2022年初中教學(xué)數(shù)列斐波那契

1、斐波那契數(shù)列主題探究教學(xué)設(shè)計(jì)方案一、概述本主題為人教課標(biāo)必修 5 第二章數(shù)列中關(guān)于有閱讀與思考的內(nèi)容本主題是在已有數(shù)列基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，探索斐波那契數(shù)列的發(fā)展歷史、實(shí)際生活中的斐波那契數(shù)列， 以及斐波那契數(shù)列的一些特性斐波那契數(shù)列與實(shí)際生活聯(lián)系比較緊密，有著廣泛的應(yīng)用， 而且本身也有許多特殊的性質(zhì)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)二、教學(xué)目標(biāo)分析1進(jìn)一步鞏固數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，加深對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)，能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題2初步了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類(lèi)社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，開(kāi)拓視野，

2、激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)三、學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生已經(jīng)掌握數(shù)列、等差、等比數(shù)列的知識(shí)，能在具體的情境問(wèn)題中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列中特殊的關(guān)系： 等差或等比關(guān)系， 能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題部分學(xué)生有一定的自主學(xué)習(xí)能力、協(xié)作學(xué)習(xí)能力但應(yīng)用意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)新能力不強(qiáng)，因此需要一定的指導(dǎo)學(xué)生具有一定的計(jì)算機(jī)運(yùn)用能力，能夠通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索相關(guān)資源，能借助計(jì)算機(jī)解決相應(yīng)的問(wèn)題四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)主要采用網(wǎng)絡(luò)探究，小組協(xié)作的方式， 在復(fù)習(xí)數(shù)列相關(guān)知識(shí)，然后逐步探究斐波那契數(shù)列的歷史、應(yīng)用、特征，教師做好指導(dǎo)、協(xié)調(diào)工作，對(duì)于學(xué)生探究結(jié)論給予相應(yīng)評(píng)價(jià)五、教學(xué)資源與工具設(shè)計(jì)1 人教 A 版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

3、教科書(shū)必修 5；2 網(wǎng)絡(luò)課件；1 3 斐波那契數(shù)列計(jì)算器；4 網(wǎng)絡(luò)型多媒體教室六、教學(xué)過(guò)程本主題共需 1 個(gè)課時(shí)具體安排如下：（一）問(wèn)題引入由學(xué)生計(jì)算，教師給予相應(yīng)的指導(dǎo)如果一對(duì)兔子每月能生 1 對(duì)小兔子（一雄一雌） ，而每 1 對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生 1 對(duì)小兔子假定在不發(fā)生死亡的情況下，由 1 對(duì)出生的小兔子開(kāi)始，50 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子？提示： 每月底兔子對(duì)數(shù)是：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ，50 個(gè)月后是 12586269025 對(duì)這就是著名的斐波那契數(shù)列或許大自然懂得數(shù)學(xué)，樹(shù)木的分杈、遵循這個(gè)數(shù)列你

4、能寫(xiě)出以后的項(xiàng)嗎？花瓣的數(shù)量、 種子的排列、鸚鵡螺的螺旋線(xiàn) 都設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)斐波那契的兔子問(wèn)題引入，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算、思考，對(duì)斐波那契數(shù)列有 感性認(rèn)識(shí)（二）數(shù)列知識(shí) 1數(shù)列的起源 人們對(duì)數(shù)列的研究主要源于生產(chǎn)、生活的需要，以及出于對(duì)自然數(shù)的喜愛(ài)數(shù)是刻畫(huà) 靜態(tài)物體下的量， 一系列的數(shù)刻畫(huà)物體的變化情況，這些按一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù) 列（ sequence of number）數(shù)列是刻畫(huà)離散過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型，在生活中經(jīng)常遇到的存款 利息、細(xì)胞分裂等問(wèn)題都與數(shù)列有關(guān)在古希臘， 對(duì)畢氏學(xué)派而言，萬(wàn)物都是數(shù)他們將數(shù)用小石子排列成各種形狀，可以排 成三角形的小石子數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù)，可以排成正方形的小

5、石子數(shù)稱(chēng)為正方形數(shù)三角形數(shù)：正方形數(shù)：五邊形數(shù)：2 每種多邊形數(shù)均是一個(gè)數(shù)列設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)于數(shù)列的起源有所了解，便于理解研究數(shù)列的意義2數(shù)列的相關(guān)知識(shí) 讓學(xué)生快速梳理數(shù)列的基本知識(shí)：（1）數(shù)列的一般形式：a 1,a2,a3,an,，簡(jiǎn)記為a n（2）數(shù)列的表示方法： （1）列表法；（2）圖象法；（3）通項(xiàng)公式法（3）數(shù)列的分類(lèi)：項(xiàng)數(shù)有限無(wú)限：有窮數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列遞增數(shù)列項(xiàng)數(shù)的隨序號(hào)的變化情況：遞減數(shù)列 常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列（4）數(shù)列通項(xiàng)公式：anf(n )；主要方法：觀察數(shù)列的特點(diǎn)，尋找項(xiàng)數(shù)與對(duì)應(yīng)序號(hào)的關(guān)系a 1化歸法（將數(shù)列變形，使原數(shù)列的倒數(shù)或與某同一常數(shù)的和成等差或等比數(shù)列）a n逐差全加（

6、對(duì)于后一項(xiàng)與前一項(xiàng)差中含有未知數(shù)的數(shù)列）例如：數(shù)列中，,1anan12 n，求a a1逐商全乘法（對(duì)于后一項(xiàng)與前一項(xiàng)商中含有未知數(shù)的數(shù)列）例如：數(shù)列an，,1anan12n1，求a n正負(fù)相間：利用(1 n)或()1n1（隔項(xiàng)有零：利用1()1n1 或1(1 )n11 22（5）數(shù)列求和的主要方法利用等差或等比的求和公式3 利用通項(xiàng)列項(xiàng)求和錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于通項(xiàng)為等比和等差通項(xiàng)之積形式的數(shù)列求和倒序相加法：例如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)配對(duì)法：適合某些正負(fù)相間型的數(shù)列學(xué)生思考：若我們分別以S n,T n,P n來(lái)代表下圖的正方形數(shù)、三角形數(shù)及五邊形數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)求出通項(xiàng)公式嗎？三者的關(guān)系呢？（可以借

7、助圖形特點(diǎn)）n 個(gè)n 個(gè)n 個(gè)n 個(gè)教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)提示：由上圖我們不難看出：Snn2S nT nT n1而Tnn (n)12每個(gè)正方形數(shù)都可以看成兩個(gè)三角形數(shù)的和n 個(gè)4 觀察五角形數(shù)可以知道P n1pn( 3 n)1P n13 ( n1 )1 ( 3 n)1?147)23(3 n-2)(3 n1)2 n)P nn2nn? (3 Tn(3 kk2即k1k11 )13 n(nnn(3 n?22設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧數(shù)列的基本知識(shí)，便于將知識(shí)系統(tǒng)化，能更好的從整體上把握，靈活應(yīng)用數(shù)列解決相應(yīng)問(wèn)題3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系讓學(xué)生回顧數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集* N （或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量順次

8、從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值， 序號(hào)是自變量， 所以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫(huà)出的圖像是一些孤立的點(diǎn)， 所以說(shuō)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)數(shù)列具有函數(shù)的一般性質(zhì)，可以借助數(shù)形結(jié)合的思想研究問(wèn)題，但研究的側(cè)重點(diǎn)有所不同，函數(shù)側(cè)重研究單調(diào)性、最值、奇偶性等，數(shù)列側(cè)重研究下標(biāo)子數(shù)列或兩個(gè)數(shù)列的合成的性質(zhì)等設(shè)計(jì)意圖：回顧函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，進(jìn)一步加深認(rèn)識(shí)研究數(shù)列的角度和意義4特殊數(shù)列讓學(xué)生填寫(xiě)下列表格：名稱(chēng)等差數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

9、比等于同一個(gè)常5 一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù) 列（ arithmetic sequence），這個(gè)常數(shù)數(shù) ， 那 么 這 個(gè) 數(shù) 列 就 叫 等 比 數(shù) 列（geometric sequence），這個(gè)常數(shù)叫做等通項(xiàng)公式叫 做 等 差 數(shù) 列 的 公 差 （ common 比數(shù)列的公比（common ratio ），通常用difference），通常用字母d 表示字母 q 表示a na 1qn1ana 1(n1 ) d等差數(shù)列實(shí)際是一次型函數(shù)，是等比數(shù)列實(shí)際是指數(shù)型函數(shù)最簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列前 n 項(xiàng)和S nn (a 12an)na1n (n)1dS na 1( 1qn)a 1anq?q)1公

10、式1q1q2等比中項(xiàng)：三個(gè)數(shù)a ,G,b成等比數(shù)比例中項(xiàng)等差中項(xiàng)： 三個(gè)數(shù)a,A ,b成等差數(shù)列，則A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)列，則 G 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng)（artithmetic mean ）GabAa2b等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，加深對(duì)這兩設(shè)計(jì)意圖： 對(duì)比中學(xué)中重要的兩個(gè)特殊數(shù)列：種數(shù)列的理解和應(yīng)用，通過(guò)系統(tǒng)比較能更好的理解（三）斐波那契教師適當(dāng)?shù)募右越榻B，可以在讓學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)收集相關(guān)資料中世紀(jì)最有才華的數(shù)學(xué)家斐波那契（1175 年 1259 年）出生在意大利比薩市的一個(gè)商人家庭 因父親在阿爾及利亞經(jīng)商，因此幼年在阿爾及利亞學(xué)習(xí)，學(xué)到不少時(shí)尚未流傳到歐洲的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)成年以

11、后，他繼承父業(yè)從事商業(yè)，走遍了埃及、希臘、敘利亞、印度、法國(guó)和意大利的西西里島斐波那契是一位很有才能的人，并且特別擅長(zhǎng)于數(shù)學(xué)研究他發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)要比歐洲大陸發(fā)達(dá)， 因此有利于推動(dòng)歐洲大數(shù)學(xué)的發(fā)展他在其他國(guó)家和地區(qū)經(jīng)商的同時(shí)，特別注意搜集當(dāng)?shù)氐乃阈g(shù)、代數(shù)和幾何的資料 回國(guó)后， 便將這些資料加以研究和整理，編成算經(jīng)（1202 年，或叫算盤(pán)書(shū) ）算經(jīng)的出版，使他成為一個(gè)聞名歐洲的數(shù)學(xué)家繼算經(jīng)之后，他又完成了幾何實(shí)習(xí)（1220 年）和四藝經(jīng) （ 1225 年）兩部著作算經(jīng) 在當(dāng)時(shí)的影響是相當(dāng)巨大的這是一部由阿拉伯文和希臘文的材料編譯成拉丁文的數(shù)學(xué)著作， 當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是歐洲人寫(xiě)的一部偉大的數(shù)學(xué)著作，經(jīng)

12、典著作在兩個(gè)多世紀(jì)中一直被奉為在當(dāng)時(shí)的歐洲，雖然多少知道一些阿拉伯記數(shù)法和印度算法，但僅僅局限在修道院內(nèi)，一般的人還只是用羅馬數(shù)學(xué)記數(shù)法而盡量避免用“ 零”斐波那契的 算經(jīng)，介紹了阿拉伯記數(shù)法和印度人對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、 平方根、 立方根的運(yùn)算方法，這部著作在歐洲大陸產(chǎn)生了極大的影響，并且改變了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的面貌他在這本書(shū)的序言中寫(xiě)道：“ 我把自己的一些方法和歐幾里得幾何學(xué)中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是決定寫(xiě)現(xiàn)在這本 15 章的書(shū)，使拉丁族人對(duì)這些東西不會(huì)那么生疏在斐波那契的算經(jīng)中，記載著大量的代數(shù)問(wèn)題及其解答，對(duì)于各種解法都進(jìn)行了嚴(yán)格的證明 書(shū)中記載的一個(gè)有趣的問(wèn)題：理想中的兔子繁殖問(wèn)題，

13、兔子每個(gè)月對(duì)數(shù)就構(gòu)成了著名的斐波那契數(shù)列據(jù)載首先是由 19 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家呂卡將級(jí)數(shù) F n ：1，1，2，3，5，6 8，13，21， 34，.命名為斐波那契級(jí)數(shù)，它是一種特殊的線(xiàn)性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分 支中有廣泛應(yīng)用1963 年美國(guó)還創(chuàng)刊斐波那契季刊來(lái)專(zhuān)門(mén)研究數(shù)列設(shè)計(jì)意圖： 了解斐波那契的歷史，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而 不舍的探索精神（四）斐波那契數(shù)列特性 小組探究， 歸納總結(jié)結(jié)論， 可以參照提示， 對(duì)于能力較強(qiáng)的小組可以進(jìn)一步探究其它性 質(zhì)教師對(duì)于各小組的探究過(guò)程加以評(píng)價(jià)斐波那契數(shù)列： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89，

14、144， 233， 1通項(xiàng)公式 觀察斐波那契數(shù)列項(xiàng)數(shù)之間有什么關(guān)系？F n提示：從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)等于其前兩項(xiàng)的和，即若用F n表示第n 項(xiàng)，則有F n1F n2? (n3 )通過(guò)遞推關(guān)系式F n1 ?n2? ( n,1 2，我們可以一步一個(gè)腳印地算出任意項(xiàng)，不F n1F n3 )過(guò)，當(dāng) n 很大時(shí)，推算是很費(fèi)事的我們必須找到更為科學(xué)的計(jì)算方法你能否尋找到通項(xiàng)公式，借助網(wǎng)絡(luò)資源，能否給予證明？S n提示：21730年法5國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項(xiàng)表達(dá)式115n12n，19 世紀(jì)初另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明這一表達(dá)5式，現(xiàn)在稱(chēng)為之為比內(nèi)公式可以利用歸納法證明網(wǎng)絡(luò)資源： 求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式2

15、項(xiàng)間關(guān)系根據(jù)下列問(wèn)題分組探究，寫(xiě)下探究的結(jié)果有能力的學(xué)生可以繼續(xù)研究其他性質(zhì)提供斐波那契數(shù)列計(jì)算器的網(wǎng)頁(yè)斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質(zhì)，下面一起研究部分性質(zhì)：（1）問(wèn)題：觀察相鄰兩項(xiàng)之間有什么關(guān)系？相鄰兩項(xiàng)互素， （FnF n1）（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， 第 3 項(xiàng)、第 6 項(xiàng)、第 9 項(xiàng)、第 12 項(xiàng)、 的數(shù)字，有什么共同特點(diǎn)？提示：能夠被 2 整除第 4 項(xiàng)、第 8 項(xiàng)、第 12 項(xiàng)，能夠被 3 整除第 5 項(xiàng)、第 10 項(xiàng)、 的數(shù)字，能夠被 5 整除你還能發(fā)現(xiàn)哪些類(lèi)似的規(guī)律？（3）F 1 F 2 F

16、3 F n 1 F n 2如果你把前五加起來(lái)再加 1，結(jié)果會(huì)等于第七項(xiàng)；如果把前六項(xiàng)加起來(lái)，再加 1，就會(huì)得出第八項(xiàng)那么前 n 項(xiàng)加起來(lái)再加 1，會(huì)不會(huì)等于第 n + 2 項(xiàng)呢？7 提示：1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21 由于每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和，所以F 1F 2F 3F n1F n2（4）如果我們分別對(duì)偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)做加法運(yùn)算的話(huà)，情形又如何呢？1 + 2 + 5 = 8 1 + 2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 13 1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 提示：我們可

17、以得到下列的結(jié)果：F 1F 3F 4F2n1nF2nn11F 2F 2F 28 你是否能給出證明？（5）不可思議的是，如果我們把第三項(xiàng)的平方加上第四項(xiàng)的平方會(huì)得到第七項(xiàng)22 + 32 = 4 + 9 = 13 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233 試試看其它的情形Fn2F n12F 2n1是不是都成立呢？（6）更不可思議的是，你能想象到嗎，斐波那契數(shù)列與楊輝三角居然有聯(lián)系？提示：1 1 2 3 5 8 13 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 3黃金分

18、割 動(dòng)手做一下：把斐波那契數(shù)列中從第二項(xiàng)開(kāi)始的每一項(xiàng)除以前一項(xiàng)，得到一個(gè)新的數(shù) 列，并畫(huà)出圖象，分析新數(shù)列的特點(diǎn)提示：1，2，1.5， 1.67，1.6，1.63， 1.615，1.619，1.618， . 下圖中橫軸為n 的值，縱軸為F nn1的取值：F9 F n1看起來(lái)好像會(huì)趨近某個(gè)定值，大約為1.61 這為人所知作為金黃比率, 并且F n因此斐波那奇的序列并且稱(chēng)金黃序列，4探究其它特性開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的黃金比率利用斐波那契數(shù)列計(jì)算器和互聯(lián)網(wǎng)，每小組探究斐波那契數(shù)列的其它性質(zhì)，然后利用網(wǎng)絡(luò)搜索所得到的性質(zhì)，是否已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)。在網(wǎng)絡(luò)中查找一下是否還有其它性質(zhì)，將得到的結(jié)論填入下表性質(zhì)小組

19、：描述人員組成：證明過(guò)程網(wǎng)絡(luò)相關(guān)資源備注設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)系列的、 逐層深入的問(wèn)題串，列的特性，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用（五）聯(lián)系生活引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)列的知識(shí)探索斐波那契數(shù)將學(xué)生分組， 利用網(wǎng)絡(luò)搜索斐波那契數(shù)列與生活的聯(lián)系，將收集的資源加工整理，制作成課件，以小組為單位展示課件，并加以說(shuō)明嘗試一下，能否借助斐波那契數(shù)列的特性設(shè)計(jì)圖案？在網(wǎng)絡(luò)中查找一下利用斐波那契數(shù)列設(shè)計(jì)的圖案，并分析其中蘊(yùn)含的數(shù)列下面是從生物、藝術(shù)、計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)圖形等方面簡(jiǎn)單示例1生物學(xué)與斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實(shí)的自然世界中， 算盤(pán)書(shū)里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數(shù)列起絨草橢球狀的花頭，你可以看見(jiàn)

20、那上面有許多螺旋很容易想像，如果從上面俯視下去的話(huà)，這些螺旋從中心向外盤(pán)旋，有些是順時(shí)針?lè)较虻?，還有些是逆時(shí)針?lè)较虻哪鏁r(shí)針與順時(shí)針的螺旋數(shù)就是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），事實(shí)上許多常見(jiàn)的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個(gè)特性，只是不容易觀察清楚 盡管這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但它們也并不隨機(jī)，它們是斐波那契序列中的相鄰數(shù)字這樣的螺旋被稱(chēng)為斐波那契螺旋展示自然界中各種各樣的斐波那契螺旋圖片（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波

21、那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、 大波斯菊、 金鳳花、 耬斗菜、 百合花、 蝴蝶花 斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：3 百合和蝴蝶花5 藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8 翠雀花13 金盞草21 紫宛34，55， 84 雛菊展示花的圖片10 （2）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)例如，在樹(shù)木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子(假定沒(méi)有折損 )，直至到達(dá)與那片葉子正對(duì)的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對(duì)的位置稱(chēng)為一個(gè)循回葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱(chēng)為葉序 (源自希臘詞，意即葉子的排列)比多

22、數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比（3）斐波那契數(shù)有時(shí)也稱(chēng)松果數(shù)，因?yàn)檫B續(xù)的斐波那契數(shù)會(huì)出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中這種情況在向日葵的種子盤(pán)中也會(huì)看到此外， 你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的盧卡斯數(shù)嗎？（4）菠蘿是又一種可以檢驗(yàn)斐波那契數(shù)的植物對(duì)于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面 上六角形鱗片所形成的螺旋線(xiàn)數(shù)（5）樹(shù)木的生長(zhǎng)， 由于新生的枝條， 往往需要一段 “ 休息 ”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)， 而后才 能萌發(fā)新枝所以，一株樹(shù)苗在一段間隔（如圖4），例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝 “休息 ” ，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“ 休息 ”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年 “休息 ” 這樣，一株樹(shù)木

23、各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列這個(gè)規(guī)律，就是生 物學(xué)上著名的 “ 魯?shù)戮S格定律 ”這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這 樣這似乎是植物排列種子的“ 優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得 當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉葉子的生長(zhǎng)方式也是如此，為了在生長(zhǎng)的過(guò)程中一直都能最佳地利 對(duì)于許多植物來(lái)說(shuō)，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來(lái)，用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來(lái)，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子 和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是 222.5 度，這個(gè)角度稱(chēng)為“ 黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360 度之比是黃金分割數(shù) 1.618033989 的倒數(shù)，而這種生長(zhǎng)方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到 2藝術(shù) 展示埃及的圖像89，甚至 144 條古埃及的人體畫(huà)像的繪畫(huà)都是基于 神圣比例 也就是我們所了解的黃金分割展示希臘神廟的圖片3計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì) 由于是自然規(guī)律而并非抽象的數(shù)學(xué)或哲學(xué)原理決定了植物各種器官的排列圖樣；另外還 有具體環(huán)境的影響，比如地形、 氣候或病害， 你并不總能找到完美的斐波那契螺旋即使是 你會(huì)發(fā)現(xiàn)螺旋的中 生長(zhǎng)得很健康的植物，也難免有這樣那樣的缺陷仔細(xì)觀察上面的圖片，心經(jīng)常是一片混亂 所以最后還是讓我