8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用(精練)(解析版)

1、 /24 /248.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（精練）題組一樣本中心解小題】（2021廣西欽州市）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某產(chǎn)品的市場銷售量y（萬臺）與廣告費(fèi)用投入X（萬元）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示，由圖可知y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性同歸方程是y=0.3x+a，貝h的值是（）護(hù)（萬臺）3廠TFIIIA2.5B.3C.3.5D.4【答案】A【解析】由題可知：x=2+4+5+6+8二5,亍二3+4+4+4+5二4將x,y代入線性回歸方程可得：4=0.3x5+ana=2.5故選：A（2021湖北武漢市武漢中學(xué)高二期末）設(shè)一個回歸方程為y二3+12x，則變量x增加一個單位時（）.a.y平均增加12個

2、單位b.y平均增加3個單位C.y平均減少1.2個單位D.y平均減少3個單位【答案】A【解析】由回歸直線斜率知：變量x增加一個單位時，y=3+L2（x+】）=3+1.2x+L2y平均增加1.2個單位故選：A.（2021江西上饒市）在對具有線性相關(guān)的兩個變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時，得到如下數(shù)據(jù)：x4681012y1.31.933.94.9由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸直線方程，則（4,1.3），（6,1.9）,（8,3），（10,3.9）這四個樣本點(diǎn)中，距離回歸直線最近的點(diǎn)是（）A.（4,1.3）B.（6,1.9）C.（8,3）D.（10,3.9）【答案】C4+6+8+10+125-1.3+1.9+3

3、+3.9+4.9oy=5=3根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)可知，平均值點(diǎn)（8,3）在回歸直線上，故選：C.（2021江西上高二中）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y，測得一組數(shù)據(jù)如表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y=l5x+a，據(jù)此模型來預(yù)測當(dāng)x=20時，y的估計(jì)值為X24568y2050607080答案】213.5一11解析】x=(2+4+5+6+8)=5,y=(20+50+60+70+80)=5655所以中心點(diǎn)為（5,56），所以56=10.5x5+a，解得a=3.5所以回歸直線方程為y二10.5x+3.5所以當(dāng)x=20時，y=10.5x20+3.5=213.5故答案為：213.5（2021湖

4、南省平江縣第一中學(xué)高二月考）已知某產(chǎn)品的銷售額y（萬元）與廣告費(fèi)用x（萬元）之間的關(guān)系如下表：x（單位：萬元）01234y（單位：萬元）1015203035若銷售額與廣告費(fèi)用之間的線性回歸方程為y=65x+a，預(yù)計(jì)當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬元時的銷售額約為萬元）.答案】4810+15+20+30+35“y=22由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，所以，6.5x2+a=22，解得a=9所以，回歸直線方程為y=6.5x+9，當(dāng)x=6時，y=6.5x6+9=48.故答案為：48.（2021福建漳州市高二期末）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用X/萬元1234銷售額y/萬元23mn現(xiàn)已知亍二5，且回

5、歸方程y=bx+a中的b=4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為10萬元時，銷售額為萬元.【答案】351+2+3+4【解析】由題意x=2.55=4x2.5+a,a=一54x=10時，y=4x10-5=35故答案為：35（2021江西高二期末（理）下列是某廠14月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，由其散點(diǎn)圖可知,用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是y=-0.7x+a，則a=月份x1234用水量y4.5432.5【答案】5.25-1【解析】由題意知：x=4(1+2+3+4)=2.5-1y=(4.5+4+3+2.5)=3.5將(2.5,3.5)代入線性回歸方程y=-0.7x+a即3.5=-

6、0.7x2.5+a解得：a=5.25故答案為：5.25.（2021邱縣第一中學(xué)高二期末）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):X0123ym35.57已知關(guān)于y與x的線性回歸方程為y=2.1x+0.85，則m的值為,【答案】0.5ii=1 /24ii=1 /24 /240+1+2+33【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得x二4二G-）-3由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)x,y，所以y二2.1x-+0.85二4m+3+5.5+7所以y二二4，解得m=0.5故答案為：0.5（2021貴州貴陽市）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了5次試答案】68【解析】設(shè)陰影部分的數(shù)據(jù)為M由表中數(shù)據(jù)得：10+20

7、+30+40+505=30M+3075驗(yàn)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸方程y=0.67x+54.9.零件數(shù)X（個）1020304050加工時間y（min）62758090現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷該數(shù)據(jù)的值為由于由最小二乘法求得回歸方程y=0-67x+54.9M+307將x二30，y=5，代入回歸直線方程，得M=68故答案為：68.10.（2020吉林油田第一中學(xué)）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):x1234ym3.24.87.5若y關(guān)于x的線性回歸方程為y=2.1x-0.25，則m的值為【答案】m=4.5-1511【解析】由題得x-(1+2+3+4)-，y-(m+32+4

8、.8+7.5)=(m+155)I厶II所以(m+15.5)=2.1x一0.2542所以m=4.5故答案為:m=4.5【題組二一元線性方程】1(2021福建福州市高二期末)為了研究某班男生身高和體重的關(guān)系，從該班男生中隨機(jī)選取6名,得到他們的身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：編號123456身高x(cm)165171167173179171體重y(kg)62m64747466在收集數(shù)據(jù)時，2號男生的體重?cái)?shù)值因字跡模糊看不清，故利用其余5位男生的數(shù)話得到身高與體重的線性回歸方程為y=bx+a.后來得到2號男生的體重精準(zhǔn)數(shù)值m后再次計(jì)算得到線性回歸方程為i1y=bx+a.22求回歸方程y=bx+a；ii若

9、分別按照y=bx+a和y=bx+a來預(yù)測身高為180cm的男生的體重，得到的估計(jì)值分別為w11221W2，且W2-W1=2，求皿的值;(3)BMI指數(shù)是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn)，其中BMI指數(shù)在24到27.9之間的定義為超重.通過計(jì)算可知這6人的BMI指數(shù)分別為：22.8,27.4,22.9,24.7,23.1，22.6,現(xiàn)從這6人中任選2人，求恰有1人體重為超重的概率.工(xx)(yy)ii附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=I(-),a=ybx.Z(x-x丿ii=1-141374“8【答案】(1)y=15x-15；(2)m=80；(3)15【

10、解析】(1)x=-x(165+167+173+179+171)=1715y=丄x(62+64+74+74+66)=685ii=1所以乞(xx)(y亍)=36+16+12+48=112,工(xx)=36+16+4+64=120ii=1工(xx)(y亍)ii11214所以b=-i=i=- HYPERLINK l bookmark22 所以112015a=亍bx=6814x171=空 HYPERLINK l bookmark26 111515 /24 /24TOC o 1-5 h z-141374所以y=15x-1T HYPERLINK l bookmark87 “-1413741146(2)根據(jù)題

11、意，將x=180代入方程y=舌x-得氣=W11461176 HYPERLINK l bookmark95 所以w=w+2=+2=2115151176,vcc入所以=bx180+a，1522另一方面，6名男生的身高的平均值為X=171，體重的平均值為y=34羅6340+m;十、入所以=b2X171+a2，6工(X-X)(y-y)=36+16+12+48=112ii=1另(X-X二36+16+4+64二120ii=1為(x-x)C-y)所以b2=ii14藝(x-X)飛ii=1綜合即可得：a=-詈215m=80.(3)設(shè)這6人分別記為A,B,C,D,E,F，其中B,D表示體重超標(biāo)的兩人,則從這6人中

12、任選2人，所有的可能情況為：AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共15種，其中恰有1人體重為超重有：AB,AD,BC,BE,BF,CD,DE,DF，共8種，8所以恰有1人體重為超重的概率為：p=15(2021四川遂寧市)第十八屆中國國際農(nóng)產(chǎn)品交易會于11月27日在重慶國際博覽中心開幕，我市全面推廣“遂寧紅薯”及“遂寧鮮”農(nóng)產(chǎn)品區(qū)域公用品牌，并組織了100家企業(yè)、1000個產(chǎn)品進(jìn)行展示展銷，擴(kuò)大優(yōu)質(zhì)特色農(nóng)產(chǎn)品市場的占有率和影響力，提升遂寧特色農(nóng)產(chǎn)品的社會認(rèn)知度和美譽(yù)度，讓來自世界各地的與會者和消費(fèi)者更深入了解遂寧，某記者對本次農(nóng)交會進(jìn)行了跟蹤

13、報(bào)道和實(shí)際調(diào)查，對某特產(chǎn)的最滿意度X(%)和對應(yīng)的銷售額y(萬元)進(jìn)行了調(diào)查得到以下數(shù)據(jù)：時間第一天第二天第三天第四天第五天最滿意度x（%）2234252019銷售額y（萬元）7890867675（1）求銷量額y關(guān)于最滿意度x的相關(guān)系數(shù)r；我們約定：銷量額y關(guān)于最滿意度x的相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）是線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱.請你對線性相關(guān)性強(qiáng)弱作出判斷，并給出理由；（2）如果沒有達(dá)到較強(qiáng)線性相關(guān)，則采取“末位淘汰”制（即銷售額最少的那一天不作為計(jì)算數(shù)據(jù)），并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的銷量額y關(guān)于最滿意度x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.1）.i=1參考數(shù)據(jù)

14、：X-24，y=81，工x25x2一146，Sy25y2一176，Zxy一5xy一151,iiiii一1i一1146沁12.0&貿(mào)76沁13.27.附：對于組數(shù)據(jù)（x，y）,（x,y）,（x,y）其回歸直線方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估nnZxy-nxyii計(jì)公式分別為：b-4-SZx2-nx2ii=1八一a=y-bx，線性相關(guān)系數(shù)【答案】（1）r沁0.94，線性相關(guān)性較弱；（2）y=x+77.3151151【解析】（1）r一、,：146x176一12.08x13.270.94因?yàn)閞沁0.9440該醫(yī)院3月11日能實(shí)現(xiàn)“單日治愈人數(shù)突破40人”的目標(biāo). /24 /244（2020貴

15、州貴陽市貴陽一中）統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)的強(qiáng)弱，若相應(yīng)于變量x的取值xi，變量y的觀測值yi（1i65606:x=-2(32)=94.6875沁95(元)時，/(x)最大，2x(-3.2)所以為使得銷售的利潤最大，單價(jià)應(yīng)該定為95元(2021甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)高二期末(理)據(jù)了解，溫帶大陸性氣候，干燥，日照時間長，晝夜溫差大，有利于植物糖分積累某課題研究組欲研究晝夜溫差大小(x/C)與某植物糖積累指數(shù)(y/GI)之間的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：組數(shù)第一組第二組AVr*第二組第四組第五組第六組晝夜溫差x/C1011131286某植物糖積累指數(shù)y/GI20243028181

16、5該課題研究組確定的研究方案是先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，假設(shè)這剩下的2組數(shù)據(jù)恰好是第一組與第六組數(shù)據(jù).求y關(guān)于X的線性回歸方程y=bx+a；若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過2.58，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(1)中所得線性回歸方程是否理想？參考公式：回歸直線方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)b工(x-x)(y-y)iiT=1i=1【答案】（1）y=葺x-耳；（2）是.解析】（1）由表中2月至5月份的數(shù)據(jù)，-11得x=(11+13+12+8)=11,y=(24+30+28+18)=2544故有

17、工(x-x)(yy)=0 x(-1)+2x5+1x3+(一3)x(一7)=34iii=2工(x一x)2=02+22+12+(-3)2=14ii=2入34171712b=14=5，a=y一bx=25一7x11=-刁1712即y關(guān)于x的線性回歸方程為y=7x-y(2)由y=17x-12,當(dāng)x=10時，y=17x10-12=15877777驢-20|=號2（1）求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在110120分的人數(shù)n；當(dāng)x=6時，y=17x6-12=90777呼-151=學(xué)),則天然氣用量S二yt=kx5+一|二5kx+25kx20k,Vx2丿xVx當(dāng)且僅當(dāng)5kx=20k時取“=”，即x=2（負(fù)值舍去）時，天然氣用

18、量最小.x（2020全國）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.平均溫度x/C21232527293235平均產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325xyz工(x-x)(-z)iii=1Y(x-x)ii=127.42981.2863.61240.182147.714表中z二Iny,i3503002502001502224262830325436蠱便（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=cedx（其中e二2.718為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸

19、方程類型？（給出判斷即可不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28C以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到28C以上的概率為P（P1）.（i）記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為f（P），求f（P）的最大值，并求出相應(yīng)的概率p0.（ii）當(dāng)f（P）取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.附：對于一組數(shù)據(jù)（x，z1）,（x2,z2）,（x7,z7），其回歸直線z=a+bx的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分工(

20、xx)(z-z)ii別為：b=i=1，a=z一bx.K(x-xii=1【答案】(1)y=cedx更適宜；y=e0.272x-3.849；(2)(i)f(p)=，此時相應(yīng)的概率為p=；(ii)max-2505E（X）=3，D（X）=5【解析】（I）根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷y=cedx更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.對y=ced兩邊取自然對數(shù)得Iny=Inc+dx，令z=Iny，a二lnc，b二d，得z二a+bx二趴-x兄廠=40.18202720因?yàn)閎=147.714顯0.2720，所以a=-bl=3.-12-0.272x27.429q-3.849ii=1所以z關(guān)于x的線性回歸方程

21、為z二0.272x-3.849，所以y關(guān)于x的回歸方程為y=eo.272x-3.849.（i）由f（p）=c3p3（】-p）-，得兒）=C3p-（i-p）（3-勿），因?yàn)?p0得3-5p0，解得0p5；令fp）0得3-5p0，解得-p1所以f（p）在5上單調(diào)遞增，在5,1上單調(diào)遞減，所以f（p）有唯一極大值/V5，也為最大值.所以當(dāng)p=-時，f（p）=誤，此時響應(yīng)的概率p=-.5max-2505（ii）由（i）知，當(dāng)f（p）取最大值時，p=5所以E（X）=5x-=3，D（X）=5x-x-=-.5555（2020福建師大附中高二期中）疫苗能夠使人體獲得對病毒的免疫力，是保護(hù)健康人群最有效的手段新

22、冠肺炎疫情發(fā)生以來，軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院陳薇院土領(lǐng)銜的團(tuán)隊(duì)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制的重組新型冠狀病毒疫苗（腺病毒載體），于4月12日開始招募志愿者，進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.科研人員要定期從接種疫苗的志愿者身上采集血液樣本，檢測人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，百萬國際單位/毫升）.（1）IgM作為人體中首先快速產(chǎn)生的抗體，是人體抗感染免疫的“先頭部隊(duì)”經(jīng)采樣分折，志愿者身體中IgM含量水平y(tǒng)（miu/mL）與接種天數(shù)x（接種后每滿24小時為一天，xeN*）近似滿足函數(shù)關(guān)系：O.lx,x10y=1“，經(jīng)研究表明，IgM

23、含量水平不低于0.2miu/mL時是免疫的有效時段，試估計(jì)接種一次后IgM含量水平有效時段可經(jīng)歷的時間（向下取整）.（參考數(shù)據(jù)：e沁2.718）（2）IgG雖然是接種后產(chǎn)生比較慢的抗體，卻是血清和體液中含量最高的抗體，也是親和力最強(qiáng)、人體內(nèi)分布最廣泛、具有免疫效應(yīng)的抗感染“主力軍”科研人員每間隔3天檢測一次（檢測次數(shù)依次記為t，ii=123,4,5,6,7）某志愿者人體中IgG的含量水平，記作z.（miu/mL）（i=1,2,3,4,5,6,7），得到相關(guān)數(shù)i據(jù)如下表：（次）1234567Z(miu/mL)i0.090.380.954.853.357.4817.25請畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判

24、斷線性擬合模型z=a+bt與指數(shù)擬合模型z=cdt哪種更適合擬合z與t的關(guān)系（不必說明理由）；研究人員發(fā)現(xiàn)，上述數(shù)據(jù)中存在一組異常數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)予以剔除試根據(jù)余下的六組數(shù)據(jù)，利用中選擇的擬合模型計(jì)算回歸方程，并估計(jì)原異常數(shù)據(jù)對應(yīng)的z.值.ix)(y-y):一x)2i附：回歸系數(shù)與估計(jì)值均保留兩位小數(shù)，由七組數(shù)據(jù)計(jì)算出的參考數(shù)據(jù)見下表，其中u=Inz.zu工tziituiiIn0.06ln1.55In2.27ln4.854.910.60205.4839.87-2.840.440.821.58參考公式：線性回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:a=y一bx【答案】（1）11天；（2）見解

25、析，指數(shù)擬合模型z=cdt適合擬合z與t的關(guān)系；1.55【解析】（1）x10時，y=e10-x單調(diào)遞減，得到x=10時，y達(dá)到峰值，由ei0一x0.2得10-x10+In5，因?yàn)?In511所以估計(jì)接種一次后IgM含量水平有效時段可經(jīng)歷的時間為11天;（2）散點(diǎn)圖如下:根據(jù)散點(diǎn)圖判斷指數(shù)擬合模型z二cdt更適合擬合z與t的關(guān)系;根據(jù)散點(diǎn)圖可得第4組數(shù)據(jù)異常，應(yīng)當(dāng)予以剔除由z=cdt得u=lnz=ln（cdt）=lnc+1lnd工（t一?）（u一u）乞tu一ntu39.87一4x4.85一6x6X7_158x4iiii.b=-t=t=-t=t=u0.3512+22+32+52+62+72一6X42為（t一?）2ii=1乙12一nt2ii=1a=U-bt=06%7一58-0.35x4=-0.96故u=Inz=-0.96+0.35