工程計算2插值和擬合

1、Summer Grass FadeArial Font Family2022/7/2912 插值和擬合2.1 引言2.2 插值2.3 分段低次插值2.4 三次樣條插值2.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合2022/7/2922.1 引言2.1.1 函數(shù)的插值2.1.2 離散數(shù)據(jù)的擬合插值和擬合都是在給定點列xi ，yi0n的條件下，按照某些原則，確定一個近似函數(shù)。二者的區(qū)別在于，插值要求給定點列必須在近似函數(shù)中，擬合則無此要求。 2022/7/2932.1 引言2.1.1 函數(shù)的插值 區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)的全體記為Ca，b 定義 2.1 設(shè)y=f(x) Ca，b ，已知f在Ca，b 上n+1個互異點ax

2、0, x1 , , xn-1, xn b xi xj （i j ）的值 yi=f(xi) （i =0，1，2， ，n ）如果有不超過n次的多項式 Ln(x)= c0+c1x +c2x2 +cnxn2022/7/2942.1 引言滿足 Ln(xi) = yi （i =0，1，2， ，n ） (2.1)稱Ln(x)為f(x)在區(qū)間a，b上通過點列xi , yi0n的插值多項式。其中， a，b稱為插值區(qū)間， xi , yi0n稱為插值節(jié)點， xi稱為插值點， f(xi)稱為插值函數(shù) ， (2.1)稱為插值條件。2022/7/2952.1 引言定理4.1 由式(4.1)確定的插值多項式Ln(x)存在唯

3、一。插值的工程背景 函數(shù)插值的基本問題： 存在性、 唯一性、 構(gòu)造方法、 截斷誤差、 收斂性、 數(shù)值穩(wěn)定性2022/7/2962.1 引言2.1.2 離散數(shù)據(jù)的擬合如果離散數(shù)據(jù)本身有誤差。則不必強調(diào)近似函數(shù)一定通過所給定的序列。為此需要增加條件以確定近似函數(shù)y=(x ) (x)的選擇，由此決定建立的是線性還是非線性數(shù)學(xué)模型。 如何確定數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)擬合的基本問題：存在性、唯一性、構(gòu)造方法、截斷誤差、收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性。 2022/7/2972.2 插值 2.2.1 拉格朗日插值法 2.2.2 插值的余項2.2.3 均差和牛頓插值 2022/7/2982.2 插值2.2.1 拉格朗日插值法 已

4、知點列xi ，yi0n，確定插值多項式 n=1時，點列包含2個點，x0，y0和x1，y1， 則只能做一條直線。 2022/7/2992.2 插值n=2時，點列包含3個點，x0，y0、x1，y1、x2，y2 可做不超過2次的多項式 2022/7/29102.2 插值推廣到一般情況， 定義n+1個n次多項式 稱為拉格朗日插值基函數(shù)。 2022/7/29112.2 插值插值基函數(shù)滿足 (k，i=0，1，2， ，n) 插值函數(shù)為 如果取函數(shù)為f(x) =1，yk=1(k = 0,1,2, ,n)，則有 Ln(x) 1 拉格朗日插值導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但在節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)一般不等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2022/7/2912

5、2.2 插值2.2.2 插值的余項 令 如果f(x)C2a，b，令 Rn(x) = f(x) Ln(x) 則則2022/7/29132.2 插值2.2.3 均差和牛頓插值 定義一階差商 如果取點斜式，則得到另一種形式的插值公式。如n=1時 N1(x) = y0+ fx0，x1(xx0) 2022/7/29142.2 插值當(dāng)n=2時，再定義一階差商和二階差商 并有 N2(x) = f(x0)+ fx0，x1(xx0) + fx0，x1，x2 (xx0) (xx1) 2022/7/29152.2 插值對一般情況，定義各階差商 2022/7/29162.2 插值插值函數(shù)為 Nn(x) = f(x0)

6、 + fx0，x1(xx0) + fx0,x1,x2 (xx0) (xx1)+ + fx0,x1,xn (xx0) (xx1)(xxn) = f(x0) + fx0，x10(x) + fx0,x1,x21(x)+ + fx0,x1,xnn+1(x) 2022/7/29172.3 分段插值 2.3.1 龍格現(xiàn)象和分段線性插值 2.3.2 分段埃爾米特三次插值 2022/7/29182.3 分段插值 2.3.1 龍格現(xiàn)象和分段線性插值采用分段低次插值是消除龍格現(xiàn)象的有效方法，通常采用線性插值，三次插值等高階插值可能出現(xiàn)龍格現(xiàn)象2022/7/29192.3 分段插值 定義2.2 函數(shù)f(x) Ca,

7、b，n+1個有序節(jié)點xi0n滿足 稱為區(qū)間a，b的一個劃分。： a = x0 x1xn1xn= b x0和xn稱為邊界點，x1，xn1稱為內(nèi)點 中的相鄰兩點xi，xi+1構(gòu)成區(qū)間a,b的子區(qū)間xi,xi+1 記子區(qū)間的最大長度 2022/7/29202.3 分段插值 則稱分段線性函數(shù) 為f(x)在區(qū)間a,b上關(guān)于劃分的分段線性插值多項式 其中插值基函數(shù) 當(dāng)i=0時沒有第1式，當(dāng)i=n時沒有第2式 。2022/7/29212.3 分段插值 在子區(qū)間xi，xi+1上，Ih(x)的表達(dá)式為 可以證明，只要h充分小，因而n充分大，就可在插值區(qū)間a，b上滿足精度要求。即分段線性插值是一致收斂的。 分段線

8、性插值的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。這點不如高階插值 2022/7/29222.3 分段插值 2.3.2 分段埃爾米特三次插值 為保證導(dǎo)數(shù)連續(xù)，增加對導(dǎo)數(shù)的要求。當(dāng)只有兩個插值點，x0 x1，且 yk = f(xk)，mk = f (xk) k = 0，1 在區(qū)間x0，x1上求多項式H(x)，使得滿足插值條件 H(xk) = yk，H (xk) = mk k = 0，1 因為有4個插值條件，因此插值函數(shù)H(x)為次數(shù)不超過3次的多項式，稱為埃爾米特三次插值。 2022/7/29232.3 分段插值 定理 設(shè)f(x)C1x0，x1，則在區(qū)間x0，x1上滿足插值條件的不超過3次的多項式H(x)存在唯一。并有H

9、(xk) = yk，H (xk) = mk k = 0，1 H(x) = 0(x) y0+ 1(x) y1+0(x) m0+1(x) m1 2022/7/29242.3 分段插值 其中插值基函數(shù) 2022/7/29252.3 分段插值 如果f(x)C4a，b，插值余項為 Rn(x) = f(x) Ln(x)= (xx0)2(xx1)2xx0，x1 這里：x=(x) (x0，x1) 2022/7/29262.3 分段插值 插值基函數(shù)滿足的條件為 0(x0) =1，0(x1) =0，0 (x0) =0，0(x1) = 0 1(x0) =0，1(x1) =1，1 (x0) =0，1(x1) = 0

10、0(x0) =0，0(x1) =0，0 (x0) =1，0(x1) = 0 1(x0) =0，1(x1) =0，1 (x0) =0，1(x1) = 0 2022/7/29272.3 分段插值 定義2.3 設(shè)f(x)C1a，b，對于劃分 記子區(qū)間的最大長度 ： a = x0 x1xn1xn= b yi = f(xi)，mi = f (xi) i=0，1，2， ，n 則稱分段三次線性函數(shù) Hh(x) = i(x) yi+ i+1(x) yi+1+i(x) mi+i+1(x) mi+1 x xi，xi+1，i=0，1，2，n1 為f(x)在區(qū)間a，b上關(guān)于劃分的分段埃爾米特三次插值多項式。 2022

11、/7/29282.3 分段插值 其中插值基函數(shù)為2022/7/29292.3 分段插值 Hh(x) 滿足邊界條件 Hh(x0) = y0，Hh(x0) = m0Hh(xn) = yn，Hh(xn) = mn 和內(nèi)節(jié)點處的銜接條件 Hh(xi0) = Hh(xi+0) = yi，Hh(xi0) = Hh(xi+0) = mi i=0，1，2，n1 2022/7/29302.3 分段插值 可以證明，如果f(x)C1a，b，則Hh(x)一致收斂到f(x)，且Hh(x)一致收斂到f (x)。 埃爾米特三次插值需要知道函數(shù)在插值節(jié)點處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值 2022/7/29312.4 三次樣條插值 2.4.

12、1樣條插值的背景和定義 2.4.2 三次樣條插值的定解條件 2.4.3 三彎矩方程 2022/7/29322.4 三次樣條插值 2.4.1樣條插值的背景和定義 埃爾米特三次插值需要知道函數(shù)在插值節(jié)點處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，而且二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 定義2.4： 對于區(qū)間a，b， 給定一個劃分 ： a = x0 x1xn1 0， i 0 ，i + i = 1，因此，系數(shù)矩陣A是三對角或僅比三對角多兩個元素的嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，解存在其數(shù)值穩(wěn)定。 2022/7/29462.4 三次樣條插值 三彎矩方程算法 輸入?yún)?shù)：區(qū)間a，b劃分 函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值 ： a = x0 x1xn1xn= b yi = f(

13、xi) i=0，1，2， ，n 邊界條件類型 2022/7/29472.4 三次樣條插值 計算參數(shù) hi= xi+1 xi fxi，xi+1 = (xi+1 xi)/ hi i=0，1，2， ，n1 2022/7/29482.4 三次樣條插值 根據(jù)邊界條件類型計算 M0 = f (x0) Mn = f (xn) 2022/7/29492.4 三次樣條插值 求解與邊界條件對應(yīng)的三彎矩方程把求得的彎矩值代入，即得到三次樣條插值多項式。而且還可得到它的導(dǎo)數(shù)s(x)和s(x)。 2022/7/29502.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 2.6.1 線性模型與最小二乘法 2.6.2 正規(guī)方程和解的存在唯一性20

14、22/7/29512.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合在生產(chǎn)與科研中，常給出一組離散數(shù)據(jù) (x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)要確定變量x與y的函數(shù)關(guān)系y = f(x) 近似方法一： 構(gòu)造插值多項式Pn(x)，使Pn(xi)=yi (i =0，1，n)特點是構(gòu)造的函數(shù)必須滿足給定數(shù)對的關(guān)系。從幾何上看，構(gòu)造的曲線必須通過給定的n+1個點。2022/7/29522.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合近似方法二：曲線擬合。已知n個觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)求一個多項式P(x)能最好地反映這些點的總趨勢。 不要求構(gòu)造的曲線必須通過給定的n個點2022/7/29532.6 離散數(shù)據(jù)的曲

15、線擬合例 假設(shè)數(shù)據(jù)點(xi，yi)( i =1，2,，n)大致成一條直線，此時擬合曲線為一直線，它從這些點附近通過，設(shè)此擬合直線為 y* = a + bx 顯然，一般有 y* (xi) = a + bxi yi 記 ei = yi y* (xi) i =1，2,，n e = e1，e2，enT稱為殘差向量。 2022/7/29542.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合欲使擬合效果最好，應(yīng)該使殘差e按照某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到最小。常用的標(biāo)準(zhǔn)有 常用的標(biāo)準(zhǔn)有 | e|1 = | e|2 = 1范數(shù) 2范數(shù) | e| = 范數(shù) 2022/7/29552.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合通常用2范數(shù)，作為殘差度量的標(biāo)準(zhǔn)。 稱使|e|

16、2 達(dá)到最小的曲線擬合方法為曲線擬合的最小二乘法求一條直線y=a + bx ，即求a、b，使 Q(a，b) = 2022/7/29562.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小值時的a、b滿足得到 2022/7/29572.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令 由于 X=x1，x2，xnT，Y=y1，y2，ynT 2022/7/29582.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合有 解得 a = y xb 2022/7/29592.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合定義 已知m+1對離散數(shù)據(jù) xi，yi 0m,和權(quán)數(shù) wi 0m，記 在Ca，b中選定n+1個線性無關(guān)的基函數(shù)k(x)0m，由它們張成的子空間為 = span0(x)，1(x)，n(x

17、) 2022/7/29602.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合如果有 使得 則稱* (x)為離散數(shù)據(jù) xi，yi 0m在子空間中帶權(quán) wi 0m的最小二乘擬合。 由于* (x)是基函數(shù)的線性組合，稱為線性最小二乘問題。 2022/7/29612.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合令 問題轉(zhuǎn)為求多元函數(shù)I(0，1，n)的極小點(0*，1*，n*)，使得 2022/7/29622.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 2.6.2 正規(guī)方程和解的存在唯一性上式有解的必要條件是 l =0，1，2， ，n 即2022/7/29632.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 令m+1維向量 并令 2022/7/29642.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 即 稱為正

18、規(guī)方程(法方程)。記系數(shù)矩陣為G，n+1維向量 d=(y,0)，(y,1)，(y,n)T，= 0,1，nT 正規(guī)方程可寫為 G = d。 2022/7/29652.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 因此最小二乘法存在唯一解的必要條件是正規(guī)方程的系數(shù)矩陣G非奇異。 定理：格蘭姆(Gram)矩陣非奇異的充分必要條件是向量組k0n線性無關(guān)。 注意：k(x)0n在Ca，b上線性無關(guān)，不能保證向量組k0n線性無關(guān)。 實際中總?cè)m。因此，向量組k0n中的向量個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于向量的維數(shù) 系數(shù)矩陣G稱為格蘭姆(Gram)矩陣，它是對稱矩陣。 一般 k0n總是線性無關(guān)，格蘭姆矩陣是非奇異的。 2022/7/29662.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 設(shè)k0n線性無關(guān)，它的生成空間為 V=span0，1，n函數(shù)I(0,1,n) 用向量的2-范數(shù)(歐氏范數(shù))表示為 I(0，1，n) = | y | 22， V 2022/7/29672.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 因此極值問題 使得 等價于在向量空間V中求 2022/7/29682.6 離散數(shù)據(jù)的曲線擬合 定理 設(shè)向量組k0n線性無關(guān)，(0*，1*，n*)是正規(guī)方程的解，則 滿足 并有 e2=|y*|22為曲線擬合的平方誤差。 2022/7