數(shù)字信號(hào)處理：第三章 離散傅立葉變換

1、第三章 離散傅立葉變換理解傅里葉變換的幾種形式了解周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)及性質(zhì)，掌握周期卷積過(guò)程理解離散傅里葉變換及性質(zhì)，掌握?qǐng)A周移位、共軛對(duì)稱性，掌握?qǐng)A周卷積、線性卷積及兩者之間的關(guān)系了解頻域抽樣理論理解頻譜分析過(guò)程了解序列的抽取與插值過(guò)程連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換離散時(shí)間、離散頻率離散傅里葉變換第一節(jié) 傅立葉變換的幾種可能形式時(shí) 域頻 域傅立葉變換一、連續(xù)時(shí)間，連續(xù)頻率傅立葉變換(FT) 這是連續(xù)時(shí)間，非周期信號(hào)x(t)的傅立葉變換。它得到連續(xù)的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j)。時(shí)域連續(xù)頻域非周期時(shí)域非周期頻域連續(xù)二、連續(xù)時(shí)間，離

2、散頻率傅立葉級(jí)數(shù)(FS) 這是連續(xù)時(shí)間，周期信號(hào)x(t)的傅立葉變換。它得到離散的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j)。例如信號(hào)x(t)=sin100t只有一個(gè)頻率分量。X(jK0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號(hào)。時(shí)域周期頻域離散三、離散時(shí)間，連續(xù)頻率序列的傅立葉變換(DTFT) 由第一章采樣定理的知識(shí)，我們知道：時(shí)域離散，將導(dǎo)致頻域周期化，且這個(gè)周期是s。時(shí)域離散頻域周期四、離散時(shí)間，離散頻率離散傅立葉變換(DFT) 上面所講的三種傅立葉變換至少在一個(gè)域內(nèi)是連續(xù)的，不適于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。最好是時(shí)域和頻域均為離散的，才方便用計(jì)算機(jī)運(yùn)算。思路：從序列的傅立葉變換出發(fā)，若時(shí)域?yàn)殡x散的序列，則頻

3、 域是連續(xù)周期的；若此時(shí)我們對(duì)頻域的連續(xù)信號(hào)抽樣， 人為的使其離散化，這樣，頻域的離散又導(dǎo)致時(shí)域的周 期化。于是有：時(shí)域離散、周期頻域周期、離散 DFT只計(jì)算離散點(diǎn)（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)5、柵欄效應(yīng)改善方法： 增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N（時(shí)域補(bǔ)零），使譜線更密?？梢钥闯?，離散傅立葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)是獨(dú)立成分：這說(shuō)明，時(shí)域的離散導(dǎo)致了頻域的周期化。即：第二節(jié) 周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)注：不論是離散的，還是連續(xù)的周期序列，均可用傅立葉級(jí)數(shù) 表示。離散的周期序列用離散傅立葉級(jí)數(shù)表示。(任一個(gè)周 期序列均可分解為基波、二次、三次、k次諧波的組合)。連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)離散時(shí)間周期信號(hào)周期基

4、頻基頻序列K次諧波序列 對(duì)離散傅立葉級(jí)數(shù)，只能取k=0到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量，我們令：說(shuō)明：這里， 是K次諧波的系數(shù)。1/N看作是一個(gè)人為從 中提取的一個(gè)常數(shù)，這是為了后面運(yùn)算的方便。求解 系數(shù)：則：說(shuō)明：只有當(dāng)：k-r=mN 時(shí)，中括號(hào)內(nèi)才為1， 而因?yàn)椋簁0,N-1，所以有取m=0，即：k=r。 若把上式中的r換成k，得到：可以看出 的周期性：周期為N的 的離散傅立葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)不同的系數(shù) 。周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)(DFS)：說(shuō)明：只要知道周期序列一個(gè)周期的內(nèi)容，其DFS、IDFS就可以 都可以得到，所以說(shuō)實(shí)際上只有N個(gè)序列值有信息。周期序列與有限長(zhǎng)序列存在這樣的聯(lián)系：將有限長(zhǎng)序列

5、進(jìn)行周期延拓就可得到周期序列離散傅立葉級(jí)數(shù)與Z變換的關(guān)系： 周期序列 可以看作是對(duì) 的一個(gè)周期x(n)作z變換，然后將z變換在z平面單位圓上按等間隔角2/N抽樣而得到。令：則x(n)的z變換為：例：已知序列x(n)是周期為6的周期序列（如圖所示），試求 其DFS系數(shù)。第三節(jié) 離散傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 由于可用抽樣z變換解釋DFS，故DFS的許多性質(zhì)與z變換相似。但 與 都具有周期性，所以DFS在時(shí)域和頻域之間存在著嚴(yán)格的對(duì)偶關(guān)系，這是序列z變換所不具有的。1、線性2、序列的移位3、調(diào)制特性4、周期卷積和說(shuō)明：周期卷積與線性卷積的不同之處： 參與周期卷積的序列是周期序列。 周期卷積和只在一個(gè)周期上(

6、0N-1)進(jìn)行。線性卷積：第四節(jié) 離散傅立葉變換(DFT) 周期序列只有有限個(gè)序列值有意義，我們可以把長(zhǎng)度為N的 有限長(zhǎng)序列看作是周期為N的周期序列的一個(gè)周期，就可以 利用離散傅立葉級(jí)數(shù)DFS來(lái)計(jì)算了。設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，點(diǎn)數(shù)為N，在n=0N-1處有值。 為x(n)的以N為周期的周期延拓序列。有時(shí)也寫成： 與x(n)的關(guān)系： 的第一個(gè)周期：n=0N-1定義為“主值區(qū)間”。 x(n)為 的“主值序列”。 對(duì)不同的r值，x(n+rN)之間彼此不重疊，故可寫為：其中，(n模N)或(n)N數(shù)學(xué)上表示“n對(duì)N取余數(shù)或取模值”。例： 的周期為N=9，求 和 所對(duì)應(yīng)的x(n)。 同理，對(duì)頻域的周期序列

7、也可看成是有限長(zhǎng)序列 的周期延拓， 為 的主值序列。 從DFS和IDFS的表達(dá)式可知，求和只是在n=0N-1的主值區(qū)間上進(jìn)行，所以它完全適用于x(n)和X(k)這兩對(duì)主值序列。由此我們得到有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換(DFT)的定義：注意： 回憶DFS，我們發(fā)現(xiàn)他們的形式基本一致，只是DFT僅考慮 主值序列(有限長(zhǎng))，而DFS考慮的是一個(gè)周期序列。因此 DFT的定義形式中一定會(huì)有對(duì)主值區(qū)間范圍的的說(shuō)明。 x(n)與X(k) 均有N點(diǎn)獨(dú)立值，為N點(diǎn)序列，信息量相當(dāng)。 凡是說(shuō)到DFT，有限長(zhǎng)序列均是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái) 表示的，它隱含了周期性。DFT的真正幕后英雄是DFS。x(n)的N點(diǎn)DFT是

8、x(n)的DTFT在區(qū)間0,2上的N點(diǎn)等間隔抽樣。x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣；第五節(jié) 離散傅立葉變換(DFT)的性質(zhì)一、線性1.兩序列都是N點(diǎn)時(shí) 如果則有：2. 和 的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)， 選擇 為變換長(zhǎng)度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。這里包括三層意思：(1) 先將x(n)進(jìn)行周期延拓(2)再進(jìn)行移位(3)最后取主值序列：二、序列的圓周移位1.定義一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1 由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。如

9、果把x(n)排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列 : 。2.圓周移位的含義有限長(zhǎng)序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對(duì)頻譜幅度無(wú)影響。 時(shí)域循環(huán)(圓周)移位定理 頻域循環(huán)(圓周)移位定理三、共軛對(duì)稱性 1.周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量同樣，有 周期為N的周期序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量分別定義為:2.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量由于所以這表明長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。 有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量分別定義為:3.共軛對(duì)稱特性之一證明：4.共

10、軛對(duì)稱特性之二證明：可知：5.共軛對(duì)稱特性之三證明：6.共軛對(duì)稱特性之四證明：7.共軛對(duì)稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱性9.實(shí)、虛序列的對(duì)稱特性 當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，根據(jù)特性之三，則 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對(duì)稱性： 當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，根據(jù)特性之四，則 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對(duì)稱性：總結(jié)：共軛對(duì)稱性純虛序列的共軛對(duì)稱性實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次 N點(diǎn)DFT運(yùn)算來(lái)計(jì)算它們各自的DFT:例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的

11、4點(diǎn)DFT。例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的8點(diǎn)DFT。四、圓周卷積和 1.時(shí)域卷積定理 設(shè)x1(n)和x2(n)均為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，且有： 和如果： 則： NN圓周卷積過(guò)程： 1）補(bǔ)零(當(dāng)兩序列不等長(zhǎng)時(shí)) 2）周期延拓(有限長(zhǎng)序列變周期序列) 3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶) 4）圓周移位 5）相乘相加x(n)n0123456-1-2-3-4213213213x(n)n0123456-1-2-3-4213213213nx(-n)0123456-1-2-3-4213213213x(-n)n0123456-1-2-3-4213213

12、213例：求下面兩序列的6點(diǎn)圓周(循環(huán))卷積。102nx2(n)1321）補(bǔ)零 補(bǔ)到6點(diǎn)53451023nx1(n)141111023m4567891011-1-2-3-4-5-62)周期延拓 N=61023mx1(m)145102mx2(m)132345132132132102m34567891011-1-2-3-4-5-62)周期延拓 N=6102m34132513213267891011-1-2-3-4-5-6102m34132567891011-1-2-3-4-5-61321321023m4151167891011-1-2-3-4-5-63）翻褶，取主值序列102m132345102m

13、132345y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=31023m145y(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54）圓周移位5）相乘相加 的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為五、有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積它們線性卷積為 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為1012n1012n3兩不等式相加得1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 2 1這也就是 不為零的區(qū)間 x1(n)的長(zhǎng)度為N1, x2(n) 的長(zhǎng)度為N2 ,現(xiàn)構(gòu)造長(zhǎng)度均為L(zhǎng)長(zhǎng)的序列, 即將 x1(n)

14、和x2(n)補(bǔ)零點(diǎn);然后再對(duì)它們進(jìn)行周期延拓 ，得到：2.用圓周卷積計(jì)算線性卷積圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列.計(jì)算周期卷積：圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓，其周期為L(zhǎng)。由于 有 個(gè)非零值,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列，所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列，即：例：求下面兩序列的線性卷積和4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)、7點(diǎn)圓周卷積。(1) 線性卷積 L= N1+ N2-1=5+3-1=71 1 1 1 11 2 33 3 3 3 32 2 2 2 21 1 1 1 11 3 6 6 6 5 3 (2) 4點(diǎn)

15、圓周卷積 主值區(qū)間：0n31 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 將線性卷積的結(jié)果以4為周期進(jìn)行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得4點(diǎn)圓周卷積結(jié)果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 6+1=7x(1) = 5+3=8x(2) = 3+6=9x(3) = 6(3) 5點(diǎn)圓周卷積 主值區(qū)間：0n41 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 將線性卷積的結(jié)果以5為周期進(jìn)行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得5點(diǎn)圓周卷積結(jié)果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

16、8 9 10 nx(0) = 5+1=6x(1) = 3+3=6x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6(4) 6點(diǎn)圓周卷積 主值區(qū)間：0n51 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 將線性卷積的結(jié)果以6為周期進(jìn)行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得6點(diǎn)圓周卷積結(jié)果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 3+1=4x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5(5) 7點(diǎn)圓周卷積 主值區(qū)間：0n6 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6

17、 5 3 將線性卷積的結(jié)果以7為周期進(jìn)行周期延拓后再取主值區(qū)間即獲得7點(diǎn)圓周卷積結(jié)果。n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(0) = 1x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5x(6) = 3補(bǔ)L-N1個(gè)零x(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-N2個(gè)零h(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)= x(n)*h(n)z變換法DFT法LN1+N2-1小結(jié)：線性卷積求解方法時(shí)域直接求解 第六節(jié) 頻域抽樣定理1、頻域抽樣定理要研究的問(wèn)題M點(diǎn)單位圓上取N點(diǎn)（頻域采樣）序列傅立葉變換=？離散傅立葉反變換N點(diǎn)2、由頻域抽樣恢復(fù)序列一個(gè)絕對(duì)可和的非周

18、期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對(duì)可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對(duì)X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到對(duì) 進(jìn)行反變換,并令其為 ,則 可見，由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。其周期為頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N。所以：時(shí)域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓 x(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列混疊失真 x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為M 1) NM ，不失真 2) NM， 混疊失真頻率采樣定理若序列長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù):時(shí)，才有 即可由頻域采樣X(k)不失真地恢復(fù)原信號(hào)x(n) ，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。3、用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式4、用

19、頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式第七節(jié) 長(zhǎng)序列DFT卷積計(jì)算方法1、重疊相加法 x(n)與y(n)的卷積為 h(n)長(zhǎng)度為N，x(n)長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)， x(n)取M點(diǎn)，且與N盡量接近重疊相加法的卷積示意圖1、將h(n)補(bǔ)零延長(zhǎng)到L =M+ N -1，并計(jì)算長(zhǎng)為L(zhǎng)的FFT， 得到 H(k)。2、分別將xk(n)補(bǔ)零延長(zhǎng)到L =M+ N -1，并計(jì)算長(zhǎng)為L(zhǎng)的 FFT，得到 Xk(k)重疊相加法的步驟如下：3、計(jì)算 ，并求長(zhǎng)為L(zhǎng)的反變換，即4、將yk(n)的重疊部分相加，最后得到結(jié)果為2、重疊保留法序列分段的方法：重疊保留法分段方法示意圖 輸入的每段序列重疊N-1點(diǎn)，而每段的循環(huán)卷積的輸出去掉前面N-1點(diǎn)只保留后面M點(diǎn)第八節(jié) 用DFT對(duì)模擬信號(hào)作頻譜分析信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換1、對(duì)連續(xù)時(shí)間