矩陣奇異值分解_第1頁
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文檔簡介

1、第三節(jié) 奇異值分解 矩陣的奇異值分解在矩陣特征值問題，最小二乘法問題及廣義逆矩陣問題等有重要應(yīng)用1矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型定理：設(shè)則存在使得右式稱為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型酉等價(jià)：設(shè)若存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得則稱A與B酉等價(jià)。矩陣的奇異值分解就是矩陣在酉等價(jià)下的一種標(biāo)準(zhǔn)型。2引理1 證明 設(shè)是AHA的特征值，x是相應(yīng)的特征向量，則 AHAx= x由于AHA為Hermite 矩陣，故是實(shí)數(shù)。又同理可證AAH的特征值也是非負(fù)實(shí)數(shù)。3證明 設(shè)x是方程組AHAx=0的非0解，引理2 則由得4對(duì)于Hermite 矩陣AHA， AAH，設(shè) AHA， AAH有r個(gè)非0特征值，分別記為即： AHA與AAH非0特

2、征值相同，并且非零特征值的個(gè)數(shù)為5奇異值的定義說明：A的正奇異值個(gè)數(shù)恰等于 ，并且A與AH有相同的奇異值。6定理 酉等價(jià)的矩陣有相同的奇異值由7稱為矩陣A的酉等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.奇異值分解定理8證明由于AHA是Hermite矩陣，存在n階酉矩陣V,使其中將矩陣V分塊，則有：9比較等式兩端得：從而有設(shè)10即U1的r個(gè)列是兩兩正交的單位向量，則11于是12推論 在矩陣A的奇異值分解A=UDVH中，U的列向量為AAH的特征向量， V的列向量為AHA的特征向量.說明：此定理僅是奇異值分解的必要條件，但不是充分條件。131求矩陣AHA的酉相似對(duì)角矩陣及酉相似矩陣V;5 構(gòu)造奇異值分解 4擴(kuò)充U1為酉矩陣U=(U1 ,U2)3令2記奇異值分解方法1利用矩陣AHA求解14例1、求矩陣的奇異值分解可求得 的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量依次為于是可得：令其中計(jì)算：15構(gòu)造：則的奇異值分解為16奇異值分解方法2-利用矩陣AAH求解1先求矩陣AAH的酉相似對(duì)角矩陣及酉相似矩陣U;4擴(kuò)充V1為酉矩陣V=(V1 ,V2)

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