單自由度體系的振動

1、10.1 概 述一、靜荷載和動荷載(1)靜荷載：荷載的大小和方向不隨時間變化 （如梁板自重）(2)動荷載：荷載的大小和方向隨時間變化。第10章 結(jié)構(gòu)的動力計算二、動荷載的分類 (1) 周期荷載 (2) 沖擊荷載 (3) 隨機荷載 三、結(jié)構(gòu)動力計算的特點四、結(jié)構(gòu)動力計算的任務(wù) （1）結(jié)構(gòu)動力計算中需要考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量的慣性力的作用。 這是結(jié)構(gòu)動力計算與靜力計算的主要區(qū)別。 （2）質(zhì)量運動方程為微分方程。 在數(shù)學(xué)處理上要比結(jié)構(gòu)靜力計算問題復(fù)雜一些。 （3）結(jié)構(gòu)的動力反映不僅與動荷載的大小有關(guān)， 還與動荷載的變化規(guī)律及結(jié)構(gòu)本身的動力特性 （自振頻率、振型、阻尼）有關(guān)。 自由度的簡化-集中質(zhì)量法將實際結(jié)構(gòu)

2、的質(zhì)量看成（按一定規(guī)則）集中在某些幾何點上，除這些點之外物體是無質(zhì)量的。這樣就將無限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。10.2 振動體系的自由度 （1）并非一個質(zhì)量集中點一個自由度。 （2）結(jié)構(gòu)的自由度與是否超靜定無關(guān)。2個自由度2個自由度4個自由度靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定結(jié)構(gòu)3次超靜定結(jié)構(gòu) （3）可用加鏈桿的方法確定自由度。自由度的確定 要了解結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的規(guī)律，首先建立描述結(jié)構(gòu)運動的（微分）方程 建立運動方程的方法很多，常用的有虛功法、變分法等 這里介紹建立在達(dá)朗泊爾原理基礎(chǔ)上的“動靜法”10.3.1 自由振動微分方程的建立 1.剛度法（列動平衡方程） 彈性力（恢復(fù)力）慣性力-質(zhì)點的自由振動微分方

3、程取出質(zhì)點研究：在質(zhì)量上加慣性力， 令質(zhì)點平衡。10.3 單自由度體系的自由振動 2. 柔度法（列位移方程）- 此式就是應(yīng)用柔度法建立的 質(zhì)點的自由振動微分方程。在質(zhì)點上沿位移正向加慣性力；求外力和慣性力引起的位移；建立微分方程的步驟剛度法步驟：1.在質(zhì)量上加慣性力；2.求發(fā)生位移y所需之力；3.令該力等于體系外力和慣性力。柔度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。mEIlEIl1練習(xí)：列運動方程例1.剛度法列方程在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力-發(fā)生位移y時所需之力恢復(fù)力k11y體系在恢復(fù)力、慣性力和外力作用下平衡k11y=P(t)mEIl

4、/2EIl/2例2.剛度法列方程加慣性力-計算恢復(fù)力-k11y質(zhì)點在恢復(fù)力、慣性力和外力作用下平衡由于荷載沒有作用在質(zhì)點上，將其等價平移到質(zhì)點上FEFE =P/2例3.柔度法列方程mEIlEIl=1l例4.柔度法列方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4加慣性力求外力和慣性力引起的位移： y=11(P - )由于荷載沒有作用在質(zhì)點上，單獨計算外荷載引起的位移10.3.2 自由振動微分方程的求解 令 二階線性齊次常微分方程其通解為由初始條件得令得10.3.3 振動分析簡諧振動自振周期自振園頻率(自振頻率)與外界無關(guān),體系本身固有的特性振幅初相位角ty(t)幾個術(shù)語： （1）周期：振動一

5、次所需的時間（2）工程頻率： 單位時間內(nèi)的振動次數(shù) 與周期互為倒數(shù) （3）頻率（圓頻率）：旋轉(zhuǎn)向量的角速度， 即體系在2秒內(nèi)的振動次數(shù)。 自由振動時的圓頻率稱為“自振頻率”。頻率定義頻率計算式周期計算式自振頻率是體系本身的固有屬性， 與體系的剛度、質(zhì)量有關(guān)，與激發(fā)振動的外部因素?zé)o關(guān)。自振頻率和周期的計算由定義例1.求圖示體系的自振頻率和周期mEIlEIlFP=1F1=1ll/2l解:例2.求圖示體系的自振頻率和周期=1解:mEIllm/2EIEIll例3.質(zhì)點重W,求體系的頻率和周期解:EIkl1k10.3.4 考慮阻尼作用的自由振動1.運動方程m令2. 方程的解設(shè) y=C etm其中-有阻尼

6、的自振頻率 -阻尼比-臨界阻尼系數(shù)代入初始條件得3. 振動分析yk對數(shù)衰減率運動分析小阻尼情況臨界阻尼情況不振動大阻尼情況不振動由特征方程10.4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載下的強迫振動一、運動方程mEIlP(t)F -荷載幅值-荷載頻率FP(t)=F -二階線性非齊次常微分方程二、 方程的解在簡諧荷載下的強迫振動由初始條件決定的自由振動與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動-伴隨振動按干擾力的頻率振動的純強迫振動 三、振動分析當(dāng)不計阻尼時 純強迫振動 不計阻尼時純強迫振動分析-動力系數(shù)與/的函數(shù)關(guān)系對于結(jié)構(gòu)內(nèi)力也存在與結(jié)構(gòu)位移相似的情況其中注意則動力系數(shù) 時max并不出現(xiàn)在/=1處。其它與無阻尼類似計入阻尼時純強迫振動分析討論： 為靜力荷載 動力位移與動力荷載同向動力位移與動力荷載反向質(zhì)點只在靜平衡位置附近作極微小的振動 （1）當(dāng) 時（2）當(dāng) 時（5）當(dāng) 時產(chǎn)生共振算例: 求圖示梁中最大彎矩和跨中點最大位移Ql/2l/2已知:四、動位移、動內(nèi)力幅值計算解: l/4Ql/2l/2振幅動彎矩幅值動力系數(shù)跨中最大位移其中重力引起的位移跨中最大彎矩其中重力引起的彎矩 討論: 干擾力 不直接作用于質(zhì)點上的情況（如圖）質(zhì)點處位移10.5 一般動荷載作用時的受迫振動分析將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的位移后將這些位移相加即為動荷載引起的位移。m一、瞬時沖量的反應(yīng)1