相似比例線段和黃金分割比例線段

1、相似圖形(1)一、知識(shí)要點(diǎn)：1.兩條線段的比：如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段 (ratio) AB ： CD = m ： n,或?qū)懗?AB m.AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比比例線段和黃金分割CD n注意：(1)兩條線段的長(zhǎng)度必須用同一長(zhǎng)度單位表示，如果單位長(zhǎng)度不同，應(yīng)先化成同一單位，再求它們的比;(2)兩條線段的比，沒有長(zhǎng)度單位，它與所采用的長(zhǎng)度單位無關(guān)；(3)兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù).成比例線段：是指在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，則這四條線段成比例.關(guān)于成比例的數(shù)，有以下性質(zhì)：(1)比例的基本性質(zhì)： 如果a ：

2、b= c ： d,那么ad= bc；如果ad= bc那么a ： b= c ： d .特殊地，如果a ： b= b ： c,那么b2= a c ；如果b2 = a c那么a ： b= b ： c.這條性質(zhì)是今后比例式與等積式互化的理論依據(jù).(2)合比性質(zhì)：如果_? = ,那么b d(3)等比性質(zhì)：如果a cmzi_ ,(b +dbdnc、a c , -m a十一十門#0),那么=-b d :：；+nb這里設(shè)旦= b dm ,=k nm= kn,是今后學(xué)習(xí)中常用方法.黃金分割點(diǎn)如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC和BC(ACBC )，若 AC ABBC，則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線 A

3、C段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，即 AC= *5 -1 AB2C二、典型例題例1.已知:c e=一 =2d f(b+d+fw0)求：(1)：+*；(2)a -c -e-；(3)b -d -fa -2c 3ea -5e；(4)b -2d 3f b -5f分析：利用比例的性質(zhì)求解。 TOC o 1-5 h z 扃刀 *ac3解：一=-=2bdfa=2b,c=2d,e=2f. ( 1)aceb d f b d f a -c e 2b -2d - 2f2b 2d 2f 2(b d f) -=2bd f b -d fa -2c 3e2b -4d 6fb -2d - 3fb -2d - 3

4、fb d f 2(b -d +f) =2 b -d f 2(b -2d 3f) b -2d 3fa -5e 2b -10f 2(b -5f)=2b -5f b -5f點(diǎn)評(píng)：注意整體思想的應(yīng)用b -5f2x 2 y z3y -z分析：這里三個(gè)比相等，我們應(yīng)馬上想到等比性質(zhì)，使用等比性質(zhì)的證明方法，設(shè)輔助字母.解：設(shè)=3=k, TOC o 1-5 h z 234則 x=2k, y=3k, z=4k.2x 2y z 2 2k 2 3k 4k 14 =一.3y -z3 3k -4k 5點(diǎn)評(píng)：(1)輔助字母k成為x、v、 z間的橋梁，這種數(shù)學(xué)思想很重要.(2) )=3，也可寫成x ： y： z=2 ：

5、3 ：234除ij 3.已知 a ： b ： c=4 : 3 : 2,且 a+3b- 3c=14.(1)求 a,b,c (2)求 4a 3b+c 的值.分析：設(shè)比值為 k計(jì)算。解：(1)設(shè) a=4k,b=3k,c=2k. a+3b 3c=14 .4k+9k6k=147k=14k=2 a=8,b=6,c=4(2) 4a-3b+c=32-18+4=18點(diǎn)評(píng)：輔助字母k成為a, b之間的橋梁?？霮已知：9 = W=x，求x的值. cab分析：因?yàn)榈缺刃再|(zhì)的條件是“b+d+, +nw0”所以要分“ c+a+b=0”和“ c+a+bw 0”兩種情況討論.a b b c c a 2(c a b)解：當(dāng) c

6、+a+bw0時(shí)，x= - =2 ；c a b cab 當(dāng) c+a+b=0 時(shí)，有 a+b= - c,所以 x= a +b =於=1. c c點(diǎn)評(píng).在運(yùn)用等比性質(zhì)時(shí)，要注意“b+d+nw0；否則會(huì)造成錯(cuò)誤.例5.在8BC中，D、E分別是AB和AC上的點(diǎn)，膽=BC= AC =并且MBC的周長(zhǎng)為6.9cm.八七匚事年u/AD DE AE 2分析：由等比性求叢DE的周長(zhǎng).質(zhì)，可以求出兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比。解：AB BC AC 3=一，AD DE AE 2AB+BC+AC 3=AD+DE+AE 2:MBC的周長(zhǎng)為 6.9,即 AB+BC + AC = 6.9,2AD +DE+AE=-X6.9= 4.6,即

7、 MDE 的周長(zhǎng)為 4.6cm.3點(diǎn)評(píng)：注意等比性質(zhì)應(yīng)用。 TOC o 1-5 h z . .一 x-4y-zz-8 一.6.如果=-=,且x+y+z=12,求x、V、才勺值.324分析：可考慮用等比性質(zhì)，由 -=匕=馬上8,得x*4+y+z+z+8 = zl8 ,也即3243 2 4412，2 +z =18,解出z的值，然后可很容易求 出y、z的值.94解：此計(jì)劃為演示，具體內(nèi)容參看條款利用等比性質(zhì)，可得x -4 -y -z -z -8z 8即 x y z 12 z z 8x +y +z =12 ,24 z z 8z =4.894由一二3,得x34由 5.6 +y +4.8 =12,得=5.

8、6 ，y =1.6 .點(diǎn)評(píng)：此題由于有條件x+y+z=12,由合比性質(zhì)可直接利用這一條件，非常方便此題也可以用其它方法 解決：設(shè)一3y +z = z +8 = k,貝 1 x +4= 3k, y +z =2k, z+8=4k, x +4 +y +z +z +8 =3k +2k+ 4k,即 x +y +z y2 +z =9k,24 +z = 9k,聯(lián)立方程組24 +z =9k 加/曰,解得 k = 3.2 , z=4.8z，8 =4k，x =3k -4 =5.6 ， y=2k 8=1.6 .仞什.已知:x=y=z, 27 5分析：利用比例的性質(zhì)，解：-C =yx y-zx試比較A、B、C三者的大

9、小.求處A,B,C的值，再作比較。根據(jù)等比性質(zhì)：x y z2 5 7, x +y +z =2y,A2y 22 752c x zx +z =y,二 B =y=y =1.x +y -z =2x, C =2x=2 xABC.點(diǎn)評(píng)：此題還有下面的解法:.A二y x y z x +y zC :一- x二 ABC.設(shè)x27k=k,則 x= 2k, y =7k,2k 7k 5k2k +7k-5k2k 5k二1 ,7k2k二2紙張的大小如圖,(1)(3)將一張長(zhǎng)、寬之比為行的矩形紙ABCD依次不斷對(duì)折，可以得到矩形紙BCFE, AEML , GMFH ,LGPN.矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、

10、LGPN長(zhǎng)與寬的比改變了嗎?在這些矩形中，有成比例的線段嗎?你認(rèn)為這些大小不同的矩形相似嗎?此計(jì)劃為演示，具體內(nèi)容參看條款分析：通過計(jì)算說明.解：(1)矩形 ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長(zhǎng)與寬的比不改變?cè)O(shè)紙的寬為a,長(zhǎng)為J2a,則 TOC o 1-5 h z -2BC=a, BE= aAE=-a, ME = -MF = -, HF=_2a 24.2aLG =a, LN=.BC .2-=a : -a= q2生=2a：亙=應(yīng) TOC o 1-5 h z ME 22MF a.2.= a =q2HF 24史二二 a： a=、2LN 44所以五個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬的比不改變(2)在這些矩形

11、中有成比例的線段這些大小不同的矩形都相似點(diǎn)評(píng)：根據(jù)線段的比的定義解題 .例9.如果一個(gè)矩形 ABCD(ABBC)中，AB =占5二1y 0.618 ,那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感BC 2在黃金矩形 ABCD內(nèi)作正方形 CDEF ,得到一個(gè)小矩形 ABFE (如圖)，請(qǐng)問!形ABFE是否是黃金矩形？請(qǐng)說明你的結(jié)論的正確性EBF. 5 -1AB - 2分析：關(guān)鍵利用黃金分割的有關(guān)定義說明解:矩形ABFE是黃金矩形理由如下 TOC o 1-5 h z 一 AB .5 -1一由于 =,設(shè) AB=( V5 1)k, BC=2k,BC 2所以 FC = CD=AB, BF=BC- FC =

12、 BC-AB=2k-(痣1)k=(3指)k,BF (3 - -5)k5 -1所以=,所以矩形 ABFE是黃金矩形.AB (,5-1)k2區(qū)J10.以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形 ABCD ,取AB的中點(diǎn)P,連結(jié)PD ,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) F,使PF = PD,以AF 為邊作正方形 AMEF,點(diǎn)M在AD上，如圖此計(jì)劃為演示，具體內(nèi)容參看條款（1）求AM、DM的長(zhǎng).（2）求證：AM2=AD - DM .（3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎? 分析：通過計(jì)算證明.解：（1） .正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, P是AB中點(diǎn).AB=AD=2, AP = 1在RtAAPD 中，PD= JAP2

13、+AD2 =j5PF=PD,AF =PF -AP= 75-1,AMEF是正方形，AM =AF=75 1DM =AD - AM =2 - （ 5 1） =3- 1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料沒有剩余），使每條彩旗的長(zhǎng)和寬之比與原綢布的長(zhǎng)和寬之比相同，畫出兩種不同裁剪 方法的示意圖，并寫出相應(yīng)的a的值.解：方案（1）:.長(zhǎng)和寬之比與原綢布的長(zhǎng)和寬之比相同，（*）1a 1由（*）得圖4- 1此計(jì)劃為演示，具體內(nèi)容參看條款211 一a, , x= ,a=a方案(3):.2(*)得y= 2a11二a2a1 z= a2鵬一12圖4-2方案(4):(*)得b ,b=- a.1n=1 am=a2- 11=1.1 m+n=1請(qǐng)您欣賞：我們常常聽說有 黃金分割”這個(gè)詞， 黃金分割”當(dāng)然不是指的怎樣分割黃金，這是一個(gè)比喻的說法，就是說分割的比例像黃金一樣珍貴 .那么這個(gè)比例是多少呢？是0.618.人們把這個(gè)比例的分割點(diǎn)，叫做黃金分割點(diǎn).把0.618叫做黃金數(shù).并且人們認(rèn)為如果符合這一比例的話，就會(huì)顯得更美、更好看、更協(xié)調(diào).在生活中，對(duì)黃金分割”有著很多的應(yīng)用比如人：肚臍到腳底的距離/頭頂?shù)侥_底的距離=0.618眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618.比如，演員在臺(tái)上的時(shí)