數學建模入門--適合參加數學建模的同學初步認識建模過程并學習講解課件

1、第1章 數學建模入門 數學建模的概念； 數學建模的案例分析；主要內容 幾個數學建模問題。 數學模型的概念；2022/7/241信息工程大學 韓中庚參考書籍2022/7/242信息工程大學 韓中庚1、數學模型 原型 archetype(原始的模型) 是指人們在現(xiàn)實世界里關心、研究或者從事生產、管理的實際對象. 特指文學藝術作品中塑造人物形象所依據的現(xiàn)實生活中的人. 指在解決問題時，對于新假設的提出有啟發(fā)作用的那些事物. (1) 原型與模型2022/7/243信息工程大學 韓中庚 模型是指為了某個特定目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉構造的原型替代物, 是對所研究的系統(tǒng)、過程、事物或概念的一種表達

2、形式. 也可指根據實驗、圖樣放大或縮小而制作的樣品，一般用于展覽或實驗或鑄造機器零件等用的模子.2022/7/244信息工程大學 韓中庚模型不是原型，既簡單于原型，又高于原型.模型的分類2022/7/245信息工程大學 韓中庚2、什么是數學模型？ 數學模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規(guī)律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具得到的一個對問題近似刻劃的數學結構，以便于人們更深刻地認識所研究的對象 . 簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質的數學表達式(或是用數學術語對部分現(xiàn)實世界的描述)，即用數學式子(如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等)來描述(表

3、述、模擬)所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面存在的規(guī)律.2022/7/246信息工程大學 韓中庚數學模型的分類(1) 按所用的數學知識分類： 初等模型、幾何模型、微積分模型、微分方程模型、圖論模型、 概率統(tǒng)計模型、規(guī)劃論模型等.(2) 按所解決的問題的領域分類：物理模型：自然科學領域內的問題.非物理模型：經濟模型、交通模型、人口模型、生態(tài)模型、環(huán)境模型、 醫(yī)學模型、社會學模型等.(3) 按所建模目的分類：描述模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等.(4) 按所模型的表現(xiàn)特性分類：確定模型、隨機模型； 靜態(tài)模型、動態(tài)模型； 離散模型、連續(xù)模型。2022/7/247信息工程大學 韓

4、中庚一般模型與數學模型有什么異同？共同點：都是原型的替代物；都是原型的抽象與簡化；都不同于原型。不同點：一般模型是對事物外在形態(tài)的近似與替代；數學模型是對事物發(fā)展規(guī)律的近似與替代。2022/7/248信息工程大學 韓中庚1）研究內容：數學研究共性和一般規(guī)律；數學模型研究個性和特殊規(guī)律。2) 研究方法：數學主要是演繹推理； 數學模型是歸納演繹。3) 研究結果： 數學只要推理正確，結果就一定正確；數學模型的研究結果必須接受實際的檢驗。92022年7月24日數學模型與數學有什么不同2022/7/249信息工程大學 韓中庚怎樣的數學模型是一個好的數學模型： 要有實際背景； 假設合理； 推理正確； 方法

5、簡單； 論述深刻。思考：你接觸過哪些用數學模型解決實際問題的例子？評價數學模型2022/7/2410信息工程大學 韓中庚“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”2、數學建模1、引例“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是?！薄皹屄曈卸啻螅俊薄?0100 分貝。”“那就是說會震的耳朵疼？”“是。”“在這個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯。”“您確定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！?022/7/2411信息工程大學 韓中庚“沒有?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“有沒有關在籠子里的？”“沒有?！薄斑吷线€有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有。”“有沒有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有?！薄八悴?/p>

6、算懷孕肚子里的小鳥？”“不算?！薄按蝤B的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只?！?022/7/2412信息工程大學 韓中庚“有沒有傻的不怕死的？”“都怕死?！薄皶粫粯尨蛩纼芍?？”“不會。”“所有的鳥都可以自由活動嗎？”“完全可以?！薄叭绻幕卮饹]有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩.” 這就是數學建模，從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂智者千慮，絕無一失，這，才是數學建模的最高境界.2022/7/2413信息工程大學 韓中庚2、什么是數學建模2022/7/2414信息工程大學 韓中庚實際工程問題工程師數學數學問題數學家Mathe

7、matical Modeling 數學建模: 應用數學知識解決實際問題的第一步；數學建模: 通常有本質性的困難和原始性的創(chuàng)新。2022/7/2415信息工程大學 韓中庚數學建模流程圖如下：實際問題抽象、簡化問題，明確變量和參數根據某種定律建立變量和參數間的數學關系（數學問題）解析或近似地求解該數學問題解釋驗證應用實際數學建模過程為：實際問題模型分析模型假設模型建立模型求解解的分析模型檢驗論文寫作應用實際2022/7/2416信息工程大學 韓中庚實踐有力地證明：(1) 數學建?；顒邮莿?chuàng)新人才培養(yǎng)的充分條件. (2) 數學建模素質是多功能型的復合材料. (3) 數學建模人才是21世紀人才市場的“搶

8、手貨”. (4) 數學建模效能巨增、優(yōu)勢突現(xiàn)，必將大有作為. (5) 數學建模能力是一種超強的綜合能力.3、數學建模與綜合素質與能力培養(yǎng)2022/7/2417信息工程大學 韓中庚1.豐富靈活的想象能力;2.發(fā)散思維的聯(lián)想能力;3.一眼看穿的洞察能力;4.抽象思維的簡化能力;5.與時俱進的開拓能力;6.活學活用的創(chuàng)造能力; 數學建模能力一種超強的綜合素質和能力7.會抓重點的判斷能力;8.靈活運用的綜合能力;9.使用計算機的動手能力;10.信息資料的查閱能力;11.科技論文的寫作能力;12.團結協(xié)作的攻關能力. 2022/7/2418信息工程大學 韓中庚 (6) 數學建模競賽成績是一個可比性指標.

9、 (7) 數學建模教學活動和競賽工作能夠促進教學質量和教學水平的提高，擴大學校的知名度. (8) 學生參加數學建模活動及數學建模競賽是人生的一次挑戰(zhàn)，用事實來證明自己的實力和價值，更有利于自身的綜合能力和素質的提高，增強自身的競爭力. 正可謂：“一次參與終身受益.” 2022/7/2419信息工程大學 韓中庚 (9) 大學幾年所學的理論和知識, 只有通過數學建模才能感受到它們的應用價值. (10) 數學建模為我國的數學教育事業(yè)帶來了春風, 讓所有的“數學人”看到了希望, 讓我們“數模人”實現(xiàn)了夢想. 2022/7/2420信息工程大學 韓中庚 在這競爭的時代和改革的大潮中，作為一名現(xiàn)代的大學生

10、： 你的未來在哪里，何去何從? 你的發(fā)展空間在哪里，何作何為？ 你的特長和優(yōu)勢在哪里，何能何力？這是值得每一個大學生思考的問題！ 哇噻!這么偉大的問題, 沒想過，我的未來是個夢！據調查萬名本科畢業(yè)生：學和用一致的占15；基本一致的占15%;其他的占70%.2022/7/2421信息工程大學 韓中庚 數學建模為你們帶來了契機，給你們帶來廣闊的發(fā)展空間。 擴充知識面、學習新理論和新方法；增強自身的能力、水平和綜合素質；增強自身的綜合實力、優(yōu)勢和競爭力；修煉成常人所沒有的特長 -“數學建模能力”.我暈！真的有這么懸乎嗎？忽悠我們呀！2022/7/2422信息工程大學 韓中庚興趣決定思想，思想主導意識

11、，意識指導行動，行動產生結果.數學建模途中條條路坎坷，我愛好我選擇，勇往直前決不退縮！選擇數學建模作為人生價值支撐點,去實現(xiàn)你的夢想！ “人生能有幾回搏”！這么說我的未來不是夢了！怎么才能讓我的夢想成真？2022/7/2423信息工程大學 韓中庚常用數學建模方法有哪些？參加數學建模需要具備哪些知識和能力？現(xiàn)在我們應該做些什么？成功參加競賽的條件是什么？我的學習成績不太好，可以參加建模嗎？ 當然可以，只要你有信心、有能力、肯下功夫，一定能成功！4、數學建模的方法2022/7/2424信息工程大學 韓中庚數學建模常用的方法： 解析幾何、代數方程、微積分、微分方程、差分方程、概率統(tǒng)計、層次分析、插值

12、與擬合、綜合評價、優(yōu)化方法、數據處理與計算等。 另外，了解一些排隊論、對策論、決策論、模糊評判等方面的知識。(1) 數學建模所需要的方法和知識 數學建模應具備的數學知識： 高等數學、微分方程、運籌學、線性代數、概率統(tǒng)計、數值計算等。2022/7/2425信息工程大學 韓中庚（2）參加數學建模需要什么? 首先,要有興趣，興趣是第一位的； 其次,要有信心、決心、愛心、苦心和一顆平常心；然后,要有廣泛的知識面、靈活的頭腦、良好合作精神、一定的計算技能、妙趣橫生的文字表達能力等等.2022/7/2426信息工程大學 韓中庚（3）現(xiàn)在我們應該做些什么？ 擴展知識面，打牢基礎，注意要“廣、淺、新”. 組織

13、興趣小組，集體討論，相互促進，共同提 高， 培養(yǎng)團隊精神. 熟練計算機的操作，掌握一門語言，或一 種工 具軟件的使用，最主要是matlab和lingo. 選讀優(yōu)秀論文，練習論文寫作，提高寫作能力.2022/7/2427信息工程大學 韓中庚Mathematical modeling cannot be learned by reading books or listening to lectures, but only by doing!-Practice! COMAP：Solomon A. Garfunkel（4）如何做好數學建模？2022/7/2428信息工程大學 韓中庚美國的某些司機培訓課

14、程中的駕駛規(guī)則：背景與問題 正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時， 后面與前車的距離應增一個車身的長度。 實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準則” ： 后車司機從前車經過某一標志開始默數 2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷 “2秒準則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；建立數學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。案例1：汽車剎車距離問題5、數學建模的案例分析2022/7/2429信息工程大學 韓中庚問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米)車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應時間司機狀況

15、制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動.車速常數反應距離制動距離常數2022/7/2430信息工程大學 韓中庚假 設 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應距離 d1 與制動距離 d2 之和2. 反應距離 d1與車速 v成正比3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;F d2= m v2/2F mt1為反應時間且F與車的質量m成正比2022/7/2431信息工程大學 韓中庚 反應時間 t1的經驗估計值為0.75秒參數估計 利用交通部門提供的一組實際數據擬合k模 型最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/

16、小時) (英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.32022/7/2432信息工程大學 韓中庚“2秒準則”應修正為 “t 秒準則”模 型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）010104040

17、606080t（秒）12342022/7/2433信息工程大學 韓中庚 現(xiàn)有一棟住宅樓， 每套只需自備七萬元，其余由公司代付，可分期還款， 分十年還清， 每月只需付 800元， 現(xiàn)在的問題： 這套房子究竟值多少錢，即如果一次付款要付多少錢？ 如果沒有能力一次付款，實際上，相當于借多少錢？ 為什么要每月付800元？問題2：售房廣告問題2022/7/2434信息工程大學 韓中庚(1)一般問題的討論2022/7/2435信息工程大學 韓中庚問題2：售房廣告問題2022/7/2436信息工程大學 韓中庚(2)就廣告問題的討論2022/7/2437信息工程大學 韓中庚 (2)就廣告問題的討論 2022/

18、7/2438信息工程大學 韓中庚(3)進一步研究的問題2022/7/2439信息工程大學 韓中庚 (3)進一步研究的問題2022/7/2440信息工程大學 韓中庚 (3)進一步研究的問題思考題：如果對固定的月利R，張老師想某時候一次付清借款需還多少錢？2022/7/2441信息工程大學 韓中庚背景 北京時間8月6日消息，2012年倫敦奧運會帆船帆板比賽繼續(xù)進行，中國隊的徐莉佳勇奪金牌. 在女子激光雷迪爾級的獎牌賽中，徐莉佳一路領先以30分19秒率先撞線，她以35分的凈得分奪取該項目金牌. 這是中國隊首次奪取雷迪爾級的金牌，也是中國代表團在本屆奧運會的第31枚金牌. 案例3：啟帆遠航2022/7

19、/2442信息工程大學 韓中庚帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.簡化問題AB 風向北航向帆船海面上東風勁吹，設帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，帆以及帆的朝向2022/7/2443信息工程大學 韓中庚模型分析 風(通過帆)對船的推力w 風對船體部分的阻力p推力w的分解 wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設 w與帆迎風面積s1成正比，p與船迎風面積s2成正比，比例系數相同且 s1遠大于 s2，f1航行方向的推力p1 航行方向的阻力2022/7/2444信息工程大學 韓中庚w1=wsin(-)f1=w1sin=

20、wsin sin(-)p1=pcos模型假設 wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度v與力f=f1-p1成正比v=k1(f1-p1)v1v2022/7/2445信息工程大學 韓中庚2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）1) 當固定時求使f1最大f1=wcos(-2)-cos/2 = /2 時 f1=w(1-cos)/2最大= k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsin sin(-)p1=

21、pcos求, ,使 v1最大模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解2022/7/2446信息工程大學 韓中庚60 75 1 t 2v1最大備注 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型 航行過程中終點B將不在正東方 記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos w=ks1, p=ks21/4cos s22022/7/2447信息工程大學 韓中庚(1) 問題的提出 美國的里奧蘭翹(Rio Rancho)鎮(zhèn)迄今還沒有自己的應急設施。1986年該鎮(zhèn)得到了建立兩個應急設施拔款，每個應設施都把救護站、消防隊和警察局合在一起。問題3：確

22、定應急設施的位置分析2022/7/2448信息工程大學 韓中庚 如右圖指出了1985年每個長方形街區(qū)發(fā)生應急事件的次數，在北邊的形區(qū)域是一障礙，而在南邊的長方形區(qū)域內是一個有淺水塘的公園。應急車輛駛過一條南北向的街道平均要花15秒，而通過一條東西向的街道平均花20秒。你的任務是確定這兩個應急設施的位置，使得總響應時間最少。2022/7/2449信息工程大學 韓中庚兩個要求：2022/7/2450信息工程大學 韓中庚 1) 兩個障礙區(qū)域中均不需要應急服務； 2) 每年的應急事件數目比較小，則在同一街區(qū)不會同時發(fā)生兩個事件； 3) 忽略車輛拐彎和過十字路口的時間，僅考慮沿街道行駛的時間； 4) 兩

23、個設施的功能相同，當需要時，指揮中心總是從離事件發(fā)生地最近的一個派出應急車輛； 5) 1985年的各街區(qū)的應急事件數是真實的，未來的需求分布不會與此相差太遠； 6) 當連接兩點不同路徑所用時間相同時可任選其一.() 模型的假設2022/7/2451信息工程大學 韓中庚(3) 模型的設計與求解模型 要求：在沒有障礙的街區(qū)應急事件均發(fā)生在街區(qū)中心，而應急設施的位置設在某街區(qū)的街角上。應急車輛做出響應的時間最短是指到達事件發(fā)生點的時間; 這樣可能的兩個應急設施的位置點數只有有限個，只需要檢驗每一對位置點對所有街區(qū)發(fā)生事件做出的響應時間，選擇平均每一次事件響應時間最小的那兩個點。2022/7/2452

24、信息工程大學 韓中庚 建立坐標系，如圖所示.1) 一個位置點對某一街區(qū)發(fā)生事件的響應時間 =位置點到街區(qū)的街道數車輛行駛一條街道的時間該街區(qū)發(fā)生事件的次數；2) 一個位置點對全鎮(zhèn)所有應急事件響應時間的總和該位置點對所有街區(qū)應急事件響應時間的總和；（3）模型的設計與求解模型： 東xy 北 o3) 一個位置點對全鎮(zhèn)任一次應急事件的平均響應時間總響應時間/事件的總數；2022/7/2453信息工程大學 韓中庚4) 取使平均響應時間最小的那個對應的位置點為應急設施的位置。（3）模型的設計與求解2022/7/2454信息工程大學 韓中庚 經編程計算(作練習)：兩個應急設施的位置分別為(3,4)和(3,8

25、)，且從這兩個設施到任意一個街區(qū)最鄰近的街角上的平均響應時間為29.5秒。模型 要求：每個街區(qū)的應急事件都發(fā)生在該街區(qū)四周的街道上，而且均勻分布，兩個設施還是設在街角上。2022/7/2455信息工程大學 韓中庚注意: 可能的事件發(fā)生點在街道上均勻分布，在每一條街道上的事件發(fā)生點不必逐點的考慮，可認為每一條街道上發(fā)生的事件都集中在一點上(重心)，該點應該是從這一點到街角的距離等于到實際事件發(fā)生點的平均距離，即是在街道的中心.2022/7/2456信息工程大學 韓中庚注意：因應急車輛不需要到街區(qū)中心，也不需要過街道，不需要減17.5和加0.5。（3）模型的設計與求解2022/7/2457信息工程

26、大學 韓中庚經編程計算：兩個設施的最合適的位置是(3,4)和(3,8)，平均響應時間為47.0秒。（作練習）（3）模型的設計與求解2022/7/2458信息工程大學 韓中庚(4)模型的結果分析 1) 因題目僅給出了1985一年的數據，不可能做更多的計算，或者作圖等，如果數據覆蓋幾年的話會更好。模型對于障礙沒有充分地考慮，如果給出環(huán)繞障礙物彎曲的有關數據，可以做得更好，但模型會復雜. 2) 模型全部忽略了車輛轉彎的時間，這種假設不會有太大的影響. 模型的任何路線至多有一個轉彎，模型只有兩條路線有兩個轉彎，其它至多有一個. 3) 模型假設了設施的應急車輛只被派往正常范圍內的應急事件點，即便是被派往

27、正常范圍以外，影響也不太大. 4) 假設應急設施設在街道交叉口處，可對任何方向的應急事件靈活地做出響應，指揮中心可以隨機應變地調動車輛,更容易轉彎、調頭等.2022/7/2459信息工程大學 韓中庚 問題1：“兒童人壽保險問題”一中保廣告 對于至17歲的兒童都可以參加人壽保險，投保金額可以躉交也可以按年交，每份保險金額為1000元，保險公司要求各年齡兒童需交投保金額如下表：保險公司應對被保險人的保險項目和金額為：6、幾個數學建模的問題2022/7/2460信息工程大學 韓中庚教育保險金：被保險人到18、19、20、21周歲時每年可領取一份保險金（1000元）。創(chuàng)業(yè)保險金：被保險人到22周歲時可

28、領取保險金額的4.7倍的創(chuàng)業(yè)保險金。結婚保險金：被保險人到25周歲時可領取保險金額的5.7倍的結婚保險金。養(yǎng)老保險金：被保險人到60周歲時可領取保險金額的60倍的養(yǎng)老保險金。 問題1：“兒童人壽保險問題”一中保廣告6、幾個數學建模的問題2022/7/2461信息工程大學 韓中庚如果被保險人能夠活到60歲時，則 （1）如果按現(xiàn)行的存款年利率4.5計算，投保是否合算？ （2）如果按現(xiàn)行的貸款年利率8計算，保險公司從中獲利多少？ 問題1：“兒童人壽保險問題”一中保廣告6、幾個數學建模的問題2022/7/2462信息工程大學 韓中庚 對于手機資費問題一直是人們關心的熱點問題,多少年來手機資費始終沒有實質性變化但是，2007年1月以來先后有廣東、上海、北京等地的移動和聯(lián)通兩大運營商都相繼推出了“手機單向收費方案”-各種品牌的“套餐”。 手機“套餐”