汽車的生產(chǎn)與銷售問題

1、108汽車公司的最佳生產(chǎn)方案摘要本文針對(duì)汽車的生產(chǎn)策略中最佳生產(chǎn)方案的確定做了深入的研究，根據(jù)生產(chǎn) 方案的不同對(duì)最終利潤的影響分析可知該問題是基于整數(shù)規(guī)劃的尋找最優(yōu)值問 題。對(duì)此，本文建立了規(guī)劃模型進(jìn)行討論求解。對(duì)于問題A（1），根據(jù)文中所給的數(shù)據(jù)及車間生產(chǎn)零件的規(guī)律，我們可以知 道，車間的生產(chǎn)能力是一定的。所以，我們采取將能力歸一化的方法，對(duì)車間的 能力進(jìn)行約束。例如就發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間而言，生產(chǎn)1臺(tái)A101型貨車需要消耗的車間生產(chǎn)能力，生產(chǎn)1臺(tái)A102型貨車需要消耗上的車間生產(chǎn)能力。 33001667沖壓車間的情況也類似。最后得到的最優(yōu)方案為每月生產(chǎn)A101型貨車2048臺(tái)， 生產(chǎn)A102型貨

2、車632臺(tái)，此時(shí)獲利450600元/月。對(duì)于問題A（2），根據(jù)上半年度的收入報(bào)表可知在當(dāng)前生產(chǎn)方案下獲得的毛 收益g 211166.7元/月。若要通過“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，則“外 包加工”后的毛收益必須比當(dāng)前方案所得的毛收益高，這樣“外包加工”才有意 義。根據(jù)生產(chǎn)部門經(jīng)理的意見，A102型貨車的生產(chǎn)方案已定，各車間剩余的生 產(chǎn)能力只分配給A101型貨車?！巴獍庸ぁ辟M(fèi)用在537908.3元/月以下可以接受。 這只是總費(fèi)用，若要求得到外包單價(jià)，需要進(jìn)一步的規(guī)劃。對(duì)于問題B，公司考慮通過加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，使其他 車間能充分發(fā)揮它們的生產(chǎn)能力。在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力

3、提高的同時(shí)該車 間的直接勞動(dòng)費(fèi)用提高，在加班情況下的最佳生產(chǎn)方案是A101型貨車生產(chǎn)1428 輛，A102型貨車生產(chǎn)1500輛，此時(shí)的利潤為495460元。比不考慮加班的最佳 生產(chǎn)方案獲得的利潤高，所以可以考慮用加班的方法提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn) 能力，進(jìn)而提高收益。關(guān)鍵詞：整數(shù)規(guī)劃；生產(chǎn)能力歸一；最佳生產(chǎn)方案問題的重述南洋汽車公司生產(chǎn)2種型號(hào)貨車：A101型和A102型，為完成這兩種車型 生產(chǎn)，公司設(shè)有4各車間，其分別為沖壓車間、發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間、A101型裝配 車間、A102型裝配車間，而各車間的生產(chǎn)能力有一定限制的。當(dāng)前的市場(chǎng)情況是：A101型售價(jià)為2100元，A102型為2000元，且在

4、這樣 的價(jià)格下，不管生產(chǎn)多少輛貨車，都能售出。根據(jù)前6個(gè)月的銷售情況，A101 型的銷售為每月333輛，A102型為每月1500輛。此時(shí)，A102型裝配車間和發(fā) 動(dòng)機(jī)車間已在滿負(fù)荷情況下運(yùn)行，而沖壓車間和A101型裝配車間能力還未充分 發(fā)揮出來?，F(xiàn)在生產(chǎn)方案不能使公司獲得最大的利益，所以各部門經(jīng)理提出自己 的建議：銷售部門經(jīng)理認(rèn)為，銷售A101型貨車無利可圖，建議A101型貨車停產(chǎn)。財(cái)務(wù)部門經(jīng)理認(rèn)為，A101型貨車銷售量太小，因此分?jǐn)偨o每輛車的固定成 本大。因此，應(yīng)增加A101型貨車的產(chǎn)量，與此同時(shí)，適當(dāng)減少A102型貨車的 產(chǎn)量。生產(chǎn)部門經(jīng)理認(rèn)為，在不減少A102型貨車產(chǎn)量的情況下，以適當(dāng)?shù)?/p>

5、價(jià)格， 通過其他廠商的協(xié)作，即外包加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，從而增加A101型 的產(chǎn)量?，F(xiàn)在我們的問題是：在現(xiàn)有條件下，考慮：在現(xiàn)有資源的條件下，怎樣安排生產(chǎn)最為合理？如果可以通過“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，怎樣的“外包加工” 費(fèi)是可以接受的？考慮用加班的方法來提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力。假設(shè)加班后，發(fā)動(dòng)機(jī) 裝配能力的增加相當(dāng)于2000輛A101型貨車，而直接勞動(dòng)力費(fèi)用提高50%，加 班的固定管理費(fèi)用為40000元，可變的管理費(fèi)用仍保持原來數(shù)值。問：加班的方 法是否值得采用？二、問題的分析生產(chǎn)方案的選擇需要考慮到各生產(chǎn)車間的生產(chǎn)能力約束，在能盈利的情況 下，讓車間盡可能地發(fā)揮其能力。

6、在求解最佳生產(chǎn)方案時(shí)，我們將各車間的生產(chǎn) 能力歸一化，方便規(guī)劃時(shí)的約束。利用lingo軟件求解最優(yōu)解。在某種車間的生 產(chǎn)能力增加時(shí)，重新進(jìn)行規(guī)劃并進(jìn)行求解。針對(duì)問題A (1)：汽車的生產(chǎn)費(fèi)用包括3部分：直接材料費(fèi)用、直接勞力費(fèi) 用、管理費(fèi)用。其中管理費(fèi)用又包括固定管理費(fèi)用與可變管理費(fèi)用。我們假設(shè)可 變費(fèi)用只與產(chǎn)品數(shù)目相關(guān)，再通過對(duì)過去6個(gè)月的管理費(fèi)用詳情分析，我們可以 得到可變管理費(fèi)用與生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是一維線性的關(guān)系。通過對(duì)車間生產(chǎn)能力的 約束，利用lingo求解，獲得最佳生產(chǎn)方案。針對(duì)問題A (2)：公司考慮通過“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，而公 司要在采取該手段后，獲得的利益要不小于原

7、先方案的利益才是有效的。我們認(rèn) 為可以接受的“外包加工”費(fèi)用是在采取該手段后，得到的利益至少與先前相等 的最大“外包加工”費(fèi)用以下。由于根據(jù)生產(chǎn)部門經(jīng)理的提議(A102型貨車的 產(chǎn)量不減小)，我們可以把沖壓車間、發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的剩余生產(chǎn)能力只分配給A101型貨車。針對(duì)問題B：公司考慮通過加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，使其他 車間能充分發(fā)揮他們的生產(chǎn)能力。在生產(chǎn)能力提高的同時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的直接 勞動(dòng)費(fèi)用提高，固定管理費(fèi)用增加。此時(shí)成本由未加班成本與加班成本組成，加 班時(shí)的可變成本為A101型貨車1830元/輛，A102型貨車1710元/輛。固定成本 F=425000/月。若通過該方法，公

8、司獲得的利益增加則認(rèn)為可取；否則，不可取。三、模型假設(shè)1、各車間的生產(chǎn)過程是獨(dú)立的；2、A101型貨車與A102型貨車的市場(chǎng)銷售價(jià)穩(wěn)定，且在這樣的價(jià)格下，不管生 產(chǎn)多少量貨車，都能售出；3、可變費(fèi)用只與車的數(shù)量有關(guān)；4、考慮“外包加工”加工的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的能力已用盡；5、考慮加班的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力已經(jīng)用盡，別的車間能力還未 充分發(fā)揮出來。四、符號(hào)及變量說明P :兩種類型貨車的銷售價(jià)；iC :兩種類型貨車的月生產(chǎn)數(shù)量；:加班前后各車間生產(chǎn)A101型貨車的月生產(chǎn)能力；b；:加班前后各車間生產(chǎn)A102型貨車的月生產(chǎn)能力；人:“外包加工”的單價(jià)；y : “外包加工”的數(shù)量；門，：

9、加班前后兩種類型貨車的各車間的可變費(fèi)用；ij ijx :兩種類型貨車在各車間的產(chǎn)量；f :各車間的可變管理費(fèi)用；iF,F :加班前后固定管理費(fèi)用；g,g:原方案的利潤與最優(yōu)生產(chǎn)線的利潤；五、模型的建立與求解5.1問題A（1）的模型建立與求解5.1.1初步建立模型正常情況下汽車生產(chǎn)過程的流程圖如下：圖1:正常情況下汽車生產(chǎn)流程示意圖根據(jù)題意，汽車的生產(chǎn)費(fèi)用包括3部分：直接材料費(fèi)用、直接勞力費(fèi)用、管 理費(fèi)用。其中管理費(fèi)用又包括固定管理費(fèi)用與可變管理費(fèi)用。而可變的管理費(fèi)用 直接與生產(chǎn)的輛數(shù)線性相關(guān)。固定管理費(fèi)用費(fèi)F=385000.最佳生產(chǎn)方案就是在現(xiàn) 有的資源條件下，使公司獲得的利益最大。對(duì)已知數(shù)據(jù)

10、的整理我們得到各部分的可變費(fèi)用：表1：各部分可變費(fèi)用，單位：元車型直接材料費(fèi)直接勞力費(fèi)可變管理費(fèi)總計(jì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配A101120040601001201051751800A102100030120751002001251650在車間能力的約束中，我們將車間生產(chǎn)車型的能力歸一化再進(jìn)行約束，例如沖壓車間生產(chǎn)1臺(tái)A101型貨車需要消耗的車間生產(chǎn)能力，生產(chǎn)一臺(tái)A1022500型貨車消耗上的車間生產(chǎn)能力。發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間也類似情況。3500這樣一來我們就有如下模型：max PC f - F TOC o 1-5 h z i iii=1i=1tr + 一 1;i = 1,2 HYPERLIN

11、K l bookmark109 o Current Document abx a , b ; i = 1,2i 33 3C = min(x );i = 1,2; j = 1,2,3;iij（1）f1 = 氣 ; j = 1,2jf =x ;i = 1,2j=2f =工門C； i = 1,2ix取整ij5.1.2模型的優(yōu)化要使公司獲得的利益最大，則要使每個(gè)零件充分發(fā)揮其作用，例如，A101 型貨車，在流程中是不會(huì)有多余的零件剩余。所以對(duì)上一個(gè)模型進(jìn)一步優(yōu)化就有 如下模型：max PC f Fi ii=1（2）C C ,1+- i； i=1,2i if=&X 門i ii=1j=1C取整i求解得最佳

12、生產(chǎn)方案為C1 = 2048輛，C = 632輛，此時(shí)獲利450600元/月。此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)成本如表所示:兩種類型貨車的標(biāo)準(zhǔn)成本A101 型A102 型直接材料費(fèi)用12001000直接勞力費(fèi)用沖壓4030發(fā)動(dòng)機(jī)裝配60120總裝配100 (+20075 (+225管理費(fèi)用沖壓174139發(fā)動(dòng)機(jī)裝配131251總裝配219 (+524244 (+634合計(jì)19241859根據(jù)此時(shí)的成本表所示，A101型貨車的成本比之前降低267, A102型貨車 的成本比之前提高39元。之前方案的不足之處是A101型貨車生產(chǎn)量太小，分?jǐn)?給每輛車的固定成本大。所以銷售部門經(jīng)理的眼光短淺，只著眼眼前利益，不從 長遠(yuǎn)考

13、慮；財(cái)務(wù)部門經(jīng)理眼光銳利，很快發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)方案的不足之處。5.2問題A（2）模型的建立與求解5.2.1基本模型的建立與求解由題意可知，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力最小，所以考慮通過“外包加工” 的方法使其他車間盡可能得發(fā)揮能力并使公司能夠得到更大的利益。根據(jù)生產(chǎn)部 門經(jīng)理的提議（在不減小A102型貨車產(chǎn)量的前提下），C2 = 1500輛，所以各車 間對(duì)A102型貨車的生產(chǎn)數(shù)量已經(jīng)確定：氣2=150，%2=150，x32 = 1500，剩余的 生產(chǎn)力只分配給A101車型。假設(shè)考慮“外包加工”加工的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車 間的能力已用盡，即發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的已經(jīng)不能再生產(chǎn)貨車了，所以= 333。而需要我們求解的

14、能夠接受的“外包加工”費(fèi)用，就是加工費(fèi)用在某個(gè)值以上， 公司獲得的利益會(huì)減小，在這個(gè)值以下，能獲得更多的利益。假定加工費(fèi)用為人，外包加工的個(gè)數(shù)為y。由此我們得到如下模型：max 人 ys.tn + 里 1;i = 1,2 a bx + y gi ii=1X取整ij求解得可以接受的“外包加工”費(fèi)用為537908.3元/月， 荷情況下運(yùn)行?！巴獍庸ぁ钡腁101型貨車為1095輛， 5.2.2 :模型的擴(kuò)展此時(shí)沖壓車間已在滿負(fù) 單價(jià)為491.2元/輛。在模型三的基礎(chǔ)上，我們解除不減少A102型貨車產(chǎn)量的限制，觀察“外包 加工”采取外包加工能否比在現(xiàn)有資源條件下獲得更大的利益。同樣考慮在發(fā)動(dòng) 機(jī)裝配

15、車間已經(jīng)滿負(fù)荷運(yùn)行情況下，采取“外包加工”行為，由于是整數(shù)規(guī)劃， 能力和正好達(dá)到1的概率很小，所以把這項(xiàng)約束放寬。建立如下模型：max 人y +人y1 12 2 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document xx0.9997 * + -22 1 abx a ; x b133233st x + y x ; x + y giii = 1氣取整此時(shí)仍存在一個(gè)不為0的“外包加工”費(fèi)用F=863055.5元/月，說明“外包加工”的方法可以使公司的最大利益提高。具體情況要結(jié)合所給的“外包加工” 單價(jià)判斷該方法是否可行。5.3問題B模型的建立與求解考慮用加班的方法來提

16、高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力增 加的同時(shí)相應(yīng)的直接勞動(dòng)費(fèi)用提高50%，固定管理費(fèi)用提高40000；根據(jù)已知數(shù) 據(jù)，重新列得各車間的月生產(chǎn)能力、在加班的生產(chǎn)水平下各車間的可變費(fèi)用及固 定管理費(fèi)用的詳細(xì)情況：表2：各車間的月生產(chǎn)能力車間A101A102沖壓車間25003500正常發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間33001667加班發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間20001010A101型裝配車間2250A102型裝配車間1500表3：加班水平下各車間的可變費(fèi)用，單位：元車型直接材料費(fèi)直接勞力費(fèi)可變管理費(fèi)總計(jì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配A101120040901001201051751830A10210003018

17、0751002001251710表4：固定管理費(fèi)用的詳細(xì)情況，單位：元車間沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)裝配A101型車裝配A102型車裝配合計(jì)每月固定 管理費(fèi)用1350001250009000075000425000考慮加班的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力已經(jīng)用盡，別的車間能力還未充分發(fā)揮出來。此時(shí)的成本為未加班所得產(chǎn)品成本與加班所得產(chǎn)品成本之和。圖2：成本費(fèi)用組成示意圖直接勞力費(fèi)用直接材料費(fèi)用正常工作成本費(fèi)用固定費(fèi)用管理費(fèi)用成本費(fèi)用可變費(fèi)用直接材料費(fèi)用加工成本的費(fèi)用固定費(fèi)用可變費(fèi)用參照5.1.2模型我們建立如下模型:max PC - f - f Fi i i=1x032Zb21iix0.9997 fas .t

18、(3)2 C = x + l ; C = x + l ; TOC o 1-5 h z 11212222C a ; C b1323f 冒 C f 氣 + x 22 n 23i = 11同樣得把發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的能力約束放寬，求解模型，最終解得C1 =1428,C2 =1500，其中有1098臺(tái)A101型貨車的發(fā)動(dòng)機(jī)是在加班條件下裝配的。在該 生產(chǎn)方案下產(chǎn)生的利益F=495460。比在現(xiàn)有資源條件下得到的最大利益F=450600元/月高出44860元。若不考慮銷售、行政和其他費(fèi)用會(huì)隨著銷售量的 提高而增加的情況，加班是一種可行的方法。六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1模型的評(píng)價(jià)6.1.1模型的優(yōu)點(diǎn)1、將車間

19、生產(chǎn)能力歸一化，既方便理解，又方便求解；2、利用模型二可以求得多種生產(chǎn)線的最優(yōu)方案；3、考慮多種途徑使車間能力提高；6.1.2模型的缺點(diǎn)1、未能考慮隨機(jī)因素對(duì)生產(chǎn)能力的影響；2、模型假定銷售價(jià)恒定不變，但實(shí)際情況中銷售價(jià)會(huì)有所波動(dòng)，在短期內(nèi)波動(dòng) 不明顯；6.2模型的改進(jìn)影響市場(chǎng)定價(jià)的因素有很多，成本價(jià)的改變，市場(chǎng)需求量的改變，貨幣的比 率等直接關(guān)系著市場(chǎng)定價(jià)。由于市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)沒有明顯的規(guī)律性可言，所以只能 建立模糊的模型并不能具體求解。max 22（P +e ）C - f - Fi i ii=1C C了+元-姜啟源，謝金星，葉俊 主編 數(shù)學(xué)模型（第三版）M.北京：高等教育出版 社.2009； 姜啟源，謝金星 數(shù)學(xué)模型案例選集M.北京:高等教育出版社.2006；;=1,2i ist f = 2c ?j=1ijC取整其中8為價(jià)格的改變量，不能寫出其具體的函數(shù)關(guān)系式。七、模型的推廣與應(yīng)用汽車公司的最佳生產(chǎn)方案問題屬于線性規(guī)劃中的整數(shù)規(guī)劃問題。在我們生活 中，不僅僅只有這個(gè)需要規(guī)劃出最佳生產(chǎn)方案。還有倉儲(chǔ)問題，運(yùn)輸問題等都需 要運(yùn)用線性規(guī)劃思