洛倫茨吸引子

1、轉(zhuǎn)到：導(dǎo)航，搜索洛倫茨吸引子維基百科，自由的百科全書跳p =28、O =10、P =8/3時(shí)的洛倫茲系統(tǒng)軌跡洛倫茨吸引子是洛倫茨振子(Lorenz oscillator)的長(zhǎng)期行為對(duì)應(yīng)的分形結(jié)構(gòu)，以愛德 華諾頓洛倫茨的姓氏命名。洛倫茨振子是能產(chǎn)生混沌流的三維動(dòng)力系統(tǒng)，以其雙紐線 形狀而著稱。映射展示出動(dòng)力系統(tǒng)(三維系統(tǒng)的三個(gè)變量)的狀態(tài)是如何以一種復(fù)雜且不 重復(fù)的模式，隨時(shí)間的推移而演變的。目錄隱藏1簡(jiǎn)述2洛倫茨方程3瑞利數(shù)4源 代碼 4.1 GNU Octave4.2 Borland C4.3 Borland Pascal4.4 Fortran4.5QBASIC/FreeBASIC(fbc

2、-lang qb)5 參見 6 參考文獻(xiàn) 7 外部鏈接簡(jiǎn)述洛倫茨方程的一條軌跡被描繪成金屬線，以展現(xiàn)方向以及三維結(jié)構(gòu)洛倫茨吸引子及其導(dǎo)出的方程組是由愛德華諾頓洛倫茨于1963年發(fā)表，最 初是發(fā)表在大氣科學(xué)雜志(Journal of the Atmospheric Sciences)雜志的論文Deterministic Nonperiodic Flow中提出的，是由大氣方程中出現(xiàn)的對(duì)流卷方程簡(jiǎn)化得到的。這一洛倫 茨模型不只對(duì)非線性數(shù)學(xué)有重要性，對(duì)于氣候和天氣預(yù)報(bào)來說也有著重要的含義。行星和 恒星大氣可能會(huì)表現(xiàn)出多種不同的準(zhǔn)周期狀態(tài)，這些準(zhǔn)周期狀態(tài)雖然是完全確定的，但卻 容易發(fā)生突變，看起來似乎是

3、隨機(jī)變化的，而模型對(duì)此現(xiàn)象有明確的表述。從技術(shù)角度看 來，洛倫茨振子具有非線性、三維性和確定性。2001年，沃里克塔克爾(Warwick Tucker) 證明出在一組確定的參數(shù)下，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出混沌行為，顯示出人們今天所知的奇異吸引子 這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數(shù)在2與3之間的分形。彼得格拉斯伯格(Peter Grassberger)B于 1983年估算出豪斯多夫維數(shù)為2.06 土 0.01,而關(guān)聯(lián)維數(shù)為2.05 土 0.01。此系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)在單模激光(Haken 1975)和發(fā)電機(jī)(Knobloch 1981)的簡(jiǎn)化模型 中。除此之外，閉環(huán)對(duì)流、水輪轉(zhuǎn)動(dòng)等物理模型也有此系統(tǒng)的應(yīng)用。洛倫茨方程

4、標(biāo)出刻度的軌跡洛倫茨方程是基于納維一斯托克斯方程熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程簡(jiǎn)化得出， 最初的形式為：備+?。┢?乎+ gy +g胃+ 伽）=09T：._流速，T一流體溫度，T0上限溫度（也可以寫成T0 + T），p 密度，p壓強(qiáng)，重力，Y、X、 v 依次為熱膨脹系數(shù)、熱擴(kuò)散率和動(dòng)黏滯系數(shù)。簡(jiǎn)化后的形式稱為洛倫茨方程，是決警=如咐）噂=P瑚-必一瑚油定洛倫茨振子狀態(tài)的方程為一組常微分方程:萬萬 dzO稱為出*含時(shí)間參數(shù)的形式：普蘭特爾數(shù)，p稱為瑞利數(shù)。所有的。，p，p 0，但通常。=10，p =8/3，p不定。 若p 1，則吸引子為原點(diǎn)，沒有任何其他穩(wěn)定點(diǎn)。1p 13.927時(shí)，螺線軌跡接近兩點(diǎn)（這

5、y=b(p- 1)、相當(dāng)于存在阻尼振子），兩點(diǎn)的位置由下列式子決定：二=-、, =。系統(tǒng)在p =28時(shí)表現(xiàn)出混沌特性，但p為其他值時(shí)會(huì)顯示出具紐結(jié)的周期軌道。例如，當(dāng)p = 99.96時(shí)，圖像變?yōu)橐粋€(gè)T（3,2）環(huán)面紐結(jié)。初始條件的敏感依賴性時(shí)間t=1 （放大）時(shí)間t=2 （放大）時(shí)間t=3 （放大）這三幅圖是在p=28,。=10, P = 8/3的條件下生成的，展示出洛倫茨吸引子中的兩 條軌跡（藍(lán)色、黃色各一）的三維演變的三個(gè)時(shí)段，這兩條軌跡的初始點(diǎn)只在x 坐標(biāo)上相差10-5。開始時(shí)，兩條軌跡似乎是重合的（藍(lán)色軌跡被黃色遮蓋，因此只 能看到黃色軌跡），但一段時(shí)間后，分離就變得明顯了。洛倫茨吸

6、引子的Java動(dòng)畫展示了振子狀態(tài)連續(xù)不斷的演變?nèi)鹄麛?shù)不同p值時(shí)的洛倫茨吸引子p=14, o=10, p=8/3 （放大）p=13, o=10, p=8/3 （放大）p=15, o=10, p=8/3 （放大）p=28, o=10, p=8/3 （放大）p值較小時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并能演變?yōu)閮蓚€(gè)定點(diǎn)吸引子中的一個(gè)；當(dāng)p大于24.28 時(shí)，定點(diǎn)變成了排斥子，會(huì)以非常復(fù)雜的方式排斥軌跡，演變時(shí)自身從不交叉。Java動(dòng)畫顯示了不同p值時(shí)振子狀態(tài)的演變參見混沌映射列表Takens定理曼德布洛特集合參考文獻(xiàn)（英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz. Equation,

7、學(xué)士畢業(yè)論文，Uppsala University 2004.（英文）Fr0yland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A, 1984, 29: 2928 - 2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928.（英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189 - 208. doi:10

8、.1016/0167-2789（83）90298-1.（英文）Haken, H., Analogy between higher instabilities in fluids and lasers, Physics Letters A. 1975, 53 （1）: 77 - 78, doi:10.1016/0375-9601（75）90353-9.（英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, 20: 130 - 141. doi:doi:10.1175%2F1520-0469%281963%290

9、20%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2l10.117 5/1520-0469（1963）0202.0.CO;2.（英文）Knobloch, Edgar, Chaos in the segmented disc dynamo, Physics Letters A. 1981, 82 （9）: 439 - 440, doi:10.1016/0375-9601（81）90274-7.（英文） Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994.（英文）Tucker, W. A Rigor

10、ous ODE Solver and Smales 14th Problem . Found. Comp. Math. 2002, 2: 53 - 117.外部鏈接相關(guān)的維基共享資源洛倫茨吸引子（英文）Eric W. Weisstein, 洛倫茨吸引子,MathWorld.（英文）洛倫茨吸引子，作者為 Wolfram Demonstrations Project 的 Rob Morris（英文）洛倫茨吸引子，（英文）用于繪出洛倫茨吸引子或處理類似情況的源代碼，使用ANSI C及gnuplot實(shí)現(xiàn)（英文）同步混沌與私人通信，由MIT林肯實(shí)驗(yàn)室的Steven Strogatz與Kevin Cuomo講解電子電路中洛倫茨吸引子的實(shí)現(xiàn)（英文）洛倫茨吸引子交互式動(dòng)畫（需Adobe Shockwave插件）（英文）L:計(jì)算藝術(shù)與設(shè)計(jì)（英文）3D Attractors:三維方式顯示和研究洛倫茨吸引子 Mac 程序（英文）3D VRML Lorenz attractor （需 VRML 瀏覽器插件）（英文）J語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)洛倫茨吸引子演示的短文-見J語(yǔ)言（英文）非線性模擬的Java小程序（選擇預(yù)設(shè)“Lorenz attractor”），作者Viktor Bachraty， 編寫語(yǔ)言Jy