新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第20講 立體幾何綜合問題（解析版）

1、第20講 立體幾何綜合問題一解答題（共14小題）1如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點在平面上，分別是與的中點（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值【解答】【答案】（1）連接，底面為平行四邊形，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四邊形平面底面，四邊形為矩形，且底面，過作，以，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系（如圖）由，知，設(shè)平面的法向量，則，取，即，設(shè)平面的法向量，則，取，即，二面角的平面角的余弦值2如圖，四邊形為菱形，是平面同一側(cè)的兩點，平面，平面，證明：平面平面；求二面角的余弦值【解答】證明：連接，設(shè)，連接，在菱形中，不妨設(shè)，由，

2、可得由平面，可知，又，在中，可得，故在中，可得在直角梯形中，由，可得，平面，面，平面平面解：如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，由（）可得，0，0，0，設(shè)平面、平面的法向量分別為，則，可得面與面的法向量，即面面，所以二面角的余弦值為03如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，（1）證明：平面（2）求與平面所成角的正弦值【解答】（1）證明：取中點，連結(jié)，則四邊形為矩形，連結(jié)，則又，故所以為直角，所以，由，得平面，所以因為，所以平面分（2）解：由平面知，平面平面作，垂足為，則平面，作，垂足為，則連結(jié)，則又，故平面，平面平面，作，為垂足，則平面，即到平面的距離為

3、由于，所以平面，到平面的距離也為設(shè)與平面所成的角為，則分4如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點在側(cè)棱上，（）證明：是側(cè)棱的中點；（）求二面角的余弦值【解答】（）證明：作交于點，則，平面，連接，則四邊形為直角梯形，作，垂足為，則為矩形，設(shè)，則，由，得，解得，即，從而，為側(cè)棱的中點（）解：，又，為等邊三角形又由（）知為中點，取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，則，由此知為二面角的平面角，連結(jié)，在中，二面角的余弦值為5如圖，四棱錐的底面為直角梯形，且，為等邊三角形，平面平面；點、分別為、的中點（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值【解答】解：（1）證明：設(shè)的中點為，連結(jié)，為

4、中點，為的中位線，且，在梯形中，且，且，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面（2）解：四棱錐的底面為直角梯形，且，為等邊三角形，平面平面，點是的中點設(shè)的中點為，則，到平面的距離，三棱錐的體積（3）平面平面，交線為，平面，平面，又，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標系，則，0，0，0，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，直線與平面所成角的正弦值為6如圖，在平行四邊形中，四邊形為矩形，平面平面，點在線段上運動，且（1）當時，求異面直線與所成角的大?。唬?）設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，求的取值范圍【解答】解：（1）在中，則，四邊形為菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，以為原點

5、，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，0，0，當時，0，異面直線與所成角的大小為（2）平面的一個法向量，1，設(shè)，由，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，7如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，其中，點在棱上且，點為棱的中點在棱上且，點位棱的中點（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值的大小【解答】證明：（1）在中，由，得，同理在中，由，得，所以，即（亦可通過勾股定理來證明）在中，在，所以，即解：（2）由（1）知，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，0，設(shè)平面的法向量為則：不妨設(shè)，則設(shè)平面的法向量為則，不妨設(shè)，則記二面角為（

6、應(yīng)為鈍角）故二面角的余弦值為8如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成，（）證明：平面平面；（）求正四棱錐的高，使得二面角的余弦值是【解答】證明：（）幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成，又，平面，又平面，平面平面解：（）以 為原點，、的正方向為，軸，建立空間直角坐標系設(shè)正四棱棱的高為，則，0，2，0，設(shè)平面的一個法向量，2，0，則，取，得，設(shè)平面的一個法向量，則，取，則，1，二面角的余弦值，解得9如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【解答】證明：（1）由頂點在上投影為點，可知，取

7、的中點為，連結(jié)，在中，所以在中，所以所以，即，面又面，所以面面解：（2）由（）知，且所以 面，且面以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：，設(shè)平面，的法向量分別為，則，即，取，得，即，取，得，設(shè)二面角的平面角為則所以二面角的余弦值為10如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，求證：；若，求平面和平面所成銳二面角的余弦值【解答】證明：取中點為，連結(jié)，解：由及知，又，以，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，1，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，取，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則平面和平面所成銳二面角的余弦值為11在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，

8、與是邊長為2的等邊三角形，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上（1）求證：平面；（2）求二面角【解答】證明：（1）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形取中點，連接，則，（2分）又平面平面，平面，作平面，那么，根據(jù)題意，點落在上，和平面所成的角為，（4分）四邊形是平行四邊形，不包含于平面，平面，平面（6分）（2）以，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，0，平面的一個法向量為，0，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，（9分），又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角的余弦值為（12分）12如圖，在四面體中，已知，（1）求證：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值【解答】（1）證

9、明：，取的中點，連結(jié)，則，又，平面，平面，平面，（2）解：過作于點則平面，又平面平面，平面平面，平面過做于點，連接平面，又，平面，為二面角的平面角連接，二面角的余弦值為13三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且，（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【解答】（1）證明：連接，底面，底面，且與底面所成的角為，即在等邊三角形中，易求得在中，由余弦定理，得，即又，又，平面，又平面，又，平面（2）如下圖所示，以為原點，分別以，所在的直線為，軸建立空間直角坐標系，則故由（1）可知，可得點的坐標為，平面的一個法向量是設(shè)平面的法向量，由得，令，則，則，易知所求的二面角為鈍二面角，二面角的平面角的余弦角值是14如圖，將矩形沿折成二面角，其中為的中點，已知，為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值【解答】證明：（1）取的中點，連結(jié)，則，所以四邊形是平行四邊形，因此，（4分）又平面，所以平面（6分）解：（2）取的中點，中點，連結(jié)，由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面，（8分