無窮級(jí)數(shù)求和問題幾種方法

1、-PAGE . z目錄摘要 21無窮級(jí)數(shù)求和問題的幾種方法 21.1利用級(jí)數(shù)和的定義求和 21.2利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求和 31.3利用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理求和 41.4逐項(xiàng)求極限 51.5利用級(jí)數(shù)求和 71.6構(gòu)建微分方程 91.7拆項(xiàng)法 91.8將一般項(xiàng)寫成*數(shù)列相鄰項(xiàng)之差 102總結(jié) 123參考文獻(xiàn) 12無窮級(jí)數(shù)求和問題的幾種方法摘要：無窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要容，同時(shí)無窮級(jí)數(shù)求和問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)過程中較難掌握的局部.然而，無窮級(jí)數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)無窮級(jí)數(shù)的不同特點(diǎn)，介紹幾種常用的求無窮級(jí)數(shù)的和的方法和技巧.關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；冪級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)求

2、和無窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要容，它是以極限理論為根底，用以表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)展數(shù)值計(jì)算的一種重要工具.然而數(shù)學(xué)分析中注重函數(shù)的斂散問題，卻對(duì)無窮級(jí)數(shù)求和問題的方法介紹的比擬少，所以求和問題是學(xué)生學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)過程中較難掌握的局部.無窮級(jí)數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循.本文結(jié)合具體例子，根據(jù)不同的無窮級(jí)數(shù)的不同特點(diǎn)，介紹幾種常用的求無窮級(jí)數(shù)的和的方法和技巧.1利用級(jí)數(shù)和的定義求和定義假設(shè)級(jí)數(shù)的局部和數(shù)列收斂于有限值S，即,則稱級(jí)數(shù)收斂，記為，此時(shí)S稱為級(jí)數(shù)的和數(shù)；假設(shè)局部和數(shù)數(shù)列發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散. 求級(jí)數(shù)，的和.解：(1) (2)1-2得：即級(jí)數(shù)和.2利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求和利用函數(shù)

3、的冪級(jí)數(shù)展開式可以解決*些級(jí)數(shù)的求和問題.下面是幾個(gè)重要的冪級(jí)數(shù)展開式：例等等.例2求的和.解 :=注意到得.3利用逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理求和定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,其和函數(shù)為，則在冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分.即：對(duì)任意一點(diǎn)，有：并且逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)顯然是冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑仍為.例3計(jì)算無窮級(jí)數(shù)之和.解：對(duì)于級(jí)數(shù).兩邊從0積分到得,，兩邊從0積分到得,上式右邊是原級(jí)數(shù).故級(jí)數(shù)和,.例4 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：令，冪函數(shù)的收斂半徑故原函數(shù)的收斂半徑，從而收斂區(qū)間為，而知級(jí)數(shù)，記，且于是，對(duì)上式，從0到作積分得,=因此.4逐項(xiàng)求極限如果函數(shù)在端點(diǎn)處無定義，則可用求極限的方法討論在端點(diǎn)

4、處的和函數(shù).例5求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：1容易驗(yàn)證該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2再求冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上的和函數(shù)，下面用逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法求解.設(shè)，則有再設(shè)，又有于是對(duì)上式兩邊進(jìn)展積分，得并有.再進(jìn)展積分，又得3最后討論冪級(jí)數(shù)在其收斂域上的和函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在處左連續(xù)，而冪級(jí)數(shù)在處收斂，所以等式在處也成立.但因在處無定義，故要改用逐項(xiàng)求極限來確定該冪級(jí)數(shù)在處的值，即由得到所以原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為.5利用級(jí)數(shù)求和求*些數(shù)值級(jí)數(shù)的和可選擇*個(gè)特殊的函數(shù)在或上展成傅里葉級(jí)數(shù)，然后再去適當(dāng)?shù)闹祷蛑痦?xiàng)積分即可.例6求的和.解：可以看作是余弦函數(shù)在時(shí)的值，因此可以考慮適中選取一個(gè)偶函數(shù)，滿足對(duì)于上式左端利用分部積分，得到=

5、注意到有取，則同時(shí)，這樣在上的級(jí)數(shù)為令，得例7證明: .證明:將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)，是由柏塞瓦爾等式函數(shù)連續(xù),有即.6構(gòu)建微分方程如果*些級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的分母類似于階乘的級(jí)數(shù)時(shí)，可以利用經(jīng)過逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)積分后得到的級(jí)數(shù)之和函數(shù)與原級(jí)數(shù)的和函數(shù)構(gòu)成微分方程，然后解微分方程來求其和.例8 求級(jí)數(shù)之和.解：設(shè)冪級(jí)數(shù)則于是所得一階微分方程：,其通解為由得因此得從而.7拆項(xiàng)法無窮級(jí)數(shù)求和時(shí)，有時(shí)根據(jù)一般項(xiàng)的特點(diǎn)，將一般項(xiàng)進(jìn)展拆分來簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.例9 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解:先求冪級(jí)數(shù)的收斂域.因?yàn)?，且?jí)數(shù)與都發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?由于因此,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，所以所求和函?shù)為,.8將一般項(xiàng)寫成*數(shù)

6、列相鄰項(xiàng)之差用這一方法求無窮級(jí)數(shù)的和，首先需要解決：，如何求？當(dāng)，其中形成公差為的等差數(shù)列時(shí)，為待定因子.于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果能將一般項(xiàng)寫*數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差:且極限存在，則，所以.例10 求級(jí)數(shù)之和.解：一般項(xiàng)=令則，.例11 求的和.解: 則.總之，窮級(jí)數(shù)求和沒有一個(gè)固定的方法可循，其實(shí)無窮級(jí)數(shù)求和方法很多，我們要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié).這里只介紹了一些常用的方法和技巧，希望對(duì)大家計(jì)算求和問題有一定的幫助.參考文獻(xiàn)：傳璋.數(shù)學(xué)分析.：高等教育.1983.裘兆泰.王承國(guó).數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo).：科學(xué).2004.素峰.關(guān)于無窮級(jí)數(shù)求和問題的探討.學(xué)院學(xué)報(bào),2008,23(4):100-101.吳良森.毛羽輝

7、.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.：高等教育出版.2004.玉璉.奎元.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書.：高等教育.1987.Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong 20071115051Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fi*ed method to follow. bined with a concrete e*ample, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce