雙因素與多因素方差分析

1、關(guān)于雙因素和多因素方差分析第一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握：兩因素交叉分組（有重復(fù)觀察值、無重復(fù)觀察值）資料的方差分析方法。熟悉：多因素試驗(yàn)線性模型和不同變異來源期望均方構(gòu)成。了解：缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)原理及方差分析方法。第二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月講授內(nèi)容第一節(jié) 雙因素方差分析概述第二節(jié) 不同實(shí)驗(yàn)類型的雙因素方差分析第三節(jié) 多因素試驗(yàn)的方差分析第四節(jié) 缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)第五節(jié) 數(shù)據(jù)變換第三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 雙因素方差分析概述一、雙因素試驗(yàn)匯中的幾個(gè)基本概念1、主效應(yīng)（main effect）：各實(shí)驗(yàn)因素相對獨(dú)立的效應(yīng)，該效應(yīng)水

2、平的改變會(huì)造成因素效應(yīng)的改變，如包裝方式對果汁銷售量的影響。2、互作效應(yīng)（interaction）：兩個(gè)或多個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。第四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3、無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication)：兩個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果。兩個(gè)因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響。4、有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 (Two-factor with replication)：如果兩個(gè)因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響。第五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、雙因素

3、交叉分組試驗(yàn)設(shè)計(jì)的描述（一）雙因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述（二）觀測值的描述（三）平方和與自由度的分解（四）平方和的簡便計(jì)算公式（五）各項(xiàng)均方的計(jì)算第六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（一）試驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述第七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）觀測值的描述對于上表中的每一個(gè)觀測值可用線性統(tǒng)計(jì)模型描述第八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）平方和與自由度的分解 1、平方和的分解 總平方和SST被分解為A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、誤差平方和SSe第九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月A因素誤差平方和B因

4、素誤差平方和AB交互作用誤差平方和隨機(jī)誤差項(xiàng)平方和第十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2、平方和的分解與平方和相應(yīng)的自由度分別為：總自由度：dfT=abn-1A因素處理間自由度：dfA=a-1B因素處理間自由度：dfB=b-1交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)處理內(nèi)自由度：dfe=ab(n-1)dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe第十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（四）平方和的簡便計(jì)算方式第十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（五）各項(xiàng)均方的計(jì)算第十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 不同實(shí)驗(yàn)類型的雙因素方差分析一、固定模型（一

5、）重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的雙因素方差分析1、觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型 2、提出假設(shè)第十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素和互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F4、均方期望第十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（二）無重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的雙因素方差分析1、觀測值的描述2、提出假設(shè)第十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F

6、分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F第十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（三）交互作用的判斷Tukey提供的方法進(jìn)行因素間是否存在交互作用的判斷P150第十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、隨機(jī)模型1、觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型 2、提出假設(shè)第十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是以MSAB做分母；互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F 注意：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分母與統(tǒng)計(jì)量的第二自由度與固定效應(yīng)不同第二十張，PP

7、T共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月4、均方期望第二十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、混合模型（以A為固定因素、B為隨機(jī)因素為例）在混合模型中，A、B因素的效應(yīng)為非可加性， 為固定效應(yīng)， 為隨機(jī)效應(yīng)對A做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型，對B及AB交互效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型。P177第二十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：隨機(jī)選擇4個(gè)小麥品種，施以三種肥料，小區(qū)產(chǎn)量列于下表，該問題屬于哪種模型？從方差分析的結(jié)果可得出什么結(jié)論？ 肥料種類小麥品種不同條件下小區(qū)產(chǎn)量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.

8、312.3431.531.427.5第二十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月題解解：本題影響產(chǎn)量的因素包括肥料種類和小麥品種。該問題屬于混合模型中無重復(fù)的兩因素分組交叉分析。肥料種類小麥品種不同條件下小區(qū)產(chǎn)量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.27431.531.427.530.1322.721.1820.23第二十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月變差來源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量F小麥品種442.173147.39115.02*肥料種類12.4726.244

9、.87誤差7.6961.28總和462.3311小麥品種間差異極顯著，肥料間無顯著差異。 第二十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：用兩種不同的飼料添加劑A和B，以不同比例搭配飼養(yǎng)大白鼠，每一種飼料添加劑取4個(gè)水平，每一處理設(shè)兩個(gè)重復(fù)。大白鼠增重結(jié)果列于下表。請進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并回答下列問題。添加劑B添加劑A不同條件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，2433，3723，27439，4331，3528，3236，34第二十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月該實(shí)驗(yàn)有可能屬于哪幾種模型？

10、前提是什么？如果認(rèn)為是隨機(jī)模型，設(shè)置重復(fù)與不設(shè)重復(fù)對分析結(jié)果有無影響？若實(shí)驗(yàn)本身是固定模型，但分析時(shí)誤認(rèn)為隨機(jī)模型，對結(jié)論有何影響？若不設(shè)重復(fù)，又有何影響？第二十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月題解：（1）該實(shí)驗(yàn)可能屬于固定模型、隨機(jī)模型、混合模型。取決于添加劑本身的性質(zhì)，即添加劑的效果能否嚴(yán)格重復(fù)。（2）分析：固定模型下： ajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534.75342926.752528.69第二十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月變差來源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量FA592.3753

11、197.45824.68*B365.3753121.79215.22*AB425.125947.2365.904*誤差128168總和1510.87531查F分布表：所以FA、FB、FC均達(dá)極顯著，所以大白鼠增重與添加劑A、B及其交互作用都有顯著關(guān)系。第二十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機(jī)模型下：查F分布表： FA顯著但未達(dá)極顯著，F(xiàn)B不顯著，F(xiàn)AB極顯著。所以大白鼠增重與A、AB的交互作用有顯著關(guān)系。綜合上面可知，隨機(jī)模型和固定模型對主效應(yīng)的認(rèn)識(shí)不同；若不設(shè)重復(fù)，對固定模型，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)無法進(jìn)行。第三十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 多因素試驗(yàn)的方差分析一、觀測

12、值的描述 假設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，C因素有c個(gè)水平，每個(gè)因素有n次重復(fù)，那么觀測值的線性統(tǒng)計(jì)模型為 第三十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月A1A2 A3B1B2B3A1A2 A3B2B3B1 (a) 無交互效應(yīng) (b) 有交互效應(yīng) 圖中每條曲線代表B因素的一個(gè)水平。若各曲線平行或近似平行，可認(rèn)為無交互效應(yīng)，否則為有交互效應(yīng)。以上只是一種直觀的判斷，在多因素方差分析的過程中，我們對交互作用的有無也可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 交互效應(yīng)第三十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月H01: i =0, i=1, 2, aH02:j=0, j=1, 2, bH03:

13、()ij=0, i=1, 2, a, j=1, 2, b備擇假設(shè)為:HA: 上述各參數(shù)中至少有一個(gè)不為0。(這實(shí)際上是三個(gè)備擇假設(shè)。) 零假設(shè)第三十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月方差分析的基本思想仍是總變差分解：即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)總變差分解第三十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月均方數(shù)學(xué)期望 第三十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 檢驗(yàn)兩個(gè)主效應(yīng)及一個(gè)交互效應(yīng)的下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，分母全部采用MSe即可。檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)量分別為

14、： 檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)量 從前述的各均方期望可知，只有當(dāng)各H0成立時(shí)，上述三個(gè)分子才是2的無偏估計(jì)量，此時(shí)各統(tǒng)計(jì)量均服從F分布；若某個(gè)H0不成立，則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢，從而使對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量也有偏大的趨勢，因此可用F分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。 第三十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月各效應(yīng)的估計(jì)值 其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。第三十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算公式第三十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均 計(jì)算步驟第三十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月

15、變差來源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量F主效應(yīng)A主效應(yīng)B交互效應(yīng)AB誤差總和方差分析表第四十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 把計(jì)算所得結(jié)果填入上表后，再根據(jù)各F統(tǒng)計(jì)量的自由度查出其F0.95及F0.99分位數(shù)，并將F計(jì)算值與相應(yīng)分位數(shù)相比，大于F0.95則在統(tǒng)計(jì)量F右上角標(biāo)一個(gè)“*”號(hào)；大于F0.99則再加一個(gè)“*”號(hào)。最后用一句話對上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié)，即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平，哪些不顯著 F測驗(yàn)第四十一張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果MSAB小于或約等于MSe，即FAB小于或約等于1，說明此時(shí)交互作用不存在，在這種情況下也可把MSAB和MSe合并

16、在一起(即把平方和和自由度都合并)作為2的估計(jì)量，這樣可以提高檢驗(yàn)的精確度。具體計(jì)算公式如下 交互作用不存在 然后可用作統(tǒng)計(jì)量FA和FB的分母，對兩個(gè)主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。注意查表時(shí)分母自由度要相應(yīng)改變。 第四十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月原料種類(A)溫 度（B）3035401414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930例3 選擇最適發(fā)酵條件 第四十三張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 本題中顯然溫度是一個(gè)因素，原料種類是另一個(gè)因素。這兩個(gè)因素各有三個(gè)水平。由于它們的影響

17、都是可控制、可重復(fù)的，因此都是固定因素。在同樣溫度、原料下所做的幾次實(shí)驗(yàn)應(yīng)視為重復(fù)，它們之間的差異是由隨機(jī)誤差所造成的 。固定因素第四十四張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 j i123 134.518.251823.58 24937.515.534 345.25462739.42 42.9233.9220.12各處理平均數(shù) 第四十五張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表 變差來源平方和自由度均方F原料A溫度BAB誤差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67*25.68*3.30*總

18、和7170.0035第四十六張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月查F分布表，得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390,F0.95(4,27)F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)F0.99(4,30)=4.018,FA,FB均達(dá)極顯著，標(biāo)上“* *”，F(xiàn)AB只達(dá)顯著，標(biāo)上“*”。因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著，與它們的交互作用也有顯著關(guān)系。即對不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵溫度。 F測驗(yàn)第四十七張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 在固定效應(yīng)模型中，若各F統(tǒng)計(jì)量有達(dá)到顯著或極顯

19、著水平時(shí)，常常還需要在各處理間進(jìn)行多重比較，以選出所需要的條件組合。各處理間進(jìn)行多重比較 如果有交互作用存在，則一般需要把所有ab個(gè)水平組合放在一起比。比較的方法仍與單因素方差分析相同，最常用Duncan法。 第四十八張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)交互作用存在時(shí)，對固定模型若不設(shè)置重復(fù)，則無法把SSAB與SSe分開，這樣將無法進(jìn)行任何統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。因此在固定模型中有交互作用時(shí)，不設(shè)置重復(fù)的試驗(yàn)是無意義時(shí)。 對固定模型來說，結(jié)論只能適用于參加實(shí)驗(yàn)的幾個(gè)水平，不能任意推廣到其他水平上去。 幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：第四十九張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、平方和與自由度的分解（P179

20、）三、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在各種模型中，要特別注意統(tǒng)計(jì)量F的計(jì)算一定要根據(jù)因素的性質(zhì)來決定。 對于固定因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型，對隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型。四、各均方的數(shù)學(xué)期望第五十張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由于FAB F0.99(2, 22), FB = 14.21 F0.99(2, 22), 因此兩因素（飲料與窩別）的主效應(yīng)均達(dá)極顯著水平。交互效應(yīng)顯然不顯著。 第五十二張，PPT共五十八頁，創(chuàng)作于2022年6月四、方差分析的規(guī)律總結(jié)一、假設(shè)(1) 對于固定效應(yīng)A的假設(shè)：(2) 對于隨機(jī)效應(yīng)B的假設(shè)：二、平方和與自由度的分解平方和的分解根據(jù)線性統(tǒng)計(jì)模型計(jì)算自由度的分解規(guī)律如下：每一組因素主效應(yīng)的自由度為該因素的水平減1，每一交互作用的自由度是產(chǎn)生交互作用各因