平面向量知識點總結及同步練習

1、第二章 平面向量一、向量的基本概念與基本運算1、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量2、有向線段：定義：帶有方向的線段（規(guī)定了起點和終點的線段）叫做有向線段。.表示：表示有向線段時，要將表示起點的字母寫在前面，表示終點的字母寫在后面。在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向。.有向線段包括三要素：起點、方向和長度，知道了有向線段的起點，它的終點就被方向和長度唯一確定。有向線段不等同于向量。二者的區(qū)別是：向量可用有向線段來表示，每一條有向線段對應著一個向量，但每一個向量對應著無數(shù)多條有向線段。3、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法

2、 ，；坐標表示法 向量的膜：向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 注意：向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學中

3、研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同二、向量加法。定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法 設，則+= （1）；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“

4、首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”三、向量的減法。 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量 關于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=； (iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、

5、有共同起點）四、實數(shù)與向量的積：1、實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： （）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律2、兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=五、平面向量的基本定理：如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而

6、向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關學習本章主要樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點例1 、給出下列命題： 若|，則=； 若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其

7、中正確的序號是 解： 不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同 正確 ， 且，又 A，B，C，D是不共線的四點， 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，因此， 正確 =， ，的長度相等且方向相同；又， ，的長度相等且方向相同， ，的長度相等且方向相同，故 不正確當/且方向相反時，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件 不正確考慮=這種特殊情況 綜上所述，正確命題的序號是 例2 、設A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡： ， 解： 原式= 原式= 原式= 例3、設非零向量、不共線，=k+，=+k (kR)，若

8、，試求k解： 由向量共線的充要條件得： = (R) 即 k+=(+k) (k) + (1k) = 又、不共線 由平面向量的基本定理 六、平面向量的坐標表示。1、平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關2、平面向量的坐標運算：若，則若，則若

9、=(x,y)，則=(x, y)若，則若，則若，則向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內積）及其各運算的坐標表示和性質 運算類型幾何方法坐標方法運算性質向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:0時,與同向;eq f(5,3)且0解析a與ab均不是零向量，夾角為銳角，a(ab)0，530，eq f(5,3).當a與ab同向時，abma(m0)，即(1，2)(m,2m)eq blcrc (avs4alco1(1m,22m)，得eq blcrc (avs4alco1(0,m1)，eq f(5,3)且0.10已知直線axbyc0與圓O：x2y

10、24相交于A、B兩點，且|AB|2eq r(3)，則eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()_.答案2解析|AB|2eq r(3)，|OA|OB|2，AOB120.eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cos1202.三、解答題。11已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中點，E是AB上的一點，且AE2EB.求證：ADCE.證明以C為原點，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系設ACa，則A(a,0)，B(0，a)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，C(0,0)，E

11、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，eq o(CE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()aeq f(1,3)aeq f(a,2)eq f(2,3)a0，ADCE.12ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC邊的中點，BEAD，垂足為E，延長BE交AC于F，連結DF，求證：ADBFDC.證明如圖，以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，設A(0,2)，C(2

12、,0)，則D(1,0)，eq o(AC,sup6()(2，2)設eq o(AF,sup6()eq o(AC,sup6()，則eq o(BF,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AF,sup6()(0,2)(2，2)(2，22)，又eq o(DA,sup6()(1,2)由題設eq o(BF,sup6()eq o(DA,sup6()，eq o(BF,sup6()eq o(DA,sup6()0，22(22)0，eq f(2,3).eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3)，eq o(DF,sup6()eq o(BF,sup6()eq

13、 o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，又eq o(DC,sup6()(1,0)，cosADBeq f(o(DA,sup6()o(DB,sup6(),|o(DA,sup6()|o(DB,sup6()|)eq f(r(5),5)， cosFDCeq f(o(DF,sup6()o(DC,sup6(),|o(DF,sup6()|o(DC,sup6()|)eq f(r(5),5)，又ADB、FDC(0，)，ADBFDC.13在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線

14、的長；(2)設實數(shù)t滿足(eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()0，求t的值解析(1)由題設知eq o(AB,sup6()(3,5)，eq o(AC,sup6()(1,1)，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(2,6)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(4,4)所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2eq r(10)，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|4eq r(2).故所求的兩條對角線長分別為4eq r(2)和2eq r(10).(2)由題設知e

15、q o(OC,sup6()(2，1)，eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()(32t,5t)由(eq o(AB,sup6()teq o(OC,sup6()eq o(OC,sup6()0，得(32t,5t)(2，1)0，從而5t11，所以teq f(11,5).14一條寬為eq r(3)km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A、B，已知ABeq r(3)km，船在水中最大航速為4km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭？用時多少？解析如圖所示，設eq o(AC,sup6()為水流速度，eq o(AD,sup6()為航行速度，以AC和

16、AD為鄰邊作ACED且當AE與AB重合時能最快到達彼岸根據(jù)題意ACAE，在RtADE和ACED中，|eq o(DE,sup6()|eq o(AC,sup6()|2，|eq o(AD,sup6()|4，AED90.|eq o(AE,sup6()|eq r(|o(AD,sup6()|2|o(DE,sup6()|2)2eq r(3)，sinEADeq f(1,2)，EAD30，用時0.5h.答：船實際航行速度大小為4km/h，與水流成120角時能最快到達B碼頭，用時半小時15在ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，且BNeq f(1,3)BD，求證：M，N，C三點共線證明eq o(MN,sup

17、6()eq o(BN,sup6()eq o(BM,sup6().因為eq o(BM,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，eq o(BN,sup6()eq f(1,3)eq o(BD,sup6()eq f(1,3)(eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq f(1,3)eq o(BA,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,6)eq o(BA,sup6().由于eq o(MC,sup6()eq

18、o(BC,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()，可知eq o(MC,sup6()3eq o(MN,sup6()，即eq o(MC,sup6()eq o(MN,sup6().又因為MC、MN有公共點M，所以M、N、C三點共線16如圖所示，正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量方法證明PAEF.分析本題所給圖形為正方形，故可考慮建立平面直角坐標系，用向量坐標來解決，為此只要寫出eq o(PA,sup6()和eq o(EF,sup6()的坐標，證明其模相等即可證明建立如圖所示的平面直角坐標系，設正

19、方形的邊長為a，則A(0，a)設|eq o(DP,sup6()|(0)，則Feq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(a，f(r(2),2)，所以eq o(EF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a，f(r(2),2)，eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，af(r(2),2)，因為|eq o(EF,sup6()|22eq r(2)aa2，|eq o(P

20、A,sup6()|22eq r(2)aa2，所以|eq o(EF,sup6()|eq o(PA,sup6()|，即PAEF.17如圖所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中點，DEAC，E是垂足，F(xiàn)是DE的中點，求證AFBE.證明ABAC，且D是BC的中點，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BD,sup6()0.又eq o(DE,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()0.eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()，F(xiàn)是DE的中點，eq o(EF,sup6()e

21、q f(1,2)eq o(DE,sup6().eq o(AF,sup6()eq o(BE,sup6()(eq o(AE,sup6()eq o(EF,sup6()(eq o(BD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,s

22、up6()(eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(EF,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,su

23、p6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()(eq o(DC,sup6()eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(DE,sup6()eq o(EC,sup6()0.eq o(AF,sup6()eq o(BE,sup6()，AFBE. 平面向量的概念及其線性運算一、選擇題1若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()ABC D2在ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，則的值為(

24、)A.eq f(1,2) B.eq f(1,3)C.eq f(1,4) D13設P是ABC所在平面內的一點，2，則()AP、A、B三點共線 BP、A、C三點共線CP、B、C三點共線 D以上均不正確4已知點O，N在ABC所在平面內，且|，0，則點O，N依次是ABC的()A重心外心 B重心內心C外心重心 D外心內心5.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則()Aaeq f(3,4)b B.eq f(1,4)aeq f(3,4)bC.eq f(1,4)aeq f(1,4)b D.eq f(3,4)aeq f(1,4)b6已知ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB、AC于E、F兩點，若

25、 (0)， (0)，則eq f(1,)eq f(4,)的最小值是()A9 B.eq f(7,2)C5 D.eq f(9,2)二、填空題7設向量a，b滿足|a|2eq r(5)，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_8設a，b是兩個不共線的非零向量，若8akb與ka2b共線，則實數(shù)k_.9.如圖所示，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分、(不包括邊界)若ab，且點P落在第部分，則實數(shù)a，b滿足a_0，b_0(用“”，“”或“”填空)三、解答題10.ABC中，eq f(2,3)，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N.設a，b，用a、b表示向量、.11已知

26、(、為實數(shù))，若A、B、C三點共線，求證1.12已知ABC中，a，b，對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足ab，則動點P的軌跡是什么？其軌跡是否過定點，并說明理由平面向量基本定理及坐標表示一、選擇題1已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab與a 共線，那么ab的值為()A1B2C3 D42如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b，則()Abeq f(1,2)a Bbeq f(1,2)aCaeq f(1,2)b Daeq f(1,2)b3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c則()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C1 D24已知向量

27、a(1,1cos )，b(1cos ，eq f(1,2)，且ab，則銳角等于()A30 B45C60 D755已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三點共線的充要條件為()A2 B1C1 D16在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m(eq r(3)bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，則cos A的值等于()A.eq f(r(3),6) B.eq f(r(3),4)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(3),2)二、填空題。7若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則eq f(1,a)eq f(1,b)的值等于_8在AB

28、C中，a，b，M是CB的中點，N是AB的中點，且CN、AM交于點P，則_(用a，b表示)9已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_.三、解答題10已知向量a(1,2)，b(2,3)，R，若向量ab與向量c(4，7)共線，求.11已知P為ABC內一點，且3450.延長AP交BC于點D，若a，b，用a、b表示向量、.12已知O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t11時，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點都共線；(3)若t1a2，求當且ABM的面積為12時a的值平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用一、選擇題

29、1若向量a，b，c滿足ab且ac，則c(a2b)()A4 B3C2 D02若向量a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()Aeq f(,4) B.eq f(,6)C.eq f(,4) D.eq f(3,4)3已知a(1,2)，b(x,4)且ab10，則|ab|()A10 B10Ceq r(5) D.eq r(5)4若a，b，c均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的最大值為()A.eq r(2)1 B1C.eq r(2) D25已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題p1：|ab|10，eq f(2,3)p2：|ab|1(eq f(2,3)，p3：|ab

30、|10，eq f(,3)p4：|ab|1(eq f(,3)，其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p46已知|a|2|b|0，且關于x的函數(shù)f(x)eq f(1,3)x3eq f(1,2)|a|x2abx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為()A(0，eq f(,6) B(eq f(,6)，C(eq f(,3)， D(eq f(,3)，eq f(2,3)填空題。7已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq f(,3)，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1b2_.8已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.9已知|a|b|2，

31、(a2b)(ab)2，則a與b的夾角為_三、解答題。10已知a、b、c是同一平面內的三個向量，其中a(1,2)(1)若|c|2eq r(5)，且ca，求c的坐標；(2)若|b|eq f(r(5),2)，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.11設a(1cos x,1sin x)，b(1,0)，c(1,2)(1)求證：(ab)(ac)；(2)求|a|的最大值，并求此時x的值12在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.若k(kR)(1)判斷ABC的形狀；(2)若k2，求b的值答案詳解答案一、選擇題1解析：由減法的三角形法則知.答案：B2解析：M為邊BC上任意一點，可設xy (xy1)N為A

32、M中點，eq f(1,2)eq f(1,2)xeq f(1,2)y.eq f(1,2)(xy)eq f(1,2).答案：A3解析：2，.即 ，P、A、C三點共線答案：B4解析：由|知，O為ABC的外心；0，知，N為ABC的重心答案：C5. 解析：ab，又3，eq f(1,4)eq f(1,4)(ab)，beq f(1,4)(ab)eq f(1,4)aeq f(3,4)b.答案：B6解析：由題意得，2eq f(,2)eq f(,2)，又D、E、F在同一條直線上，可得eq f(,2)eq f(,2)1.所以eq f(1,)eq f(4,)(eq f(,2)eq f(,2)(eq f(1,)eq f

33、(4,)eq f(5,2)eq f(2,)eq f(,2)eq f(5,2)2eq f(9,2)，當且僅當2時取等號答案：D二、填空題7解析：設a(x，y)，x0，y0，則x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)答案：(4，2)8解析：因為8akb與ka2b共線，所以存在實數(shù)，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是兩個不共線的非零向量，故eq blcrc (avs4alco1(8k0，,k20，)解得k4.答案：49. 解析：由于點P落在第部分，且ab，則根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a0，b0.答案：三、解答題10. 解

34、：eq blcrc (avs4alco1(，, f(2,3) ) eq f(2,3)eq f(2,3)b，ba.由ADEABC，得eq f(2,3)eq f(2,3)(ba)又AM是ABC的中線，DEBC得eq f(1,2)eq f(1,3)(ba)又eq f(1,2)()eq f(1,2)(ab)eq blc rc(avs4alco1(ADNABM, f(2,3) ) eq f(2,3)eq f(1,3)(ab)11證明：(1) (1) 又A、B、C三點共線k即eq f(1,)eq f(,1)k1.12解：依題意，由ab，得(ab)，即()如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，對角線

35、交于O，則，A、P、D三點共線，即P點的軌跡是AD所在的直線，由圖可知P點軌跡必過ABC邊BC的中點詳解答案一、選擇題1解析：依題意得ab(3，k2)由ab與a共線，得1(k2)3k0，由此解得k1，ab22k4.答案：D2解析：abeq f(1,2)abeq f(1,2)a.答案：A3解析：可得ab(1，2)，由(ab)c得 (1)4320，eq f(1,2)答案：B4解析：ab，(1cos )(1cos )eq f(1,2).即sin2eq f(1,2)，又為銳角，sin eq f(r(2),2)，45.答案：B5解析：ab，ab，且A、B、C三點共線存在實數(shù)m，使m，即abm(ab)eq

36、 blcrc (avs4alco1(m,1m)，1.答案：D6解析：mn(eq r(3)bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得eq r(3)sin BcosAsin Ccos Acos Csin Aeq r(3)sin Bcos Asin(CA)sin B，即cos Aeq f(r(3),3).答案：C二、填空題7解析：(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)8解析：如圖所示，eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,2)()eq f(1,3)eq f(1,

37、3)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(2,3)aeq f(1,3)b.答案：eq f(2,3)aeq f(1,3)b9解析：由已知ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c得12(m1)(1)m10，所以m1.答案：1三、解答題10解：ab(2,23)，又向量ab與向量c(4，7)共線，所以7(2)(4)(23)0，解得2.11解：a，b，又3450，34(a)5(b)0，化簡，得eq f(1,3)aeq f(5,12)b.設t (tR)，則eq f(1,3)taeq f(5,12)tb.又設k (kR)，由ba，得k(ba)而a，ak(ba)(1k)akb.由，得eq f(1,

38、3)t1k，eq f(5,12)tk解得teq f(4,3).代入，有eq f(4,9)aeq f(5,9)b.12解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2，2t14t2)當點M在第二或第三象限時，有4t20,2t14t20故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明：當t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不論t2為何實數(shù)，A、B、M三點共線(3)當t1a2時，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t24(4t22a2)40，t2eq f(1,4)a2.(a2，a2)又|4eq r(2)，點M到直線AB：xy20的距

39、離deq f(|a2a22|,r(2)eq r(2)|a21|.SABM12，eq f(1,2)|deq f(1,2)4eq r(2)eq r(2)|a21|12，解得a2，故所求a的值為2.詳解答案一、選擇題1解析：由ab及ac，得bc，則c(a2b)ca2cb0.答案：D2解析：2ab(3,3)，ab(0,3)，則cos2ab，abeq f(2abab,|2ab|ab|)eq f(9,3r(2)3)eq f(r(2),2)，故夾角為eq f(,4).答案：C3解析：因為ab10，所以x810，x2，所以ab(1，2)，故|ab|eq r(5).答案：D4解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a21，b21，c21，由ab0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc