人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《4.1數(shù)列的概念（第2課時(shí)）》教案

1、4.1數(shù)列的概念（2） 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章數(shù)列，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系。“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項(xiàng)公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系等。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對(duì)深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點(diǎn)，更是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。學(xué)生主動(dòng)自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)

2、歷辨析、抽象、概括等過(guò)程，影響概念學(xué)習(xí)過(guò)程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點(diǎn).課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解數(shù)列遞推公式的含義,會(huì)用遞推公式解決有關(guān)問(wèn)題.B.會(huì)利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列遞推公式 2.邏輯推理：數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)及通項(xiàng) 重點(diǎn)：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系難點(diǎn)：用遞推公式解決有關(guān)問(wèn)題、用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)課前小測(cè)1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5()A10

3、B12 C14 D16B解析：由題意，通項(xiàng)公式為aneq f(1,2)(n1)(n1)，則a5eq f(1,2)(51)(51)12.故選B.2由數(shù)列前四項(xiàng)：，則通項(xiàng)公式_【詳解】由題意，該數(shù)列前四項(xiàng)可變?yōu)椋?，由此可歸納得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為3已知數(shù)列的前幾項(xiàng)是、，寫出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_【詳解】該數(shù)列的前四項(xiàng)可表示為，因此，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.二、新知探究例4. 圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解：在圖中（1）（2）（3）（4）中，著色三角形個(gè)數(shù)依次為 1,3,9,27即所求數(shù)列的前4項(xiàng)

4、都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1，因此這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=3n-1 換個(gè)角度觀察圖中的4個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)a1=1，且每個(gè)圖形中的著色三角形都在下一個(gè)圖形中分裂為3個(gè)著色小三角形和1個(gè)無(wú)色小三角形，于是從第2個(gè)圖形開始，每個(gè)圖形中著色三角形的個(gè)數(shù)都是前一個(gè)圖形中著色三角形個(gè)數(shù)的三倍，這樣，例4中的數(shù)列的前4項(xiàng)滿足a1=1，a2=3a1，a3=3a2，a4=3a3由此猜測(cè)，這個(gè)數(shù)列滿足公式an=1，n=13an-1,n2通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之

5、間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項(xiàng)依次求出.一、數(shù)列的遞推公式 像an=3an-1n2這樣，如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，知道了首項(xiàng)和遞推公式就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了1.設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an=1+1an-1(nN*,n1),則a3=.解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+1a2=32.答案:32二、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和1.數(shù)列an從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+an.如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子

6、叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.點(diǎn)睛(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必須注意它成立的條件(n2且nN*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示,即an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.2.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法( )(2)所有數(shù)列都有遞推公式( )(3)anSnSn1成立的條件是nN*.( )（1）（2）（3） 3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解:a1

7、=S1=1+2=3,而n2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n-1)2+2=2n-1.在中,當(dāng)n=1時(shí),21-1=1,故a1不適合式.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3,n=1,2n-1,n2.三、典例解析例1已知數(shù)列an,a1=1,且滿足an=3an-1+(-1)n2(nN*,且n1),寫出數(shù)列an的前5項(xiàng).分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 解:由題意,得a2=3a1+(-1)22,而a1=1,所以a2=31+(-1)22=72.同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42=612,a5=3a4+(-1)52=91. 由遞推公式寫出數(shù)

8、列的項(xiàng)的方法 根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問(wèn)題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.跟蹤訓(xùn)練1 已知數(shù)列an滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是()A.15B.255 C.16 D.63解析:因?yàn)閍1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列an，a12，an12an，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式解：由a12，an12an

9、，得：a22a122422，a32a224823，a42a3281624，a52a42163225，猜想an2n(nN*)例2 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解:Sn=-2n2+10n, Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-41+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,an=12-4n.變式探究：試求本例中Sn的最大值. 解:Sn=-2n2+10n=-2n-522+252, 又nN*,當(dāng)n=2或n=3時(shí),Sn最大,即S2或S3最

10、大.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式的步驟：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1.(2)當(dāng)n2時(shí)，根據(jù)Sn寫出Sn1，化簡(jiǎn)anSnSn1.(3)如果a1也滿足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anSnSn1；如果a1不滿足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的式子，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式要分段表示為aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)跟蹤訓(xùn)練3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則an_.解析：Sn3n22n1，Sn13(n1)22(n1)13n28n6.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n1)(3n28n6)6n5.又當(dāng)n1時(shí)，a1S12不

11、適合上式，aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,6n5，n2.)通過(guò)課前小測(cè)，進(jìn)步深化學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過(guò)具體問(wèn)題的思考和分析，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生理解數(shù)列求和概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列遞推公式的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，幫助靈活運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

12、。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知數(shù)列an,a1=1,an+1=12an+12n,則該數(shù)列的第3項(xiàng)等于()A.1B.14 C.34D.58解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2+122=34.答案:C 2.已知數(shù)列an,an-1=man+1(n1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B. 25 C.2 D.5解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25.答案:B 3.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列an的各項(xiàng)中最大項(xiàng)是()A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)解析:因?yàn)閍n=-2n2+25n=-2n-2542+6258,且nN*,所以當(dāng)n=6

13、時(shí),an的值最大,即最大項(xiàng)是第6項(xiàng).答案:C 4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an+23,nN*,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=()A.356n-1-1B.356n-1C.356n-1+1D.356n+1解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=1-5a1+23,解得a1=4.當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+16,即an-1=56(an-1-1),故數(shù)列an-1是以3為首項(xiàng),56為公比的等比數(shù)列,則an-1=356n-1,所以an=356n-1+1.故選C.答案:C 5. (1)已知數(shù)列an滿足a1=-1,an+1=an+1n-1

14、n+1,nN*,求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(2)在數(shù)列an中,a1=1,an=1-1nan-1(n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析:(1)先將遞推公式化為an+1-an=1n-1n+1,再利用累加法求通項(xiàng)公式;(2)先將遞推公式化為anan-1=n-1n,再利用累乘法求通項(xiàng)公式.解:(1)an+1-an=1n-1n+1,a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=13-14,an-an-1=1n-1-1n(n2),將以上n-1個(gè)式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=1-12+12-13+1n-1-1n,即an-a1=1-1n(n2,nN*).an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n2,nN*).又當(dāng)n=1時(shí),a1=-1也符合上式.an=-1n.(2)因?yàn)閍1=1,an=1-1nan-1(n2),所以anan-1=n-1n,所以an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=n-1nn-2n-1n-3n-223121=1n.又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),a1=1,符合上式,所以an=1n.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推