大風(fēng)起兮云飛揚(yáng)

1、 i大風(fēng)起兮雲(yún)飛揚(yáng)漫話流動(dòng)顯示及納斯方程王振東古代詩(shī)詞：以流動(dòng)顯示來抒發(fā)情思大風(fēng)起兮雲(yún)飛揚(yáng)，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方！這是漢高祖劉邦（西元前247前195）在擊破英布軍以後，回長(zhǎng)安時(shí)，途經(jīng)他的故鄉(xiāng)沛（今江蘇徐州市沛縣），設(shè)宴招待家鄉(xiāng)的故交父老，酒酣時(shí)自己擊築（古代樂器）而歌，所作慷慨豪情的大風(fēng)歌史記：高祖本紀(jì):“高祖（劉邦）還歸，過沛、留。置酒沛宮，悉召故人父老子弟縱酒，發(fā)沛中兒得百二十人，教之歌。酒酣，高祖擊築，自為歌詩(shī)日：大風(fēng)起兮雲(yún)飛揚(yáng)，威加海內(nèi)兮歸故鄉(xiāng)，安得猛士兮守四方！令兒皆和習(xí)之。高祖乃起舞，慷慨傷懷，泣數(shù)行下”，正是記載了這段歷史。劉邦短短三句，洋洋自得，氣壯山河，但並沒

2、有被勝利衝昏頭腦，最後一句流露出了居安思危的憂患意識(shí)。劉邦在這裏是以“雲(yún)飛揚(yáng)流動(dòng)顯示大氣運(yùn)動(dòng)的物理圖像，來抒發(fā)衣錦還鄉(xiāng)、榮歸故里的壯志豪情。這是歷史上有名的一則典故，“大風(fēng)歌”或“大風(fēng)詩(shī)”的來歷。之後直至現(xiàn)代，不少人皆仿此“歌大風(fēng)、唱大風(fēng)”，以表示慷慨悲歌、治國(guó)安邦的豪情壯懷。如：漢武帝劉徹（前156前87）也有一首以風(fēng)吹白雲(yún)飛，表達(dá)情感的詩(shī)秋風(fēng)辭 秋風(fēng)起兮白雲(yún)飛，草木黃落兮雁南歸。蘭有秀兮菊有芳，攜佳人兮不能忘。泛樓舡兮濟(jì)汾河，橫中流兮揚(yáng)素波。簫鼓鳴兮發(fā)棹歌，歡樂極兮哀情多。少壯幾時(shí)兮奈老何。唐太宗李世民(599649)辛武功慶善宮詩(shī)共樂還鄉(xiāng)宴，歡比大風(fēng)詩(shī)。過舊宅二首之二八表文同軌，無勞歌大

3、風(fēng)李白登廣武古戰(zhàn)場(chǎng)懷古詩(shī)按劍清八極，歸酣歌大風(fēng)林寬歌風(fēng)臺(tái)詩(shī)蒿棘空存百尺基，酒酣曾唱大風(fēng)詞王德貞奉和聖制過溫湯詩(shī)停輿興睿覽，還舉大風(fēng)篇直到近代也有類似的大風(fēng)詩(shī)，如：董必武(18851975)感時(shí)雜詠詩(shī)欲守四方歌大風(fēng)，飛鳥未儘先藏弓。朱德(18861976)贈(zèng)友人詩(shī)北華收復(fù)賴群雄，猛士如雲(yún)唱大風(fēng)。陳毅(19011972)萊蕪大捷詩(shī)魯中霽雪明飛幟，渤海洪波唱大風(fēng)?，F(xiàn)在以雲(yún)來顯示大氣的流動(dòng)，己很常見。如在電視臺(tái)的氣象預(yù)報(bào)節(jié)目中，人們常能看到由雲(yún)顯示千姿百態(tài)流動(dòng)圖案的衛(wèi)星雲(yún)圖/所顯示大氣中所發(fā)生的動(dòng)力過程。也有古詩(shī)用風(fēng)葉和船隻所顯示的流體運(yùn)動(dòng)，來形象、生動(dòng)地比喻和描述遠(yuǎn)行在外人的行跡和旅途。如宋代詩(shī)人範(fàn)

4、成大（11261193）的五言律詩(shī)道中月冷吟蛩草，湖平宿鷺沙。客愁無錦字，鄉(xiāng)信有燈花。蹤跡隨風(fēng)葉，程途犯鬥槎。君看枝上鵲，薄暮亦還家。程途是指旅程途中，槎（chd）亦做查、楂，系水中木筏意，犯鬥槎是指遠(yuǎn)行所乘的船隻。古代詩(shī)人還常以楊絮、柳絮以及蟲類拉的絲（亦名遊絲、晴絲），所顯示的空氣流動(dòng)情況（風(fēng)、對(duì)流或布朗運(yùn)動(dòng)），來抒發(fā)各種各樣的情思，如：韓愈（768824）晚雪詩(shī)楊花榆莢無才思，唯解漫天作雪飛。以及次同冠峽詩(shī)落英千尺墮，遊絲百丈飄。周紫芝踏莎行詞情似遊絲，人如飛絮，淚珠閣定空相覷。範(fàn)成大碧瓦詩(shī)無風(fēng)楊柳漫天絮，不雨棠梨滿地花。以及初夏二首詩(shī)晴絲千尺挽韶光，百舌無聲燕子忙。韶光是美好的時(shí)光，這

5、裏指春天。詩(shī)人想像春末夏初的遊絲是在戀惜時(shí)光，想把春天挽留住。石矛絕句詩(shī)來時(shí)萬縷弄輕黃，去日飛毬滿路旁。我比楊花更飄蕩，楊花只是一春忙。以楊花比喻自己奔波遊宦，道出了深沉的鄉(xiāng)思旅愁。蘇軾水龍吟和章質(zhì)夫楊花韻詞似花還似非花，也無人惜從教墜，拋家旁路，思量卻是，無情有思。將楊花比作纏綿衰感的思婦。文天祥過零丁洋詩(shī)山河破碎風(fēng)拋絮，身世飄搖雨打萍把楊花比作日益淪喪的國(guó)土。各種各樣的流動(dòng)顯示方法流動(dòng)顯示是在力求不改變流體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的前提下，用圖像顯示流體運(yùn)動(dòng)的方法，其任務(wù)是使流體不可見的流動(dòng)特徵，成為可見的。俗話說“百聞不如一見”，人們通過流動(dòng)顯示看到了流場(chǎng)的特徵，從而可進(jìn)一步研究探索和應(yīng)用流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

6、。西方一些人認(rèn)為，義大利文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家和科學(xué)家達(dá)芬奇(Da.Vinci,14521519)，是第一個(gè)運(yùn)用流動(dòng)顯示的方法,來敘述渦旋構(gòu)圖的人。但比起運(yùn)用流動(dòng)顯示的圖像，來描述峽江水流渦旋的運(yùn)動(dòng)特徵，和抒情言志的我國(guó)古代詩(shī)人，達(dá)芬奇卻要落後好幾個(gè)世紀(jì)了。首先應(yīng)用流動(dòng)顯示方法,對(duì)現(xiàn)代流體力學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)，當(dāng)推英國(guó)科學(xué)家雷諾(O.Reynolds,18421912)。他在1883年，將苯胺染液注入長(zhǎng)的水準(zhǔn)管道水流中做示蹤劑，從而可以看出管中水的流動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)流速小時(shí)，苯胺染液形成一根纖細(xì)的直線與管軸平行，表示流動(dòng)是穩(wěn)定的和有規(guī)則的流動(dòng)，稱為層流；當(dāng)流速慢慢地增加，達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，流動(dòng)形式突然發(fā)

7、生變化，那根苯胺染液細(xì)線受到激烈的擾動(dòng)，苯胺染液迅速地散佈於整個(gè)管內(nèi)，表示流動(dòng)己十分紊亂，稱為湍流。這一試驗(yàn)明確提出了兩種不同的流動(dòng)狀態(tài)，及其轉(zhuǎn)捩的概念，還提出了後來被稱為“雷諾數(shù)”的這一十分重要的無量綱參數(shù)。至今湍流研究的歷史，一般都公認(rèn)從1883年雷諾這個(gè)經(jīng)典的流動(dòng)實(shí)驗(yàn)算起。德國(guó)科學(xué)家普朗特(L.Prandtl,18751953),1904年用在水中撤放粒子的方法，獲得了水沿薄平板運(yùn)動(dòng)的畫面。由於畫面上粒子留下的軌跡正比於流動(dòng)的速度，在靠近壁面有一薄層，其中速度比離壁面較遠(yuǎn)處的速度明顯較小，且有大的速度梯度。正是對(duì)這一流動(dòng)顯示畫面的觀察和分折，使他提出了邊界層的概念，指出在遠(yuǎn)離壁面處，可不

8、計(jì)黏性，能應(yīng)用理想流體力學(xué)的研究結(jié)果；而在物體表面附近的薄層中，由於有很大的速度梯度，從而產(chǎn)生很大的剪切力，不能忽略黏性。這一基於流動(dòng)顯示的新觀點(diǎn)，使得可利用邊界層很薄的特點(diǎn)，使問題的數(shù)學(xué)處理大為簡(jiǎn)化,至今它仍是黏性流體力學(xué)最重要的基礎(chǔ)理20世紀(jì)50年代，有人提出了氫氣泡顯示技術(shù)：用很細(xì)的金屬絲放在水中作為陰極，通電後在金屬絲上形成的氫氣泡隨水流走，而成為顯示流場(chǎng)的示蹤粒子。克拉茵（Kline）等1967年首先用氫氣泡顯示技術(shù)，發(fā)現(xiàn)了近壁湍流的相干結(jié)構(gòu)（CoherentStructure,也有譯為擬序結(jié)構(gòu)）。這是一種大尺度的渦旋運(yùn)動(dòng)，它在將平均運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲃?dòng)能的過程中，作了大部分貢獻(xiàn)。後

9、來經(jīng)許多人用更精確、先進(jìn)的實(shí)驗(yàn)手段（熱線熱膜測(cè)速、鐳射測(cè)速以及數(shù)據(jù)自動(dòng)採(cǎi)集、圖像處理技術(shù)等）進(jìn)行重複，使實(shí)驗(yàn)越做越精確。不但對(duì)壁湍流，而且對(duì)自由剪切湍流也發(fā)現(xiàn)了相干結(jié)構(gòu)，到20世紀(jì)80年代，湍流相干結(jié)構(gòu)已為國(guó)際流體力學(xué)界公認(rèn)，並認(rèn)為這是對(duì)湍流生成、維持、演化起主要作用的結(jié)構(gòu)。這一由流動(dòng)顯示所發(fā)現(xiàn)的相干結(jié)構(gòu)，被認(rèn)為是對(duì)湍流認(rèn)識(shí)上的一次革命，是在湍流研究上的一次重大進(jìn)展。80年代之後至今，關(guān)於湍流相干結(jié)構(gòu)及其控制的研究,一直湍流研究的熱點(diǎn)課題。由以上三個(gè)例子可見，流動(dòng)顯示是瞭解流體運(yùn)動(dòng)特性，並深入探索其物理機(jī)制的一種直觀、有效的手段。它能發(fā)現(xiàn)新的流動(dòng)現(xiàn)象，如層流和湍流兩種流動(dòng)狀態(tài)及其轉(zhuǎn)捩、渦旋、分

10、離、激波、邊界層、壁湍流相干結(jié)構(gòu)等；據(jù)瞭解，流動(dòng)顯示技術(shù)己在許多實(shí)際問題的研究中，發(fā)揮了很大的作用，如三角翼和雙三角翼的前緣主渦、二次渦和尾渦的形成和發(fā)展，鈍物體尾跡的渦旋結(jié)構(gòu)，以及多體干擾等。上面提到的流動(dòng)顯示方法，,主要只涉及到示蹤法。示蹤法是在流體中加入某些示蹤物質(zhì)，通過對(duì)加入物質(zhì)蹤跡觀察得到流體運(yùn)動(dòng)的圖像。由於所加示蹤物質(zhì)的不同，又可分為用途不一的煙跡（含煙絲）法、染色線法、空氣泡和氫氣泡法、氦氣泡法、鐳射-螢光法、蒸汽屏法等。當(dāng)然，在流體中加入了示蹤粒子，就又存在粒子的跟隨性問題。除示蹤法外，流動(dòng)顯示的方法還有光學(xué)方法和表面塗料顯跡法。光學(xué)方法又分陰影法、紋影法和干涉法。前兩者利用了

11、光通過非均勻流場(chǎng)不同部位時(shí)的折射效應(yīng)，後者通過擾動(dòng)光和未擾動(dòng)光的相互干涉得到干涉條紋圖，從而進(jìn)一步可得到流動(dòng)參數(shù)的定量結(jié)果。表面塗料顯跡法是在物面上塗以薄層物質(zhì)，以其與流動(dòng)相互作用時(shí)，產(chǎn)生一定的可見圖像，從而可定性或定量的推斷物面附近的流動(dòng)特性。按所塗物質(zhì)的不同，還可分為油流（螢光油流）絲線（螢光微絲）染料、昇華、相變塗層、液晶、感溫漆等方法。流動(dòng)顯示技術(shù)目前發(fā)展相當(dāng)快，特別是與電腦圖像處理技術(shù)相結(jié)合，使傳統(tǒng)的流動(dòng)顯示方法得到很大的改進(jìn)。電腦數(shù)據(jù)的採(cǎi)集與處理，可對(duì)顯示結(jié)果進(jìn)行深度的加工分析，以獲得更清晰的流動(dòng)圖像，以及有關(guān)流動(dòng)參數(shù)的分佈。多種流動(dòng)顯示方法的聯(lián)合使用，又可得到更豐富的流動(dòng)資訊。隨

12、著光學(xué)技術(shù)和電腦技術(shù)的發(fā)展，鐳射全息術(shù)、光學(xué)層析術(shù)、散斑、粒子成像測(cè)速（PIVParticaleImageVelocimetry）、鐳射誘導(dǎo)螢光(LIFLaserInduceFluorescent)等方法也己出現(xiàn)並在發(fā)展完善之中，為實(shí)現(xiàn)暫態(tài)、高解析度和定量化的空間流動(dòng)顯示展現(xiàn)了美好的前景。數(shù)值模擬、實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)和世紀(jì)數(shù)學(xué)難題要弄清流動(dòng)顯示對(duì)流體力學(xué)的研究能有多大的作用，還需要從流體力學(xué)的研究現(xiàn)狀來說起。力學(xué)是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)，流體力學(xué)更是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。在流體力學(xué)中，絕大多數(shù)重要的概念和原理都源於實(shí)驗(yàn)，例如：大氣壓強(qiáng)，流體的可壓縮性，黏性剪應(yīng)力，層流，湍流，雷諾數(shù)，卡門渦，二次流，附加品質(zhì)

13、，激波，孤立波，湍剪切流的相干結(jié)構(gòu)，聲障現(xiàn)象等；又如，完全氣體的狀態(tài)方程，連續(xù)性方程，能量守恆原理，達(dá)西定律，托裏拆利原理，伯努利原理等。瑞士數(shù)學(xué)家、力學(xué)家歐拉(Euler丄.17071783)於1755年,建立了理想流體的動(dòng)力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為歐拉方程組。法國(guó)力學(xué)家、工程師納維(Navier,C.L.M.H.17851836)於1821年，以及英國(guó)力學(xué)家、數(shù)學(xué)家斯托克斯(Stokes,G.G.18191903)於1845年，分別對(duì)黏性不可壓縮流體建立了動(dòng)力學(xué)方程組，現(xiàn)稱為納維一斯托克斯方程組。在無黏性的情況下，納維斯托克斯方程組可簡(jiǎn)化為歐拉方程組?，F(xiàn)在人們對(duì)於自然界、國(guó)防和各種工程技術(shù)中的流體

14、力學(xué)問題，都在用納維斯托克斯方程組進(jìn)行分析、計(jì)算和研究。納維斯托克斯方程組(亦可簡(jiǎn)稱為：納斯方程)，現(xiàn)被公認(rèn)是描述流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的流體力學(xué)基本方程組。對(duì)於納維一斯托克斯方程組，經(jīng)過150多年的研究，僅在一些簡(jiǎn)化的特殊情況下，找到不多的準(zhǔn)確解。由於納維一斯托克斯方程組光滑解的存在性問題，至今尚沒有在數(shù)學(xué)上解決，且這個(gè)問題又關(guān)係到人類的生產(chǎn)、生活、軍事和對(duì)大自然的認(rèn)識(shí)，極其重要，所以克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)(ClayMathematicsInstitute)於2000年5月24日在法國(guó)巴黎的法蘭西學(xué)院，將其發(fā)佈為新千年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)懸賞的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題之一，懸賞獎(jiǎng)金高達(dá)一百萬美元?？巳R數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)發(fā)佈的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)

15、難題是：P與NP問題、黎曼(Riemann)假設(shè)、龐加萊(Poincare)猜想、霍奇(Hodge)猜想、貝爾什和斯威爾頓(Birch及Swinnerton-Dyer)猜想、納維斯托克斯方程、楊米爾斯(Yang-Mills)理論。比納維一斯托克斯方程組簡(jiǎn)單得多的歐拉方程組，解的存在性的問題也尚未得到證明，只是它不屬於懸賞獎(jiǎng)勵(lì)的問題內(nèi)容。在學(xué)習(xí)微分方程理論時(shí)，我們知道：如果某物理問題的微分方程，被證明其解不僅存在而且唯一時(shí)，則無論用何種方法找到這個(gè)微分方程的解，可以認(rèn)為這就是該物理問題方程的解。當(dāng)某物理問題的微分方程，被證明解是存在的，但卻不見得唯一時(shí)，則如用一種方法找到瞭解，還必須研究解的穩(wěn)定

16、性問題，只有證明了所找到的解是穩(wěn)定的，才能認(rèn)為這個(gè)解有可能代表實(shí)際存在的物理現(xiàn)象。（3）如果某物理問題的微分方程，解的存在性尚還不能被證明，若用某種近似方法（如漸近方法或差分法、有限元法等各種數(shù)值方法）找到了“解”，則難以肯定它是否真是代表實(shí)際存在的物理現(xiàn)象的解。不幸的是，流體力學(xué)中所遇到的歐拉方程組和納維一斯托克斯方程組，正好都屬於第三種情況。如果經(jīng)過數(shù)學(xué)家的努力，解決了懸賞的問題，納維一斯托克斯方程組解的存在性問題得到了證明，這自然是皆大歡喜的好事。可是關(guān)於納維一斯托克斯方程組解的存在性問題的懸賞，也還包括給出其解不存在的證明。如果是後者獲獎(jiǎng)，那問題就大了。當(dāng)然也有這種可能，經(jīng)過仔細(xì)研究後

17、認(rèn)為納維一斯托克斯方程組應(yīng)做出某些修正和改進(jìn)才能使解存在。如是這樣，流體力學(xué)教科書就需要改寫了?？墒?，大量的自然界、國(guó)防和各種工程實(shí)際中的流體力學(xué)問題需要解決，並不能等你弄清方程組解的存在性後再說。人們只能在用理論分析、數(shù)值計(jì)算、物理實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，研究、解決所遇到的流體力學(xué)問題。這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)是能直接解決生產(chǎn)中的複雜問題，能發(fā)現(xiàn)流動(dòng)中的新現(xiàn)象和新原理，其結(jié)果可作為撿驗(yàn)其他方法是否正確的依據(jù)；缺點(diǎn)是對(duì)不同情況需做不同的實(shí)驗(yàn)，且所需人力、財(cái)力、物力較多，花費(fèi)大。分析方法的優(yōu)點(diǎn)是可明確給出各物理量與 ii流動(dòng)參數(shù)之間的變化關(guān)係，普適性較好；缺點(diǎn)是數(shù)學(xué)上的困難很大，能獲得的分

18、析解（包括近似的分析解）的數(shù)量有限。數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)是可對(duì)分析法無法求解的問題，求得其數(shù)值解，且花費(fèi)相對(duì)較?。蝗秉c(diǎn)是對(duì)複雜而又缺乏完善數(shù)學(xué)模型的問題，仍無能為力。分析解及數(shù)值解都是建立在具有一定假設(shè)條件的運(yùn)動(dòng)方程組之上的其結(jié)果仍都應(yīng)受到物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果的撿驗(yàn)。由於納維一斯托克斯方程組解的存在性問題至今尚未解決，就更難以肯定數(shù)值方法找到的解，是否代表真實(shí)的流體運(yùn)動(dòng)。所以，數(shù)值摸擬與物理實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)差別並未消失，數(shù)值模擬尚不能替代物理實(shí)驗(yàn)/數(shù)值摸擬的結(jié)果必須用物理實(shí)驗(yàn)來撿驗(yàn)其正確性。由於電腦和數(shù)值計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，出於科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)際的需要，對(duì)於流體力學(xué)問題進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬，現(xiàn)己很常見，國(guó)內(nèi)已有

19、幾種功能較強(qiáng)的計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的商品軟體（如FLUENT,STARCD,TASCflow,PHOENICS等）在應(yīng)用，且已使用並行電腦進(jìn)行大規(guī)模數(shù)值模擬。但所得到的數(shù)值模擬結(jié)果，仍須用物理實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)其正確性。而作物理實(shí)驗(yàn)又需要投入更多的人力、財(cái)力、物力的支持，所以巧妙地構(gòu)思、設(shè)計(jì)小規(guī)模、精細(xì)的物理實(shí)驗(yàn)，以較少的花費(fèi)來撿驗(yàn)大規(guī)模數(shù)值模擬的正確性，就顯得十分重要。流動(dòng)顯示方法和技術(shù)，正是我們?cè)诹黧w力學(xué)研究中，能達(dá)到上述目的的重要實(shí)驗(yàn)方法和技術(shù)，它不僅能提出新的觀念、新的研究模型，揭示流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也能為流體力學(xué)計(jì)算提供可靠的流動(dòng)條件（如邊界層轉(zhuǎn)捩點(diǎn)、激波位置、渦核位置、尾跡寬度等），和對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)

20、果進(jìn)行檢驗(yàn)。附錄：新千年數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)懸賞的7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題NoticesoftheAMS（美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)（AMS）的會(huì)刊）在克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)發(fā)佈7個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)難題後，曾為懸賞問題準(zhǔn)備了如下的簡(jiǎn)介：P和NP問題：一個(gè)問題稱為是P的，如果它可以通過運(yùn)行多項(xiàng)式次（即運(yùn)行時(shí)間至多是輸入量大小的多項(xiàng)式函數(shù)）的一種演算法獲得解決；一個(gè)問題稱為是NP的，如果所提出的解答，可以用多項(xiàng)式次演算法來檢驗(yàn)。P等於NP嗎？Riemann假設(shè)：黎曼Z函數(shù)的每個(gè)非平凡零點(diǎn),有等於1/2的實(shí)部。Poinear猜想：任何單連通閉3維流形同胚於3維球。Hodge猜想：任何霍奇類關(guān)於一個(gè)非奇異複射影代數(shù)簇，都是某些代數(shù)閉鏈類的有理線性組合。Birch及Swinnerton-Dyer猜想：對(duì)於建立在有理數(shù)域上的每一條橢圓曲線，它在1處的L函數(shù)變?yōu)榱愕碾A，等於該曲線上有理點(diǎn)的阿貝爾群的秩。Navier-Stokes方程組:（在適當(dāng)?shù)倪吔缂俺跏紬l件下）對(duì)3維納維-斯托克斯方程組，證明或反證其光滑解的存在性。Yang-Mills理論:證明量子楊-米爾斯場(chǎng)存在，並存在一個(gè)品質(zhì)