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1、.頁腳2016-2017第二學(xué)期彈性力學(xué)考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、概念問答題1、以應(yīng)力作未知量,應(yīng)滿足什么方程及什么邊界條件?答:以應(yīng)力作為未知量應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。(5分)2、平面問題的未知量有哪些?方程有哪些?答:平面問題有b、b、T、Y、U、V八個,方程有兩個平衡方程,三個幾何方程,三個物理方程。(5分)3、已知b=200Pa,b=100Pa,t=50Pa及c=100Pa,b=300Pa,xyxyr0t=100Pa,試分別在圖中所示單元體畫出應(yīng)力狀態(tài)圖。r04、簡述圣維南原理。答:如果把物體的一小部分邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同,對同一點的主矩
2、也相同),那么,近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變,但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。(5分)5、簡述應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義。答:形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體f位移連續(xù)f幾何方程f形變協(xié)調(diào)條件。(2分)形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)f對應(yīng)的位移存在f位移必然連續(xù);形變不協(xié)調(diào)f對應(yīng)的位移不存在f不是物體實際存在的形變f微分體變形后不保持連續(xù)。(3分)6、剛體位移相應(yīng)于什么應(yīng)變狀態(tài)。答:剛體位移相應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài),對平面問題為8=8=0(5分)xyxy7、簡述最小勢能原理,該原理等價于彈性力學(xué)的哪些基本方程?答:由位移變分方程可得6u-JJJ(Xu+Yv+Zw)dxdy
3、dz-JJ(XU+Yv+Zw)dS=0或6n=06n=U-JJJ(Xu+Yv+Zw)dxdydz-JJ(Xu+Yv+Zw)dS其中n為物體得總勢能(形變勢能和外力勢能在之和),6n=0稱為最小勢能原理,它表明物體處于平衡位置時,總勢能的一階變分為零??梢宰C明:在線彈性體中,62no,即在所有幾何可能的位移中,實際的位移使總勢能取最小值。最小勢能原理等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。(5分)二、已知下述應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時產(chǎn)生的,試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系(5分)=A+A(X2+y2)+X4+y4TOC o 1-5 h zx01=B+B(x2+y2)+x4+y4y01Y=C+Cxy(x2+y2+
4、C)xy012答:應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件,即d糾2分)d2也x+ydy2dx2由題中給出的應(yīng)變可得:d2d2d2x=2A+12y2,y=2B+12x2,xy=3Cx2+3Cy2+CCdy21dx21dxdy1112則由相容條件可得:2A+12y2+2B+12x2=3Cx2+3Cy2+CC111112上式對任意x,y均成立,則有:12=3C(C=42A+2B=CCA+A=2C(3分)1112122三、試寫出圖中所示各邊的精確邊界條件,圖中s、q均為均勻分布荷載,AF為固定邊界。(15分)解:AF邊:u=0,v=0AB邊:Q=0,T=0yxyEF邊:Q=0,T=0(2分)(2分)
5、(2分)BC邊:yxy(4分)lsina=v,m一cosa:2C至巨scos-至s2xy2T2xy遼.一ssinxs2y2Q+T二一SxxyT+Q二SxyyCD邊:(2分)Q二一qxT=0 xyDE邊:(3分)l=sin亞2m=cosa222Q+t=scosa=sx22xy2邁(e)(3分)I,K為x、y向的剛體平移,H為繞o點的剛體轉(zhuǎn)動角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁,其跨度為l抗彎剛度EI為常數(shù),彈簧系數(shù)為k,承受分布荷載q(x)的作用(如圖所示)。試用位移變分方程(或最小勢能原理)導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件(15分)解:用位移變分方程推導(dǎo)(1)梁總應(yīng)變能的改
6、變?yōu)?J1EJfd2v2dx=EJJifd2v:6fd2v2oVdx2丿0Vdx2丿Vdx2丿8U=6dx(1分)外力總虛功為Jlq(x)6vdxR(6v)=Jlq(x)6vdxk(v6v)0A由位移變分方程得EJJ(四oIdx2丿1分)A0 x=l.dx2丿對上式左端運用分部積分得EJJif空、o(dx2丿dx=Jlq(x)6vdxk(v6v)0 x=ldx=EJJldvd60dx2dv、dx丿=EJd2v6dx2=EJ代入(a)式,經(jīng)整理得d2vqfdv)dx2Idx丿-EJd3v6vdx3(a)(1分)f綃1EJJ也6|耐Vdx丿0dx3(dx丿0d2vq(dv)6Idx2Idxd3v6
7、vdx3x=0dx+kvEJ空6v+J1丿Vdx3丿0d4vEJ-qdx4d2v(dvEJ6Idx2dx1+EJJ也dxodx4o(x)6vdx=0 x=l(b)(3分)由于變分6v的任意性,式(b)成立的條件為EJ業(yè)q(x)=0dx4fdvd3v(c)d2v6dx2Idx丿6vdx3x=0d2ve/dv(d3v)EJ5+kv-EJ5vdx2dx丿Vdx3丿二0(e)(3分)xl(4)式(c)就是以撓度v表示的平衡微分方程。卞面討論邊界條件。由于梁的左端為固定端,因此有(dv)5|一Vdx丿梁的右端為彈性支撐,則有(5v)主0,xl(5v)0,x00 x0(dv)5|一Vdx丿_xl注意到式(d)能滿足,而欲使式(e)成立,必須滿足d2vVdx2式f)、0,kv-EJ空Vdx3丿0(f)(2分)(g)(2分)(h
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