中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)及四邊形綜合專題

1、-PAGE . z二次函數(shù)與四邊形綜合專題一二次函數(shù)與四邊形的形狀例1.如圖，拋物線與*軸交A、B兩點A點在B點左側(cè)，直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為21求A、B 兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式；2P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；3點G是拋物線上的動點，在*軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由A解：1令y=0，解得或A-1，0B3，0；將C點的橫坐標(biāo)*=2代入得y=-3，C2，-3直線AC的函數(shù)解析式是y=-*-1 2設(shè)P點的橫

2、坐標(biāo)為*-1*2則P、E的坐標(biāo)分別為：P*，-*-1，EP點在E點的上方，PE=當(dāng)時，PE的最大值=3存在4個這樣的點F，分別是練習(xí)1.如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A6，0和B0，41求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；2設(shè)點E，是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值圍；當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？假設(shè)存在，求出點E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由B(0,4)A(6,0)EFOB(0,4)A(6,0)EFO練習(xí)1

3、.解：1由拋物線的對稱軸是，可設(shè)解析式為把A、B兩點坐標(biāo)代入上式，得 解之，得故拋物線解析式為，頂點為2點在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，y0,y表示點E到OA的距離OA是的對角線，因為拋物線與軸的兩個交點是1，0的6，0，所以，自變量的取值圍是16根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時，即化簡，得 解之，得故所求的點E有兩個，分別為E13，4，E24，4點E13，4滿足OE = AE，所以是菱形；點E24，4不滿足OE = AE，所以不是菱形當(dāng)OAEF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的坐標(biāo)只能是3，3而坐標(biāo)為3，3的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形練習(xí)2.如圖，與軸交于點和的

4、拋物線的頂點為，拋物線與關(guān)于軸對稱，頂點為1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；2原點，定點，上的點與上的點始終關(guān)于軸對稱，則當(dāng)點運動到何處時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形？12345543213在上是否存在點，使是以為斜邊且一個角為的直角三角形？假設(shè)存，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由1234554321練習(xí)3.如圖，拋物線與坐標(biāo)軸的交點依次是，1求拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線的解析式；2設(shè)拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交于兩點點在點的左側(cè)，頂點為，四邊形的面積為假設(shè)點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與

5、點重合為止求出四邊形的面積與運動時間之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值圍；3當(dāng)為何值時，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；4在運動過程中，四邊形能否形成矩形？假設(shè)能，求出此時的值；假設(shè)不能，請說明理由二二次函數(shù)與四邊形的面積例1.如圖10，拋物線P：y=a*2+b*+c(a0) 與*軸交于A、B兩點(點A在*軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上局部點的橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：*-3-212y-4-0圖10(1) 求A、B、C三點的坐標(biāo)；(2) 假設(shè)點D的坐標(biāo)為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，

6、并指出m的取值圍；(3) 當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=kDF，假設(shè)點M不在拋物線P上，求k的取值圍.練習(xí)1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標(biāo)為8，0，點N的坐標(biāo)為6，41畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉(zhuǎn)180的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標(biāo)點M的對應(yīng)點為A， 點N的對應(yīng)點為B， 點H的對應(yīng)點為C；2求出過A，B，C三點的拋物線的表達式； 3截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值圍；面積S是否存在最小值假設(shè)存在，請求出這個最小值；假設(shè)不

7、存在，請說明理由；4在3的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，假設(shè)存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；假設(shè)不存在，說明理由BCPODQABPCODQA練習(xí)2.如圖，正方形的邊長為，在對稱中心處有一釘子動點，同時從點出發(fā)，點沿方向以每秒的速度運動，到點停頓，點沿方向以每秒的速度運動，到點停頓，兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯(lián)結(jié)，設(shè)秒后橡皮筋掃過的面積為1當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時，求值；3當(dāng)時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停頓時的變化圍；4當(dāng)時，請在給出的直角坐標(biāo)系中畫出與之間的函數(shù)圖象練習(xí)3.如圖，拋物線l1：y=*2-4的圖象與

8、*軸相交于A、C兩點，B是拋物線l1上的動點(B不與A、C重合)，拋物線l2與l1關(guān)于*軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D.(1) 求l2的解析式；(2) 求證：點D一定在l2上；(3) ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共局部的面積(假設(shè)只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請說明理由. 注：計算結(jié)果不取近似值.三二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究例1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形紙片OABC，O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)現(xiàn)將PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cE，

9、將POE沿PE翻折，得到PFE，并使直線PD、PF重合(1)設(shè)P(*，0)，E(0，y)，求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(2)如圖2，假設(shè)翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？假設(shè)不存在，說明理由；假設(shè)存在，求出點Q的坐標(biāo)圖1圖2例2.拋物線ya*2b*c與*軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在*軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長OBOC是方程*210*160的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線*21求A、B、C三點的坐標(biāo)；2求此拋物線的表達式；3連

10、接AC、BC，假設(shè)點E是線段AB上的一個動點與點A、點B不重合，過點E作EFAC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值圍；4在3的根底上試說明S是否存在最大值，假設(shè)存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)，判斷此時BCE的形狀；假設(shè)不存在，請說明理由例3. 如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，將矩形ABCD沿對角線A平移，平移后的矩形為EFGHA、E、C、G始終在同一條直線上，當(dāng)點E與C重時停頓移動平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，F(xiàn)G與DC的延長線交于點Q設(shè)S表示矩形PCMH的面積

11、，表示矩形NFQC的面積1 S與相等嗎？請說明理由2設(shè)AE*，寫出S和*之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出*取何值時S有最大值，最大值是多少？3如圖11，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時，是等腰三角形 圖10圖11練習(xí)1.如圖12，四邊形OABC為直角梯形，A4，0，B3，4，C0，4點從出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向運動其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停頓運動過點作垂直軸于點，連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ1點填M或N能到達終點；2求AQM的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值圍，當(dāng)t為何值時，S的值最大；3是否存在點M，使得AQM為直角三角

12、形？假設(shè)存在，求出點M的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說明理由圖12練習(xí)2. 實驗與探究1在圖1，2，3中，給出平行四邊形的頂點的坐標(biāo)如下圖，寫出圖1，2，3中的頂點的坐標(biāo)，它們分別是，；圖1圖2圖32在圖4中，給出平行四邊形的頂點的坐標(biāo)如下圖，求出頂點的坐標(biāo)點坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示；圖4歸納與發(fā)現(xiàn)3通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形處于直角坐標(biāo)系中哪個位置，當(dāng)其頂點坐標(biāo)為如圖4時，則四個頂點的橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為不必證明；運用與推廣4在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線和三個點，其中問當(dāng)為何值時，該拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？并求

13、出所有符合條件的點坐標(biāo)參考答案：一二次函數(shù)與四邊形的形狀例1.解：1令y=0，解得或A-1，0B3，0；將C點的橫坐標(biāo)*=2代入得y=-3，C2，-3直線AC的函數(shù)解析式是y=-*-1 2設(shè)P點的橫坐標(biāo)為*-1*2則P、E的坐標(biāo)分別為：P*，-*-1，EP點在E點的上方，PE=當(dāng)時，PE的最大值=3存在4個這樣的點F，分別是B(0,4)A(6,0)EFO練習(xí)1.解：1由拋物線的對稱軸是，可設(shè)解析式為把A、B兩點坐標(biāo)代入上式，得 解之，得故拋物線解析式為，頂點為2點在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，y0,y表示點E到OA的距離OA是的對角線，因為拋物線與軸的兩個交點是1，0的6，0，所以，自

14、變量的取值圍是16根據(jù)題意，當(dāng)S = 24時，即化簡，得 解之，得1234554321故所求的點E有兩個，分別為E13，4，E24，4點E13，4滿足OE = AE，所以是菱形；點E24，4不滿足OE = AE，所以不是菱形當(dāng)OAEF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的坐標(biāo)只能是3，3而坐標(biāo)為3，3的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形練習(xí)2.解：1由題意知點的坐標(biāo)為設(shè)的函數(shù)關(guān)系式為又點在拋物線上，解得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為或2與始終關(guān)于軸對稱， 與軸平行123554321設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則其縱坐標(biāo)為，即當(dāng)時，解得當(dāng)時，解得當(dāng)點運動到或或或時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形3滿足

15、條件的點不存在理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點在上，則，或，過點作于點，可得，點的坐標(biāo)為但是，當(dāng)時，不存在這樣的點構(gòu)成滿足條件的直角三角形練習(xí)3. 解1點，點，點關(guān)于原點的對稱點分別為， 設(shè)拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是 2由1可計算得點 過點作，垂足為當(dāng)運動到時刻時， 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，所以四邊形是平行四邊形所以所以，四邊形的面積 因為運動至點與點重合為止，據(jù)題意可知所以，所求關(guān)系式是，的取值圍是 3，所以時，有最大值 提示：也可用頂點坐標(biāo)公式來求4在運動過程中四邊形能形成矩形 由2知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當(dāng)時四邊形是矩形所以所以 所以解之得舍所以在運動過程中四

16、邊形可以形成矩形，此時 點評此題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。二二次函數(shù)與四邊形的面積例1. 解：1解法一：設(shè)，任取*,y的三組值代入，求出解析式，令y=0，求出；令*=0，得y=-4，A、B、C三點的坐標(biāo)分別是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)解法二：由拋物線P過點(1，-)，(-3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為*=-1，又 拋物線P過(2，0)、(-2，-4)，則由拋物線的對稱性可知，點A、B、C的坐標(biāo)分別為 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).2由題意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，

17、又，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2).注：也可通過解RtBOC及RtAOC，或依據(jù)BOC是等腰直角三角形建立關(guān)系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當(dāng)矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，-2)，F(xiàn)(-2，-2)，E(-2，0)，設(shè)直線DF的解析式為y=k*+b，易知，k=，b=-，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可求出. 設(shè)射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標(biāo)為，過N作*軸的垂線交*軸于H，有=，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取

18、值圍是k且k0.說明：假設(shè)以上兩條件錯漏一個，本步不得分.假設(shè)選擇另一問題：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，=DGFG=6.練習(xí)1.解：利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC 1分A，B，C三點與M，N，H分別關(guān)于點O中心對稱，A0，4，B6，4，C8，0 3分寫錯一個點的坐標(biāo)扣1分2設(shè)過A，B，C三點的拋物線關(guān)系式為，拋物線過點A0，4， 則拋物線關(guān)系式為 4分將B6，4， C8，0兩點坐標(biāo)代入關(guān)系式，得 5AB，垂足為G，則sinFEGsinCAB分解得 6分所求拋物線關(guān)系式為： 7分3OA=4，OC=8，AF=4m，OE=

19、8m 8分OAAB+OCAFAGOEOFCEOA 04 10分 當(dāng)時，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分4當(dāng)時，GB=GF，當(dāng)時，BE=BG 14分練習(xí)2.解 1當(dāng)時，即 2當(dāng)時，橡皮筋剛好觸及釘子， 3當(dāng)時，即 作，為垂足當(dāng)時，即或4如下圖：練習(xí)3. 解(1)設(shè)l2的解析式為y=a*2+b*+c(a0)，l1與*軸的交點為A(-2，0)，C(2，0)，頂點坐標(biāo)是(0，- 4)，l2與l1關(guān)于*軸對稱，l2過A(-2,0),C(2,0)，頂點坐標(biāo)是(0，4)，a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式為y= -*2+4 . (還可利用頂點式、對稱性關(guān)系等方法解答)(2)

20、設(shè)點B(m，n)為l1：y=*2-4上任意一點，則n= m2-4 (*).四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關(guān)于原點O對稱，B、D關(guān)于原點O對稱， 點D的坐標(biāo)為D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即點D的坐標(biāo)滿足y= -*2+4， 點D在l2上. (3) ABCD能為矩形.過點B作BH*軸于H，由點B在l1：y=*2-4上，可設(shè)點B的坐標(biāo)為 (*0，*02-4)，則OH=| *0|，BH=| *02-4| .易知，當(dāng)且僅當(dāng)BO= AO=2時，ABCD為矩形.在RtOBH中，由勾股定理得，| *0|2+| *02-4|2=22，(*02-4)( *0

21、2-3)=0，*0=2(舍去)、*0= EQ R(,3) .所以，當(dāng)點B坐標(biāo)為B( EQ R(,3) ，-1)或B(- EQ R(,3) ，-1)時，ABCD為矩形，此時，點D的坐標(biāo)分別是D(- EQ R(,3) ，1)、D( EQ R(,3) ，1).因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形ABCD .設(shè)直線AB與y軸交于E ，顯然，AOEAHB， EQ F(EO,AO) = EQ F(BH,AH) ，.EO=4-2 . 由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形ABCD重合局部是菱形，其面積為S=2SACE=2 EQ F(1,2) AC EO =2 EQ F(1,2) 4(4-2

22、EQ R(,3) )=16 - 8 EQ R(,3) . 三二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究例1.解：由PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，則BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0*4)且當(dāng)*=2時，y有最大值(2)由，PAB、POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)設(shè)過此三點的拋物線為y=a*2b*c，則y=(3)由(2)知EPB=90，即點Q與點B重合時滿足條件直線PB為y=*1，與y軸交于點(0，1)將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，該直線為y=*1由得Q(5，6)故該拋物線上存在兩點Q(

23、4，3)、(5，6)滿足條件例2.解：1解方程*210*160得*12，*281分點B在*軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBOC點B的坐標(biāo)為2，0，點C的坐標(biāo)為0，8又拋物線ya*2b*c的對稱軸是直線*2由拋物線的對稱性可得點A的坐標(biāo)為6，04分2點C0，8在拋物線ya*2b*c的圖象上，c8，將A6，0、B2，0代入表達式，得解得所求拋物線的表達式為y*2*87分3依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即，EFFG8mSSBCESBFE8m88m8m8m88m8mmm24m10分自變量m的取值圍是0m811分4存在理由：Sm24mm428且0，當(dāng)m

24、4時，S有最大值，S最大值812分m4，點E的坐標(biāo)為2，0BCE為等腰三角形14分以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分例3解:1相等。理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，所以所以 即：2AB3，BC4，AC5，設(shè)AE*，則EC5*，所以，即配方得：，所以當(dāng)時，S有最大值33當(dāng)AEAB3或AEBE或AE3.6時，是等腰三角形練習(xí)1解：1點M1分2經(jīng)過t秒時，則，=當(dāng)時，S的值最大3存在設(shè)經(jīng)過t秒時，NB=t，OM=2t 則，=假設(shè)，則是等腰Rt底邊上的高是底邊的中線點的坐標(biāo)為1，0假設(shè)，此時與重合點的坐標(biāo)為2，0練習(xí)2.解：1，2分別過點作軸的垂線，垂足分別為，分別過作于，于點在平行四邊形中，又，又，設(shè)由，得由，得3，或，4假設(shè)為平行四邊形的對角線，由3可得要使在拋物線上，則有，即舍去，此時假設(shè)為平行四邊形的對角線，由3可得，同理可得，此