北京大學量子力學課件 第24講

1、 第 二 十 四 講 . 堿金屬的雙線結構 堿金屬原子有一個價電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場的作用。 所以，價電子的哈密頓量為 1 如選力學量完全集 （運動常數(shù)的完全集） 則 2 由于 3 可表為4 因 為吸引勢（它為負值， ） 所以 即 。因此， 根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證 5 能級 這即觀測到納光譜的雙線結構。 . 兩個自旋為 的粒子的自旋波函數(shù)，糾纏態(tài) (1) 表象中兩自旋為的粒子的自 旋波函數(shù) 設：兩粒子的自旋分別為 ，顯然，如 6選 表象，則可能的態(tài)為 (2) 表象中兩自旋為 的粒子的自旋波函數(shù) 如令7 令 是 的本征態(tài) 8這時有 四個態(tài) 9 ，

2、被稱為糾纏態(tài)。 糾纏態(tài)：體系的態(tài)矢量僅能表示為它的各部分態(tài)矢量乘積的疊加態(tài) 當兩自旋為 的全同粒子，其相互作用對空間坐標和自旋變量是變量可分離時，則特解為10 但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律，使體系波函數(shù)不可任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問題。 (3) Bell基 若取 顯然我們得11它們也都是糾纏態(tài)127.5 Einstein-Podolsky-Rosen佯謬和Bell不 等式 (1) Einstein-Podolsky-Rosen佯謬 愛因斯坦，帕多爾斯基和羅森認為：兩個粒子構成一個量子力學態(tài)。對一個粒子的測量將直接得知另一個粒子的狀態(tài)。例： 該態(tài)在動量表象中的表示

3、為13 愛因斯坦等認為，當測量第一個粒子的坐標， 測得值為 ，則第二個粒子的坐標必為 ；測量第二個粒子的動量，測得值為 ，那第一個粒子的動量必為 。所以， 14 都是物理實在（即都有確定值），且坐標和動量可同時具有確定值。 這與兩個自旋為 的粒子處于自旋 的態(tài)是等價的。 考慮兩個自旋為 的粒子處于自旋單態(tài)。在初始時，它們在一起，而后分開很大的距離，但仍處于自旋單態(tài)。一旦測量第一個粒子的自旋，那直接允許我們去推斷第二個粒子的自旋，它始終與第一個粒子的自旋相反。15 量子力學否認這些假設，認為即使兩個粒子離開很遠，對第一個粒子的測量將影響第二個粒子的狀態(tài)；另外，粒子本身并沒有這種實在性（即粒子的所

4、有物理量都有確定值）。 （2） Bell Inqualities 兩個自旋為 的粒子系統(tǒng)處于自旋單態(tài)16 這是一個糾纏態(tài)。顯然，在這個態(tài)中，測 量第一個粒子（在 方向）得到某一結果，則 知道第二個粒子隨之測量（在 方向）的結果。 現(xiàn)考慮對它們的自旋沿不同方向進行相繼測量。第一個粒子沿 方向測量，第二個粒子沿 方向 測量。它們的測量結果都為 。 17 如 ， 方向相同，則平均值為 。 如 ， 方向相不同，這一相關聯(lián)測量的平均值為 證： 不失一般性，假設 在 方向， 在 平面 18 令 與 軸間的夾角為 ，則19 A. 對兩個處于自旋單態(tài)的粒子，在三個 不同方向測量它們的自旋。 根據(jù)定域隱變量理論

5、，它們的關聯(lián)測量平 均值的關系為20這稱為Bell不等式。 論證：令關聯(lián)量 在定域隱變量理論中，對第一個粒子的測量將不影響第二個粒子的狀態(tài)。每個粒子同時 有確定的自旋分量。因此，在這理論中，沿三個方向的自旋分量都有確定值。當然，重復的測量所得值可以是不同的。21 的平均值為于是有22所以， 而對這一關聯(lián)測量平均值的關系，量子力學的預言為23 若在測量時，取 三個方向共面， 且 24 于是 實驗結果與量子力學的預言符合。25 B. 對兩個處于自旋單態(tài)的粒子，在四個不同方向測量它們的自旋。 根據(jù)定域隱變量理論，它們的關聯(lián)測量平均值的關系為這為另一個Bell不等式。26 論證：根據(jù)定域隱變量理論，對

6、任一物理量的測量都有確定值，所以 由定域隱變量理論的假設，我們知 當 時，則 當 時，則 。 27 因此， 。于是 的平均值的絕對值滿足不等式 而根據(jù)量子力學， 的平均值的絕對值應為28顯然，當 共面，并取這時29這與定域隱變量理論所推得的不等式是不相符合的。 若取 共面，則有30 同樣，實驗的測量結果是與量子力學的預言符合。 實驗證實了定域隱變量理論是不正確的。Einstein-Podolsky-Rosen的假設是不成立的317.6 全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的 交換對稱性 各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱為電子，質子，介子， ， 等等。實

7、驗證明每一種粒子，都是完全相同的（如兩個氫原子中的質子或電子都一樣）。經(jīng)典物理中，我們能按軌道來區(qū)分同一類粒子。 但從量子力學的觀點來看，情況就發(fā)生變化。它的描述不能用軌道概念，而只能用波函數(shù)或根32據(jù)一些力學量完全集來描述粒子所處狀態(tài)。即 個粒子處于態(tài) ； 個粒子處于態(tài) 或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不可能告訴你，那一個粒子處于 態(tài)，那一個粒子處于態(tài) 。 如 是可能的二種態(tài)，對它進行測量是分不清兩者的差別。它們每一個都不能用于對二個全同粒子的33描述。全同粒子交換是不可觀測的。因此，有必要對全同粒子的描述進行討論。 （1）交換不變性 設：氦原子的兩個質子固定不動，那么描述 氦原子中的兩個電子組成的

8、體系，其哈密頓量為 若 為粒子交換算符，將 ， 34則若 是交換不變，即則 35 所以， 是運動常數(shù)（若 是交換不變）或如此看，由于體系具有交換不變性，所以 時經(jīng)交換后演化到 ，應等于演化到 再進行交換，即 由于 的任意性，所以 36 由于 任意 即 是運動常數(shù)。 若 是 的本征態(tài)，則 37 因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，稱 為對稱態(tài)；另一種是交換下改號，稱為反對稱態(tài)38顯然 由于它是運動常數(shù)。因此，一開始，體系 處于置換對稱態(tài)時，那以后任何時候都處于這態(tài)下。與其他運動常數(shù)有極大不同之點是：體系要么處于對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子本身所固有的特性。而不是人們能夠人為地 39給一個初條

9、件，讓體系處于一個沒有確定的置換對稱性的狀態(tài)下。 所以，下面一些結論是重要的： A.由于是一運動常數(shù)，因此一開始體系處于 某種交換對稱態(tài)下，則以后任何時刻都處 于這態(tài)下； B. 與其他運動常數(shù)根本不同之處在于，體系 要么處對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是 粒子固有的屬性，而不是人為地給初條 件所能改變的； 40 C. 實驗表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體 系。當兩粒子交換，波函數(shù)反號，即處于反對稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對稱態(tài)。 在統(tǒng)計物理學中，具有自旋為 的半整數(shù)的粒子作為單元構成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計（稱為Fermion）。具有自旋為 的整數(shù)倍的粒子

10、作為單元構成的體系，遵守 Bose-Einstain統(tǒng)計（稱為Boson）。 41 (2) 全同粒子的波函數(shù)結構，泡利原理： 忽略粒子間的相互作用，則全同粒子的哈氏量為單粒子哈氏量之和 顯然，對任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同42 單粒子的能量本征方程為 它的一個特解為 43 但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正的態(tài)函數(shù)必須滿足一定的交換對稱性。 AN個費米子的波函數(shù)，泡利原理 由于費米子的波函數(shù)交換一對費米子是反對稱的，因此，它可以如此來構成： 取 作為標準排列。 是經(jīng)過某一置換 來實現(xiàn)44 由于對換（transposition）一對粒子，波函數(shù)改號。而對某一置換（Permutation）

11、它相應的對換數(shù)的奇偶性是一定的。因此，置換后的這一項的符號與標準排列項的符號差別取決于該置換的對換數(shù)的奇偶性。 如 45 所以有5個對換，其符號為負號。 對3個粒子：某一置換 即僅有一個對換，所以為負號。 設一個置換 對應的對換數(shù)為 ，則真 正的波函數(shù)應為 46這即行列式定義 47 例如：對N2 可以看出，任意兩個粒子變換（即兩列交換） 改號。若 與 態(tài)是完全相同的態(tài)，那 。這表明，對兩個全同的費米子不能處于這種態(tài)中，于是我們有下面的原理：48 泡利原理（pauli exclusion principle）：在客觀實際的體系中，沒有兩個或多個全同費米子可處于一個完全相同的單態(tài)中（或：全同費米子體系的態(tài)中，具有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）。 對于 個粒子，有 項（有 個置換），而每一項，費米子處于這 個單態(tài)上的分布都是不同的，因此各項之間是正交的。49 所以，對于 個無相互作用的全同費米子體系的歸一化反對稱波函數(shù)為 B 個全同玻色子的波函數(shù) 由于玻色子波函數(shù)相對兩全同玻色子對換是對稱的，即不變號：50 由于玻色子不受泡利原理限制，因此處于同一單態(tài)上的玻色子可以是任意多個。 所以，如果態(tài) 中具有相同的 有 個；具有相同單態(tài) 有 個 具有相同單態(tài) 中的玻色子有 個。 51 于是上述置換雖具有 項，但有些項是相同的。 如 個態(tài)的 粒子進行置換，所得項是相同的，而這