nèi)部的觀測能力；能控性和能觀性的概念是卡爾曼在1960年提出，成為現(xiàn)代控制理論中最重要的概念，是最優(yōu)控制設計的基礎。狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關系3.1 能控性的定義2 定義 若線性連續(xù)定常系統(tǒng)：如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間 內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0) = x0，轉(zhuǎn)移到指定的

3、任意終端狀態(tài)x(tf) = xf，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 有時也稱矩陣（A，B）是能控的。3.1 能控性的定義2 定義時間段內(nèi)存在控制輸入u3.1 能控性的定義橋形電路(a)兩個電容相等。選各自的電壓為狀態(tài)變量，且設電容上的初始電壓為零，根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖(b)中相軌跡為一條直線，因此系統(tǒng)狀態(tài)只能在相平面的一條直線上移動，不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線,顯然，它是不完全能控的。3.1 能控性的定義2 定義 若系統(tǒng)(A(t)，B(t)對初始時刻t0，存在另一時刻tf（tf t0

4、），對t0時刻的初始狀態(tài)x(t0) = x0，可以找到一個允許控制u(t)，能在有限時間t0 tf 內(nèi)把系統(tǒng)從初態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移至任意指定的終態(tài)x(tf )，那么就稱系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài)x(t0)是能控的。若系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都能控，那么就稱系統(tǒng)在（t0，tf）時間間隔內(nèi)是狀態(tài)完全能控的，簡稱狀態(tài)能控的或能控系統(tǒng)。 若系統(tǒng)存在某一個狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件，則此系統(tǒng)稱為不能控系統(tǒng)。3.1 能控性的定義3 幾點說明 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.

5、5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別能控性判別有兩種形式：（1）約旦標準型判定（2）（A，B）判定1 化為約旦標準型3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別1 化為約旦標準型（1）系統(tǒng)的能控性取決于系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣B。（2）當A為對角陣時，如果B的元素有0，則系統(tǒng)不可控。（3）當A為約旦標準型時，只要相應的約旦塊對應的B的最后一個元素不為0，則系統(tǒng)可控。

6、（4）從結(jié)構(gòu)圖看，若存在于u無關的孤立方塊，則系統(tǒng)不可控。3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別1 化為約旦標準型例3.2-1 3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別例3.2-2 考察下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別2 從A與B判定能控性定理3.2-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)其狀態(tài)完全能控的充要條件是其能控性矩陣的秩為n，即3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別證明 定理3.2-1已知狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失一般性，可設初始時刻為零，即t0 = 0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點，即x(tf ) = 0。則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilt

7、on）定理3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別證明 定理3.2-1利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理進而得到因tf 是固定的，所以每一個積分都代表一個確定的量，令3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別證明 定理3.2-1若系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應從上述方程中解出 0，1，n 1來。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即rank B AB A2B An 1B = n3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別例3.2-3 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能控性。例題 3.2-3 【解答】所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別例3.2-4設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷

8、其狀態(tài)能控性。例題 3.2-4 【解答】系統(tǒng)的能控性矩陣為 2 1 1 11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4M = B AB A2B = rankM= 2 n 所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。 3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3 線性定常系統(tǒng)的輸出能控性 在分析和設計控制系統(tǒng)的許多情況下，系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，因此有必要研究系統(tǒng)的輸出是否能控的問題。 對于系統(tǒng)(A，B，C，D)，如果存在一個無約束的控制矢量u(t)，在有限時間間隔t0，tf內(nèi)，能將任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任一指定的最終輸出y(tf )，那么就稱(A，B，C，D)是輸出完全能控的，或

9、簡稱輸出是能控的。 線性定常系統(tǒng)(A，B，C，D)，其輸出完全能控的充要條件是輸出能控性矩陣滿秩，即 rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性1 定義 對

10、任意給定的輸入信號u(t)，在有限時間tf t0，能夠根據(jù)輸出量y(t)在t0，tf內(nèi)的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在時刻t0的初始狀態(tài)x(t0)，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能觀測的，或簡稱系統(tǒng)能觀測的。討論線性系統(tǒng)的能觀測性?？紤]零輸入時的狀態(tài)空間表達式3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性1 定義能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態(tài)反饋控制遇到的困難是一些狀態(tài)變量不易直接量測。因而在構(gòu)造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態(tài)變量。在“系統(tǒng)綜合”部分我們將指出，當且僅當系統(tǒng)是能觀測時，才能對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行觀測或估計3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性2 能觀性判別能觀性判別有兩種形式：（1）約旦

11、標準型判定（2）（A，C）判定（1）約旦標準型判定能觀判定1：設線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充要條件，是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角標準形中，不包含全為零的列3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性2 能觀性判別（1）約旦標準型判定3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性2 能觀性判別（1）約旦標準型判定能觀判定2：設線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有重特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充要條件，是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當標準形中，和每個約當塊Ji（i =1，2，k）首列相對應的的所有那些列，其元素不全為零。2 能觀性判別（1）約旦標準型判定3

12、.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性例3.3-1考察下列系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性2 從A與C判定能觀性定理3.3-1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)其狀態(tài)完全能觀的充要條件是其能觀性矩陣的秩為n，即3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性證明 定理3.3-1已知系統(tǒng)(A，C)狀態(tài)方程的解為在以下討論中，不失一般性，可設初始時刻為零，即t0 = 0,不考慮控制問題，只考慮齊次問題。則有利用凱萊-哈密爾頓（CayleyHamilton）定理3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性證明 定理3.3-1所以因為一般m n，此時，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時

13、刻進行觀測，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，y(tf )，此時把方程個數(shù)擴展到n個，即3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性證明 定理3.3-1上式表明，根據(jù)在（0，tf）時間間隔的量測值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來的充要條件是能觀測性矩陣N滿秩。3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性例3.3-2 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能觀性。rankN = 2 = n 所以系統(tǒng)是能觀測的。3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性例3.3-3 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能觀性。rankN 3 所以系統(tǒng)是不能觀測的。 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.

14、2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.6 能控性與能觀性的對偶關系1 對偶關系 從前面幾節(jié)的討論中可以看出控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性，無論從定義或其判據(jù)方面都是很相似的。這種相似關系決非偶然的巧合，而是有著內(nèi)在的必然聯(lián)系，這種必然的聯(lián)系即為對偶性原理設系統(tǒng)1的狀態(tài)空間表達式為設系統(tǒng)2的狀態(tài)空間表達式為稱系統(tǒng)1和系

15、統(tǒng)2是互為對偶的，即2是1的對偶系統(tǒng)，反之， 1是2的對偶系統(tǒng)。3.6 能控性與能觀性的對偶關系1 對偶關系從結(jié)構(gòu)圖上看，系統(tǒng)1和其對偶系統(tǒng)2的輸入端和輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和比較點互換，各矩陣轉(zhuǎn)置3.6 能控性與能觀性的對偶關系1 對偶關系兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的關系 對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置對偶系統(tǒng)的特征方程式相同3.6 能控性與能觀性的對偶關系2 對偶原理系統(tǒng)1狀態(tài)完全能控的充要條件和系統(tǒng)2狀態(tài)完全能觀的充要條件相同；系統(tǒng)1狀態(tài)完全能觀的充要條件和系統(tǒng)2狀態(tài)完全能控的充要條件相同；3.6 能控性與能觀性的對偶關系系統(tǒng)1系統(tǒng)2證明根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控

16、性（能觀測性）就可以借助其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測性（能控性）來研究 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.7 能控標準型與能觀標準型 標準形亦稱規(guī)范形，它是系統(tǒng)的系數(shù)在一組特定的狀態(tài)空間基底下導出的標準形式。而系統(tǒng)的能控標準形和能觀測標準形，指

17、的是系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程若能變換成某一種標準形式，即可說明這一系統(tǒng)必是能控的或能觀測的，那么這一標準形式就稱為能控標準形或能觀測標準形。由于能控標準形常用于極點的最優(yōu)配置，而能觀測標準形常常用于觀測器的狀態(tài)重構(gòu)，所以這兩種標準形對系統(tǒng)的分析和綜合有著十分重要的意義。 3.7 能控標準型與能觀標準型1 單輸入系統(tǒng)的能控標準型傳遞函數(shù)狀態(tài)空間3.7 能控標準型與能觀標準型 （1）能控標準I型3.7 能控標準型與能觀標準型 把狀態(tài)空間表達式變換為：3.7 能控標準型與能觀標準型稱上式子3.7 能控標準型與能觀標準型證明：能控標準型一定能控能控的狀態(tài)空間表達式可以通過Tc1轉(zhuǎn)換為能控標準型3.7

18、能控標準型與能觀標準型證明：能控標準型一定能控3.7 能控標準型與能觀標準型證明：2 Tc1轉(zhuǎn)換展開3.7 能控標準型與能觀標準型證明：2 Tc1轉(zhuǎn)換展開3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型 Tc1轉(zhuǎn)換可以得到標準型的3.7 能控標準型與能觀標準型 Tc1轉(zhuǎn)換可以得到標準型的3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型（1）首先判斷系統(tǒng)能控性例3.7-1 （2）求Tc1求特征多項式系數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型（3）求能控標準型狀態(tài)

19、矩陣，輸入矩陣，輸出矩陣（4）求傳遞函數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型例3.7-1 （1）（2）3.7 能控標準型與能觀標準型（3）求3個矩陣Tc13.7 能控標準型與能觀標準型（4）傳遞函數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型 （2）能控標準II型1 單輸入系統(tǒng)的能控標準型 轉(zhuǎn)換3.7 能控標準型與能觀標準型 這種形式稱為能控標準II型 其中， 的各項系數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型證明：對于能控狀態(tài)方程變換矩陣3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型3.7 能控標準型與能觀標準型例3.7-2 （能控標準II型）3.7 能控標準型與能觀標準型 （

20、1）能觀標準I型 單輸出系統(tǒng)的能觀標準型 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為：若線性定常系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換3.7 能控標準型與能觀標準型 這種形式稱為能觀標準I型 其中， 的各項系數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型證明：證明：3.7 能控標準型與能觀標準型 （1）能觀標準II型 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為：若線性定常系統(tǒng)：是能觀的，則存在非奇異變換3.7 能控標準型與能觀標準型 這種形式稱為能觀標準II型 其中， 的各項系數(shù)3.7 能控標準型與能觀標準型 小結(jié)對于系統(tǒng)能控標準I能控標準II能觀標準I能觀標準II 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線

21、性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1 按能控性分解可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來，得到下式這部分構(gòu)成n1維能控子系統(tǒng)。為不能控子系統(tǒng)。而后n-n1維子系統(tǒng)3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控部分不能控部分3.8 線性

22、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1 按能控性分解最關鍵的是求非奇異變換陣Rc。（1）在能控性矩陣 中選擇n1個線性無關的列向量；（2）將所得列向量作為矩陣Rc的前n1個列，其余列可以在保證Rc為非奇異矩陣的條件下任意選擇3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例3.8-1 （1）求n13.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（2）求Rc3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，即因為3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2 按能觀性分解可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解在變換后的系統(tǒng)中，將前n1維部分提出來，得到下式

23、這部分構(gòu)成n1維能觀子系統(tǒng)。為不能觀子系統(tǒng)。而后n-n1維子系統(tǒng)3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能觀部分不能觀部分3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1 按能觀性分解最關鍵的是求非奇異變換陣R0。對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊性。應由構(gòu)造其逆做起，即先求（1）在能控性矩陣 中選擇n1個線性無關的行向量；（2）將所得行向量作為矩陣R0的前n1個行，其余行可以在保證R0為非奇異矩陣的條件下任意選擇3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例3.8-2 （1）求n13.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（2）求R0逆3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3 按能控能觀性分解可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的

24、結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解按能控能觀分解的求解步驟：按能控分解構(gòu)造3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例3.8-3 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為試求系統(tǒng)的能控子系統(tǒng)。（1）按能控分解為系統(tǒng)（2） 按能觀分解為系統(tǒng)（3） 按能觀分解為系統(tǒng)3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（1）按能控分解為系統(tǒng)3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（2） 按能觀分解為系統(tǒng)3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（3） 按能觀分解為系統(tǒng) 本章結(jié)構(gòu)第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的

25、定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關系3.7 狀態(tài)空間表達式的能控標準型與能觀標準型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀性的關系緒論3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題反映系統(tǒng)輸入輸出信息傳遞關系的傳遞函數(shù)陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動力學行為。對于某一給定的傳遞函數(shù)陣將有無窮多的狀態(tài)空間表達式與之對應，即一個傳遞函數(shù)陣描述無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。從工程的觀點看，在無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維

26、數(shù)最小的一類系統(tǒng)就是所謂最小實現(xiàn)問題。確定最小實現(xiàn)是一個復雜的問題，本節(jié)只是在前一節(jié)關于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析的基礎上對實現(xiàn)問題的基本概念作一個介紹，并通過幾個具體例子介紹尋求最小實現(xiàn)的一般步驟3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題1 實現(xiàn)問題的基本概念 狀態(tài)空間分析法是現(xiàn)代控制理論的基礎。因此，如何建立狀態(tài)方程和輸出方程是分析和綜合系統(tǒng)地首先要解決的問題。對于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng)，可以通過對系統(tǒng)物理過程的深入研究后，直接建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。但是，有很多實際系統(tǒng)，其物理過程比較復雜，相互之間的數(shù)量關系又不太清楚。此時，要直接導出其狀態(tài)空間表達式顯得十分困難，甚至是不可能。3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題1 實現(xiàn)問題

27、的基本概念 為了解決這類問題，一個可能的辦法是，先用實驗的方法確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（或傳遞函數(shù)陣），然后根據(jù)傳遞函數(shù)推導出相應的狀態(tài)方程和輸出方程。由傳遞函數(shù)陣或相應的脈沖響應陣來建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的問題，即稱為實現(xiàn)問題。而系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程則稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的一個實現(xiàn)。3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題2 定義及基本特性定義 如果對給定的一個傳遞函數(shù)陣G(s)，能找到相應的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式使得 G(s)=C(sI A) 1B成立，則稱系統(tǒng)(A，B，C)是G(s)的一個實現(xiàn)。相應地，如果其 H(t)= L1 G(s)= CeAt B則稱該系統(tǒng)是脈沖響應陣H(t)的一個實現(xiàn)。3

28、.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題基本特征（1）對任意給定的傳遞函數(shù)陣G(s)，只要滿足物理上可實現(xiàn)的條件，那么一定可以到其實現(xiàn)，這是實現(xiàn)的存在性問題。（2）實現(xiàn)的實質(zhì)是用狀態(tài)空間分析法，尋找一個與真實系統(tǒng)具有相同傳遞函數(shù)陣的假想系統(tǒng)。但從傳遞函數(shù)陣出發(fā)，一般可以構(gòu)造無數(shù)個與真實系統(tǒng)輸入輸出特性相同的假想系統(tǒng)。因此，實現(xiàn)具有非唯一性。（3）當傳遞函數(shù)陣G(s)所有元的傳遞函數(shù)Gij (s)均為s的真有理分式函數(shù)（即分子多項式的階次低于分母多項式的階次）時，其實現(xiàn)為(A，B，C)形式。當Gij (s)的分子多項式的階次等于分母多項式的階次時，其實現(xiàn)為(A，B，C，D)形式。且有3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題3 標準型實現(xiàn)能控標準形（能觀測標準形）實現(xiàn)就是由傳遞函數(shù)陣或相應的脈沖響應陣所建立的狀態(tài)表達式，不但完全能控（能觀測），而且為標準形式，則稱為能控標準形（能觀測標