西安交大理論力學(xué)第二章

1、第二章 剛體上力系的簡化2-1力矩的概念及計算2-2平面力偶理論2-3空間力偶理論2-4力系向一點簡化的結(jié)果主矢與主矩2-5力系向一點簡化的結(jié)果的進一步討論1、 力對點之矩21力矩的概念及計算（21）(3)作用面：力矩作用面.(2)方向:轉(zhuǎn)動方向(1）大小:力F與力臂的乘積三要素：力矩矢力矩矢是定位矢量又（22）則力對點O的矩 在三個坐標軸上的投影為（23）2.力對軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零.（24）力對軸的矩為標量，迎軸正向看逆時針之矩為正，反之為負。h=0= （2-6） 3、 力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關(guān)系 已知：力 ,力 在三根軸上的分力 ，

2、 ， ，力 作用點的坐 標 x, y, z求：力 對 x, y, z軸的矩= -+ 0= （2-5）=+0-= （2-7）（23）三式與(2-3)式比較比較（2-3）、（2-5）、（2-6）、（2-7）式可得即力對點的矩矢在過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩.過該點的某軸例2-1已知：求：解：把力 分解如圖例2已知在圖示長方體的頂點B處作用一力F，F(xiàn)=700N。求力F分別對各坐標軸之矩，并寫出力F對點O之矩矢量Mo(F)。 解：力F矢量作用點坐標為：力F矢量在三個坐標軸的投影為：力F矢量對三個坐標軸的矩為：同理有：力F矢量對O之矩為：*大小相等,方向相反,作用線平行的兩個力稱為力偶。1平面

3、力偶定義*力偶只能使物體轉(zhuǎn)動。因此，力偶與一個力不等效，它既不能合成一個力也不能與一個力平衡。*力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力偶矩度量。它等于力偶中的力的大小與兩個力之間的距離（力偶臂）的乘積。dFF2-2平面力偶理論逆時針為正，順時針為負*力偶對任意一點之力矩為常量，與矩心無關(guān)。平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。F2FPPFFF1FF1F2M(F,F)=M(P,P)將F,F于兩力偶作用線交點處沿圖示方向分解去掉平衡力F2,F2M(F,F)=M(F1,F1)=M(P,P)(F,F) (F1,F1)=(P,P)(1) 力偶可在自己的作用平面內(nèi)任 意移動，對剛體的作

4、用不變。 2平面力偶的性質(zhì)(2) 力偶可以改變F、d的大小，只要力偶矩不變，對剛體的作用不變。 (3) 力偶可以從一個平面平行移至另一 平面，只要力偶矩不變，對剛體的作用不變。 三力偶的矩分別為 設(shè)剛體上作用著三力偶（F1、F1）、（F2、F2）、（F3、F3），力偶臂分別為 d1， d2， d3 ，轉(zhuǎn)向如圖，現(xiàn)求其合成結(jié)果。d1d2d3M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=F3d3 力偶系的合成3.平面力偶系的合成經(jīng)等效變換后，各力偶中力的大小分別為dAB假定Fd1+ Fd2 Fd3，其合力合力偶的力偶矩為推廣到由任意多個力偶組成的平面力偶系,合力偶矩為dABM=Fd= (Fd1+

5、Fd2 Fd3)d= Fd1 d + Fd2 d +(Fd3)d= M1 + M2 +M3 M = M1 + M3 + +Mn 力偶系的合成4.平面力偶系平衡條件在上面討論中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，則其合力 F=0，從而有推廣到由任意個力偶組成的平面力偶系,有 結(jié)論：作用在剛體上的平面力偶系的平衡條件是力偶系中各力偶的矩之代數(shù)和等于零。 結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果是一個力偶，它的矩等于原來各力偶的矩的代數(shù)和。M = M1 + M3 + +MnM1 + M2 +M3 = 0M = M1 + M3 + +Mn 力偶系的合成例題2-3 例題 2-3 例2-3 一簡支梁AB=d，作用一力偶 M

6、 ，求二支座約束力。 解： 梁上作用力偶 M 外，還有約束力FA，F(xiàn)B。dMBAFA因為力偶只能與力偶平衡，所以 FA = FB。M FAd = 0 FB由即FA = FB = M/d 例題 2-4解：桿AB為二力桿。 例2-4 如圖所示的鉸接四連桿機構(gòu)OABD，在桿OA和BD上分別作用著矩為 M1 和 M2 的力偶，而使機構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知OA= r，DB= 2r，= 30，不計桿重，試求 M1 和 M2 間的關(guān)系。DM2BFDFBAFOFABOM1ABODM1M2A由于力偶只能與力偶平衡， 則AO桿與BD桿的受力如圖所示。分別寫出桿AO和BD的平衡方程：由M1 r FAB cos=

7、 0 得 M2 + 2r FBA cos= 0FAB = FBA 因為 M2 = 2 M1 則得 例2-5 如圖所示機構(gòu)的自重不計。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。圓輪上作用一力偶，其力偶矩為M1=2 kNm ， OA = r =0.5 m。圖示位置時OA與OB垂直,角=30o , 且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上的力偶的矩 M2 及鉸鏈O，B處的約束力。BOrACM2M1解：先取圓輪為研究對象。OAM1FOFA因為力偶只能與力偶平衡，所以，力FA 與FO 構(gòu)成一力偶，故 FA= FO。解得再取搖桿BC為研究對象。BCAFBM2其中解得解：取工件為研究對象。例6 工件上作用有三個力偶如

8、圖所示。已知：其力偶矩分別為M1=M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺柱和的距離l=200mm。求兩光滑螺柱所受的水平力。例7 已知：a、m，桿重不計。 求：鉸A、C的反力。解： AB為二力構(gòu)件。對BC構(gòu)件，由力偶平衡有：23 空間力偶1、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢空間力偶的三要素（1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；（3） 作用面：力偶作用面。 （2） 方向：轉(zhuǎn)動方向；力偶矩矢 （410）2、力偶的性質(zhì)（2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心改變而改變。(1）力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數(shù)和為零 .力偶矩因（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小

9、與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變.=(4)只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變.=(5)力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡.定位矢量力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）滑移矢量3力偶系的合成與平衡條件=有為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.如同右圖合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程.簡寫為 （411）空間力偶系平衡的充分必要條件是 :合力偶矩矢等于零，即 有例2-8求：工件所受合力偶矩在 軸上的投影 .已知：在工件四個面上同時鉆5個孔，每個孔所受切削力偶矩均為80Nm.解：把力偶用力偶

10、矩矢表示，平行移到點A .列力偶平衡方程匯交力系 各力的作用線均匯交于一點的力系。共點力系 各力均作用于同一點的力系。平面力系 各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系。否則為空間力系。2-4力系向一點簡化的結(jié)果主矢與主矩力系:共點(匯交)力系一般 (任意) 力系平面力系空間力系A(chǔ)F2F1F4F3F2F1FRF3F4BCDE表達式：FR = F1+ F2+ F3+ F4A一.共點力系合成與平衡的幾何法1 力的多邊形規(guī)則 把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形。 FRF2F1F3F4BCDEA2 共點力系的合成結(jié)果 共點力系可以合成為一個力，合力作

11、用在力系的公共作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。矢量的表達式：FR= F1+ F2+ F3+ + FnFR該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和為零。F5F2F1F3F4BCDEAAF2F1F4F3F5共點力系平衡的充分必要幾何條件為：3. 共點力系平衡的幾何條件比較下面兩力多邊形F5F2F1F3F4BCDEAF5F2F1F3F4BCDEAA60FB30aaC 例題 2-111. 取梁AB作為研究對象。FA=Fcos 30=17.3 kNFB=Fsin 30=10 kN2. 畫出受力圖。3. 應(yīng)用平衡條件畫出F，F(xiàn)A 和FB的閉合力三角形。解：FADBA

12、CFB3060FEFFBFA6030HK4. 解得 例 211 水平梁AB中點C作用著力F，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成60角，支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈支座A和活動鉸鏈支座B的約束力，梁的自重不計。 例212 如圖所示是汽車制動機構(gòu)的一部分。司機踩到制動蹬上的力F=212 N，方向與水平面成=45。當平衡時，BC水平，AD鉛直，試求拉桿BC所受的力.已知EA=24 cm，DE=6 cm點E在鉛直線DA上,又B,C,D都是光滑鉸鏈，機構(gòu)的自重不計。F246ACBOED解：1. 取制動蹬ABD作為研究對象。DABFFBOFD2. 畫出受力圖。3. 應(yīng)用平衡條件畫出F，F(xiàn)B 和FD的閉

13、合力三角形。JFDKFBFI4. 由幾何關(guān)系得由力三角形可得5. 代入數(shù)據(jù)求得FB=750 N方向自左向右。直接投影法1、力在直角坐標軸上的投影二 共點力系合成與平衡的解析法間接（二次）投影法2、空間匯交力系的合力與平衡條件空間匯交力系的合力 合矢量（力）投影定理合力的大?。?1）空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程.(4-2)該力系的合力等于零，即 由式（41）方向余弦空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點.空間匯交力系平衡的充要條件：該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別為零.例2-13已知：、求：力 在三個坐標軸上的投影. 例2-1

14、4 如圖所示壓榨機中，桿AB和BC的長度相等，自重忽略不計。A ， B，C處為鉸鏈連接。已知活塞D上受到油缸內(nèi)的總壓力為F=3kN，h=200mm，l=1500mm。試求壓塊C對工件與地面的壓力以及桿AB所受的力。DEABCllh解：1. 選活塞桿為研究對象，受力分析如圖。ByxFFBCFAB列平衡方程解方程得桿AB，BC所受的力 例題 2-142. 選壓塊C為研究對象，受力分析如圖。解方程得列平衡方程故壓塊對工件與地面的壓力分別與其大小相等。CxyFCxFCyFCB例2-15求：三根桿所受力.已知：P=1000N ,各桿重不計.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖建坐標系如圖。由解得 （壓

15、）（拉） 思考題 應(yīng)用解析法求解平面匯交力系合力問題，取不同的直 角坐標系時，所求合力是否相同？ 應(yīng)用解析法求解平面匯交力系平衡問題時，所取的投 影軸是否一定要互相垂直？力沿兩軸分力的大小和在該兩軸上的投影大小相等嗎？OyxFFyFxFyFx1、力的平移定理可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩.三 空間力系向一點簡化的結(jié)果主矢與主矩 2 空間任意力系向一點的簡化其中，各 ，各一空間匯交力系與空間力偶系等效代替一空間任意力系.空間匯交力系的合力稱為力系的主矢空間力偶系的合力偶矩稱為空間力偶系的主矩由力對點的矩與力對軸

16、的矩的關(guān)系，有有效推進力飛機向前飛行有效升力飛機上升側(cè)向力飛機側(cè)移滾轉(zhuǎn)力矩飛機繞x軸滾轉(zhuǎn)偏航力矩飛機轉(zhuǎn)彎俯仰力矩飛機仰頭1合力最后結(jié)果為一合力.合力作用線距簡化中心為2-5力系向一點簡化的結(jié)果的進一步討論當 時，當 最后結(jié)果為一個合力.合力作用點過簡化中心.合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的矢量和.合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和.2合力偶當 時，最后結(jié)果為一個合力偶。此時簡化結(jié)果與簡化中心無關(guān)。力螺旋中心軸過簡化中心(a)、(b)分別稱為右、左手螺旋上式向過O點的某軸（如z軸）投影得3力螺旋當 時當 成角 且 既不平行也不垂直時力螺旋中心軸距簡化中心為O4平衡當

17、時，空間力系為平衡力系力系向任一點O簡化的結(jié)果主矢主矩力系簡化最后結(jié)果說明 OM0=平衡平衡力系0=合力偶主矩與簡化中心的位置無關(guān) OM0=合力合力作用線通過簡化中心OM 合力合力作用線離簡化中心O的距離OMd=0M/力螺旋力螺旋的中心軸通過簡化中心 力螺旋力螺旋的中心軸離簡化中心O的距離OMd=asin 與Mo成aMo 0Mo 00Mo 0平面任意力系的簡化結(jié)果分析主矢主矩最后結(jié)果說明合力合力合力作用線過簡化中心合力作用線距簡化中心合力偶平衡與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)其中合力矩定理顯然此式也適合空間力系合力矩定理的直角坐標形式對任意力系,由合力矩定理利用上式可以很方便地求出合力作用線方程(x,y)例 如圖所示，圓柱直齒輪受嚙合力的作用。設(shè)F=1400N。壓力角a=20o齒輪的節(jié)圓（嚙合圓）半徑r=60m