數(shù)據(jù)模型與決策第9章-模糊系統(tǒng)

1、9 模糊(m hu)系統(tǒng)Fuzzy System共九十八頁(yè)緒論(xln)一、什么(shn me)是模糊數(shù)學(xué)二、模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與基本思想三、模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展四、為什么研究模糊數(shù)學(xué)共九十八頁(yè)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分(hu fn)為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫； 2.隨機(jī)現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠概率統(tǒng)計(jì)去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，等等。此話準(zhǔn)確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。 1、什么是模糊(m hu)系統(tǒng)共九十八頁(yè)一個(gè)路人問一位智者(zh zh)，要走幾小時(shí)才能到達(dá)某地。

2、智者(zh zh)默不作答，等過路人走了一小段路以后，他才把那人叫回，答以時(shí)間贊成說(shuō)話要有根據(jù)回答十分精確反對(duì)說(shuō)話要靈活處理路人又沒問精確時(shí)間1.1 從伊索寓言(yyn)的故事開始共九十八頁(yè)“3小時(shí)(xiosh)左右”模糊性日常生活中，早已運(yùn)用自如科學(xué)分析中，理論卻還未完善模糊理論模糊集，模糊邏輯，模糊數(shù)，.歷史20c60s，奠定理論基礎(chǔ)L.A.Zadeh, “Fuzzy Set”, 1965.20c70s，廣泛應(yīng)用于控制(kngzh)領(lǐng)域荷蘭，熱水站，傳統(tǒng)方法難以控制日本，地鐵列車自動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)，自來(lái)水廠凈化處理共九十八頁(yè)禿子悖論(bi ln): 天下所有的人都是禿子設(shè)某人頭發(fā)根數(shù)為n，當(dāng)n=1（

3、即該人頭上(tu shn)只有一根頭發(fā)），顯然該人一定是禿子，結(jié)論正確；若某人頭發(fā)根數(shù)n=k時(shí)為為禿子；（歸納假設(shè)）那么當(dāng)n=k+1 （即該人頭上只比禿子多一根頭發(fā)）， 當(dāng)然該人亦為禿子。結(jié)論：天下所有的人都是禿子注意：這個(gè)結(jié)論是由數(shù)學(xué)歸納法證明的，那么是歸納法不對(duì)還是現(xiàn)實(shí)就是如此？共九十八頁(yè)1.2 從精確(jngqu)到模糊精確答案(d n)確定：要么是，要么不是f : A 0,1他是學(xué)生？他不是學(xué)生？模糊答案不定：也許是，也許不是，也許介于之間A : U 0,1他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間無(wú)明顯分界線共九十八頁(yè)“20歲左右(zuyu)”

4、原集合（年齡）., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, .“20歲左右”這個(gè)模糊集可以(ky)表示為：0.8/18 + 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/120.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23.隸屬度0,1集合元素共九十八頁(yè)1.3 將語(yǔ)言轉(zhuǎn)化(zhunhu)為模糊表示“老年(lonin)”50歲以下不是老年70歲以上是老年年齡越大，被認(rèn)為是老年的根據(jù)越充分0（x -50) x 0.051x = 5050 x = 70f (x) = 共九十八頁(yè) 考慮(kol)年齡集U=0,100，A=“年老”，

5、A也是一個(gè)年齡集，u = 20 A，40 呢？查德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:10U50100共九十八頁(yè)再如，B= “年輕(ninqng)”也是U的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，查德給出它的隸屬函數(shù)： 102550UB（u）共九十八頁(yè)共同特點(diǎn)：模糊概念的外延(wiyn)不清楚。 術(shù)語(yǔ)(shy)來(lái)源Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的模糊，不分明，弗齊，弗晰，勿晰模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象。年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長(zhǎng)、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共九十八頁(yè)2、 模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生(chnsh

6、ng)與發(fā)展2.1模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生(chnshng)1965年，L.A. Zadeh（扎德） 發(fā)表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )“事物的復(fù)雜性與精確性的矛盾是當(dāng)代科學(xué)的一個(gè)基本矛盾”，由此促使著模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展?！澳：辈⒎菈氖拢谟行┣闆r下它比精確更有意義，會(huì)帶來(lái)更好的效果，如模糊描述人的特征，對(duì)人進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)。鄭板橋講“難得糊涂”，實(shí)際上包含了難得模糊的哲理。共九十八頁(yè)2.2 基本(jbn)思想用屬于(shy)程度代替屬于(shy)或不屬于(shy)。 某個(gè)人屬于禿子的程度為0.8, 另一個(gè)人屬于禿子的

7、程度為0.3等. 任何事物的發(fā)展都有一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程,這個(gè)過程用經(jīng)典數(shù)學(xué)很難描述,模糊數(shù)學(xué)的發(fā)明完成了這一使命:（1）給數(shù)學(xué)“禁區(qū)”的各門學(xué)科，如社會(huì)、人文學(xué)科等提供新的語(yǔ)言和工具；（2）使計(jì)算機(jī)能仿效人腦對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別和判斷，提高自動(dòng)化水平，使電腦更“聰明”。共九十八頁(yè)2.3 模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展(fzhn)至今，數(shù)學(xué)(shxu)的發(fā)展已經(jīng)歷三代： （1）第一代數(shù)學(xué)：經(jīng)典數(shù)學(xué)，研究和處理精確的必然現(xiàn)象；（2）第二代數(shù)學(xué)：統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)，研究和處理事物偶然性(隨機(jī)性)；（3）第三代數(shù)學(xué)：模糊數(shù)學(xué)，研究和處理事物的模糊性。它們都是不確定數(shù)學(xué)，是精確（確定）數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展。 Fuzzy Maths

8、 ，專門用來(lái)處理和研究模糊性事物的一種新的數(shù)學(xué)方法。1965年美國(guó)加州大學(xué)查德(L.A.Zadeh)教授發(fā)表Fuzzy Sets一文，標(biāo)志其誕生。共九十八頁(yè)2.3 模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展(fzhn)1975年之前，發(fā)展緩慢；1980以后發(fā)展(fzhn)迅速；1990-1999 Fuzzy Boom 雜志種類1978年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems每年1卷共340頁(yè)，99年8卷每卷480頁(yè)Int. J. of Approximate ReasoningInt. J. Fuzzy MathematicsInt. J. Uncertainty, Fuzziness, k

9、nowledge-based Systems共九十八頁(yè)IEEE 系列(xli)雜志主要(zhyo)雜志25種，涉及模糊內(nèi)容20,000余種 國(guó)際會(huì)議IFSA (Int. Fuzzy Systems Association)EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU模糊代數(shù)，模糊拓?fù)?，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支 涉及學(xué)科分類、識(shí)別、評(píng)判、預(yù)測(cè)、控制、排序、選擇；共九十八頁(yè) 模糊(m hu)產(chǎn)品洗衣機(jī)、攝象機(jī)、照相機(jī)、電飯鍋、空調(diào)(kn dio)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟(jì)、文學(xué)、音樂國(guó)內(nèi)狀況1976年，潘

10、學(xué)海，弗齊集合論，計(jì)算機(jī)應(yīng)用及應(yīng)用數(shù)學(xué)；1980年，汪培莊，模糊數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).1981年，模糊數(shù)學(xué)創(chuàng)刊共九十八頁(yè)2.4 為什么研究(ynji)模糊數(shù)學(xué)復(fù)雜性要求(yoqi)As the complexity of a system increases, our ability to make precise and yet significant statements about its behavior diminishes until a threshold is reached beyond which the precise and significance become

11、 mutually exclusive characteristics. 不相容原理 (Incompatibility Principle) 共九十八頁(yè)人工智能(rn n zh nn)的要求 取得(qd)精確數(shù)據(jù)不可能或很困難沒有必要獲取精確數(shù)據(jù) 結(jié)語(yǔ): 模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生不僅形成了一門嶄新的數(shù)學(xué)學(xué)科，而且也形成了一種嶄新的思維方法，它告訴我們存在亦真亦假的命題，從而打破了以二值邏輯為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)思維，使得模糊推理成為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法。隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，模糊理論和模糊技術(shù)將對(duì)于人類社會(huì)的進(jìn)步發(fā)揮更大的作用。共九十八頁(yè)3、 模糊子集(z j)及其表示方法3.1 模糊子集3.2 隸屬(lsh)函數(shù)3.3

12、 模糊子集的表示3.4 隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別3.5 確定隸屬函數(shù)的主要方法3.6 模糊集合的截集共九十八頁(yè) 普通集合及其特征函數(shù) 1、集合的基本概念 論域，被討論對(duì)象的全體(qunt)叫做論域，對(duì)稱全域，通常用大寫字母U、E、X、Y等來(lái)表示。 元素，組成某一集合的單個(gè)對(duì)象就稱為該集合的一個(gè)元素，通常用小寫字母表示。 子集，由同一集合中的部分元素組成一個(gè)新集合，稱為原集合的一個(gè)子集，通常用大寫字母表示。 集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它們括起來(lái)表示集合的全域。 2、集合的基本運(yùn)算 并集、交集、差集、補(bǔ)集。3.1 模糊(m hu)子集共九十八頁(yè)模糊集合 1、模糊集合：無(wú)明確邊

13、界的集合。 2、模糊集合的特點(diǎn)(tdin)：把原來(lái)普通集合對(duì)類屬、性態(tài)的非此即彼的絕對(duì)屬于或不屬于的判定，轉(zhuǎn)化為對(duì)類屬、性態(tài)做從0互1不同程度的相對(duì)判定。 3.1模糊(m hu)子集模糊子集：設(shè)給定論域U和一個(gè)資格函數(shù)把U中間每個(gè)元素x和區(qū)間0，1中的一個(gè)數(shù)A(x)結(jié)合起來(lái)。A(x)表示x在A中的資格的等級(jí)。此處的A我們就說(shuō)是U的一個(gè)模糊子集。 共九十八頁(yè)3.2 隸屬(lsh)函數(shù)特征函數(shù) 在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素x和一個(gè)集合(jh)A之間的關(guān)系只能有xA或者xA這兩種情況。集合可以通過其特征函數(shù)來(lái)刻劃，每一個(gè)集合A都有一個(gè)特征函數(shù)A(x)，其定義如下：共九十八頁(yè)每一個(gè)集合(jh)A都有一個(gè)特

14、征函數(shù)A(x)，其圖形如圖1所示：圖1特征函數(shù)A(x) 圖共九十八頁(yè) 例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示(biosh)人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：共九十八頁(yè)還可用向量(xingling)表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，還可以在U上建立一個(gè)“矮個(gè)子”、“中等個(gè)子”、“年輕人”、“中年人”等模糊子集. 從上例可看出： (1) 一個(gè)有限論域可以有無(wú)限個(gè)模糊子集,而經(jīng)典子集

15、是有限的； (2) 一個(gè)模糊子集的隸屬(lsh)函數(shù)的確定方法是主觀的. 隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，模糊數(shù)學(xué)方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強(qiáng)調(diào)主觀的方法.共九十八頁(yè)3.2 隸屬(lsh)函數(shù)隸屬(lsh)函數(shù)設(shè)給定論域U，U在閉區(qū)間0，1中的任一映射A 共九十八頁(yè)3.2 隸屬(lsh)函數(shù)模糊數(shù)學(xué)是將二值邏輯0，1拓廣到可取(kq)0，1閉區(qū)間上任意的無(wú)窮多個(gè)值的連續(xù)值邏輯。因此，也必須把特征函數(shù)作適當(dāng)?shù)耐貜V，這就是隸屬函數(shù)(x)，它滿足：0(x)1 (2)(1)式也可以記作(x)0，1，一般情形下，其圖形如圖2所示。 共九十八頁(yè)圖2 一般(ybn)情形下的特征函數(shù)圖共九十八頁(yè)可確定U

16、 的一個(gè)模糊(m hu)子集A A (x)稱為A的隸屬函數(shù)，A (xi)稱為元素xi的隸屬度。當(dāng)A (xi)1時(shí)，則xi完全屬于模糊集A，當(dāng)A (xi)0則xi完全不屬于模糊集A 3.3 模糊(m hu)子集的表示共九十八頁(yè)例1 已知論域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，設(shè)A是“比0大得多的所有實(shí)數(shù)”，A就是論域R上的一個(gè)Fuzzy集，且：A：R0，1，xR關(guān)于(guny)A的隸屬度為： 0 x0 A（x）= 1/（1+（100/x2） x0共九十八頁(yè)共九十八頁(yè)共九十八頁(yè)年輕(ninqng)”和“年老”是兩個(gè)模糊概念，可用Fuzzy集來(lái)描述它們。取年齡論城U0，200，設(shè)描述“年輕”和“年老”的這兩個(gè)Fuzzy集分

17、別為Y和O，年齡u屬于Y及O的隸屬度分別為：共九十八頁(yè)Y (23)l，O(80)0.99；這意味著23歲屬于“年輕(ninqng)”的程度為100，80歲屬年老”的程度為99共九十八頁(yè)模糊概念用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是模糊集合。模糊集合的基本思想是把經(jīng)典集合中的絕對(duì)隸屬關(guān)系靈活化，用特征函數(shù)的語(yǔ)言來(lái)講就是；元素對(duì)“集合”的隸屬度不再是局限于取0或1，而是可以(ky)取從0到1。的任一數(shù)值。模糊數(shù)學(xué)的幾個(gè)概念：映射：在兩個(gè)集合X、Y之間，如果有一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每個(gè)元素x，在Y中都有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f是X到Y(jié)的映射。即：對(duì)每個(gè)xX都存在著唯一確定的元素yf(x)Y與之對(duì)應(yīng) 共九十八頁(yè)3.4

18、 隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別(qbi)處理現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型確定性數(shù)學(xué)模型:確定性或固定性,對(duì)象間有必然聯(lián)系.隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象具有或然性或隨機(jī)性模糊性數(shù)學(xué)模型:對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性.隨機(jī)性與模糊性的區(qū)別隨機(jī)性:指事件出現(xiàn)某種結(jié)果的機(jī)會(huì)(j hu).模糊性:指存在于現(xiàn)實(shí)中的不分明現(xiàn)象.模糊數(shù)學(xué):研究模糊現(xiàn)象的定量處理方法.共九十八頁(yè)各種不確定因素可分為兩類： 1、隨機(jī)性特征：關(guān)于對(duì)象在類屬和性態(tài)方面的定義是完全確定的，但對(duì)象出現(xiàn)的條件(tiojin)方面是概率的、不確定的。和必然性相對(duì)。 2、模糊性特征：表征對(duì)象在認(rèn)識(shí)中分辨界限是不確定的，即對(duì)象在類屬、性態(tài)方面的定義是不精確的、不明晰的。和精

19、確性相對(duì)。 客觀事物以事物性態(tài)、類屬邊界為判據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)以事物出現(xiàn)的條件為依據(jù)模糊數(shù)學(xué)確定性必然性精確性隨機(jī)性模糊性不確定性圖3 隨機(jī)性與模糊性的關(guān)系(gun x) 共九十八頁(yè)3.5 確定隸屬函數(shù)(hnsh)的主要方法分布統(tǒng)計(jì)(tngj)求法典型函數(shù)法模糊統(tǒng)計(jì)法求共九十八頁(yè)分布(fnb)統(tǒng)計(jì)求法利用(lyng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)計(jì)算隸屬函數(shù)或隸屬度的步驟： 1、確定集合的因素 2、選擇參與實(shí)驗(yàn)者進(jìn)行試驗(yàn) 3、找出各因素?cái)?shù)據(jù)中的最大值和最小值算出分組組距、計(jì)算數(shù)據(jù)落在各組中的數(shù)，根據(jù)次數(shù)分布情況確定較為適合的隸屬度。共九十八頁(yè)典型(dinxng)函數(shù)方法 根據(jù)問題的性質(zhì)，選用某些典型(dinxng)函數(shù)作為

20、隸屬函數(shù)。 S函數(shù)(偏大型隸屬函數(shù))共九十八頁(yè) Z函數(shù)(偏小型(xioxng)隸屬函數(shù)) Z（u；a, b）=1-S（u；a, b） H函數(shù)（中間型隸屬函數(shù)）典型函數(shù)(hnsh)方法共九十八頁(yè)模糊統(tǒng)計(jì)法求隸屬函數(shù) 模糊統(tǒng)計(jì)法的步驟： （1）確定論域與因素集。 （2）要求參與實(shí)驗(yàn)者就論域中各給出的點(diǎn)是否屬于因素集的各元素進(jìn)行投票。 （3）統(tǒng)計(jì)(tngj)投票結(jié)果，求出隸屬函數(shù)。 模糊統(tǒng)計(jì)(tngj)方法共九十八頁(yè) 例如：設(shè)論域U，選定元素u0U,然后考慮U的一個(gè)運(yùn)動(dòng)著邊界可變的集合A* (實(shí)際上是模糊集合)，如“高個(gè)子”、“美麗”、“高產(chǎn)”等，每一次試驗(yàn)(shyn)可以理解為讓不同觀點(diǎn)的人評(píng)論u

21、0是否屬于“高個(gè)子”、“美麗”、“高產(chǎn)”這樣的集合A*,于是u0屬于A*的隸屬頻率為：n是試驗(yàn)次數(shù)。在實(shí)際中，當(dāng)n足夠大時(shí)，定義u0屬于A*的隸屬度為：共九十八頁(yè)例設(shè)論域U年齡=20，35，50，65，因素A=年青人，老年人，20個(gè)人參與投票(tu pio)，結(jié)果如表所示： UA的次數(shù) uA20355065年青人201620老年人001819表 投票(tu pio)結(jié)果表則有u20對(duì)“年青人”這一概念的隸屬度： 20=20/20=1 u20對(duì)“老年人”這一概念的隸屬度： 20=0/20=0所以，20=1，0。同理可求出年齡論域中各點(diǎn)對(duì)于因素集的隸屬度 35=0.8，0 50=0.1，0.9 6

22、5=0，0.95共九十八頁(yè)3.6 模糊(m hu)集合的截集在一個(gè)模糊集合中，隸屬函數(shù)值大于某一水平值的元素所組成(z chn)的集合，叫做該模糊集的水平集或稱截集，記作A。就是水平值，01，顯然，水平集是普通集合。若寫成一般表達(dá)式，即共九十八頁(yè)關(guān)系(gun x)，描寫事物之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型之一就是關(guān)系(gun x)，常用符號(hào)“X”來(lái)表示。模糊關(guān)系，是普遍關(guān)系的推廣，普通關(guān)系只能描述元素間關(guān)系的有無(wú)，而模糊關(guān)系則描述元素之間關(guān)系的多少。4 模糊關(guān)系(gun x)與模糊矩陣4.1 模糊關(guān)系共九十八頁(yè)例 在醫(yī)學(xué)上常用公式：體重B（公斤）=身高A（厘米）100來(lái)表示標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)體重，這就給出

23、了身高（A）與體重（B）的普通關(guān)系。 若A=140，150，160，170，180 B=40，50，60，70，80身高與體重的普通關(guān)系如表所示： 表 身高(shn o)與體重的普通關(guān)系R(A,B) BiAi40506070801401000015001000160001001700001018000001共九十八頁(yè) 但人的胖瘦不同，對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的情況，身高與體重的關(guān)系應(yīng)該(ynggi)以接近標(biāo)準(zhǔn)的程度來(lái)描述，這就導(dǎo)致產(chǎn)生如表所示的模糊關(guān)系。它能更深刻、更完整地給出身高與體重的對(duì)應(yīng)關(guān)系。R(A,B) BiAi405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600

24、010.80.2170000.810.818000.10.20.81表 身高與體重(tzhng)的模糊關(guān)系共九十八頁(yè)用A表示學(xué)生集合：A=徐X，張X，王X，用B表示語(yǔ)種集合：B=英，日，俄，法。若用成績(jī)除以100折合成隸屬度來(lái)描述掌握外語(yǔ)的程度，則由如表可以構(gòu)造(guzo)出一個(gè)在AB直積空間中存在的模糊關(guān)系 ，用它來(lái)表示小組成員“掌握外語(yǔ)程度”的模糊關(guān)系。英語(yǔ)俄語(yǔ)日語(yǔ)法語(yǔ)徐X0.850.750.700張X0.90000王X0.70000.8表14.10 掌握外語(yǔ)的程度(chngd)例 設(shè)有一組同學(xué)（徐X，張X，王X），他們選修英，日，俄，法四種外語(yǔ)中的任幾門，他們選修和結(jié)業(yè)成績(jī)?nèi)缦拢?徐X

25、英語(yǔ) 85 徐X 日語(yǔ) 70 徐X 俄語(yǔ) 75 張X 英語(yǔ) 90 王X 英語(yǔ) 70 王X 法語(yǔ) 80 共九十八頁(yè)4.2 模糊(m hu)矩陣1、矩陣 矩陣可以用來(lái)表現(xiàn)關(guān)系，如果集合A有m個(gè)元素(yun s)，集合B有n個(gè)元素、我們可以用矩陣R來(lái)表示由集合A到集合B的關(guān)系 r11 r12 r1n R= r21 r22 r2n rm1 rm2 rmn其中rij=0或1，1im，1jn。共九十八頁(yè) 2、模糊(m hu)矩陣 當(dāng)論域AB為有限集時(shí)，模糊關(guān)系可以用矩陣形式來(lái)表示，該矩陣元素rij 僅在閉區(qū)間0，1中取值，即0 rij 1，此矩陣稱為模糊矩陣。 r11 r12 r1n = r21 r22

26、r2n rm1 rm2 rmn其中(qzhng)0rij1，1im，1jn。 模糊矩陣是研究模糊關(guān)系的重要工具，當(dāng)它用來(lái)表示模糊關(guān)系時(shí)，其中rij表示集合A中第i個(gè)元素和集合B中第個(gè)j元素之間的關(guān)聯(lián)程度，例中小組成員外語(yǔ)成員與外語(yǔ)學(xué)科的關(guān)聯(lián)程度可以用如下矩陣形式表示它們之間的模糊關(guān)系。 0.85 0.70 0.70 0 = 0.90 0 0 0 0.70 0 0 0.80共九十八頁(yè)3、模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算設(shè) 和 是AB中模糊關(guān)系：（1） 和 的并： =(rijsij) （2） 和 的交： =(rijsij) （3） 和 的補(bǔ)： R=(1Rij) S=(1Sij) 其中，“”表示rij與sij相比

27、較(bjio)后取較小者 “”表示rij與sij相比較后取較大者 共九十八頁(yè) 5、模糊集的運(yùn)算5.1 模糊子集(z j)基本運(yùn)算的定義補(bǔ)集（A = 1 A）0.6/a + 0.7/b 0.4/a + 0.3/b并集（AB = A B ）0.7/a + 0.3/b 0.4/a + 0.6/b 0.7/a + 0.6/b交集(jioj)（AB = A B ）0.7/a + 0.3/b 0.4/a + 0.6/b 0.4/a + 0.3/b共九十八頁(yè)“又矮又瘦”U = 甲, 乙, 丙, 丁A = “矮子”隸屬(lsh)函數(shù) (0.9, 1, 0.6, 0)B = “瘦子”隸屬函數(shù) (0.8, 0.2

28、, 0.9, 1)找出 C = “又矮又瘦”C = AB = ( 0.90.8 , 10.2 , 0.60.9 , 01 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0)甲和丙比較符合條件共九十八頁(yè)5.2 模糊子集基本運(yùn)算(yn sun)的性質(zhì)等冪律AA = A交換律AB = BA結(jié)合律(AB)C = A(BC)分配律A(BC) =(AB)(BC)德摩根律(AB) = AB.共九十八頁(yè) 多因素評(píng)價(jià)較困難，因?yàn)橐瑫r(shí)綜合考慮的因素很多，而各因素重要程度又不同，使問題變得很復(fù)雜。如用經(jīng)典數(shù)學(xué)方法來(lái)解決綜合評(píng)價(jià)問題，就顯得很困難。而模糊數(shù)學(xué)則為解決模糊綜合評(píng)價(jià)問題提供了理論依據(jù)，從而找到了一種簡(jiǎn)便(j

29、inbin)而有效的評(píng)價(jià)與決策方法。 可通過模糊數(shù)學(xué)提供的方法進(jìn)行運(yùn)算，得出定量的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，從而為正確決策提供依據(jù)。6、模糊綜合(zngh)評(píng)判方法共九十八頁(yè)6、模糊綜合評(píng)判(pngpn)方法 很多時(shí)候，人們不僅要從多種因素考慮，且一般只能用模糊語(yǔ)言描述。如顯示器的舒適性，人員的政治立場(chǎng)堅(jiān)定，某建設(shè)方案的社會(huì)影響等。 評(píng)價(jià)者從諸因素出發(fā)，參照有關(guān)信息，根據(jù)其判斷對(duì)復(fù)雜問題(wnt)分別作出“大、中、小”；“高、中、低”；“優(yōu)、良、可、劣”；“好、較好、一般、較差、差”等程度性的模糊評(píng)價(jià)。 共九十八頁(yè)6、模糊綜合評(píng)判(pngpn)方法6.1 模糊變換 1、模糊向量 對(duì)于一個(gè)(y )有限模糊集

30、合X可以表為： =x1,x2,x3,xn xi是各元素相應(yīng)的隸屬度 (xi)，其中0 xi1 （i=1，2，n）對(duì)于只有一行的模糊矩陣又可以看成模糊向量，如： = x1，x2，x3，. ，xn是一個(gè)模糊向量 2、模糊變換 現(xiàn)有一個(gè)模糊矩陣： = rij，其中0rij1, =Y 稱為模糊變換。共九十八頁(yè)模糊(m hu)變換的結(jié)果為：式中的各分量(fn ling)：模糊變換：Yi= (xkrkj)，(k=1,2,m) =y1，y2，ym例給出 =（0.2，0.5，0.3）， 0.2 0.7 0.1 0 = 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0 =

31、= (0.2，0.5，0.3) 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 =（0.2，0.4，0.5，0.1）共九十八頁(yè)Y1=(0.20.2)(0.50)(0.30.2)=0.200.2=0.2y2=(0.20.7)(0.50.4)(0.30.3)=0.20.40.3=0.4y3=(0.20.1)(0.50.5)(0.30.4)=0.10.50.3=0.5y4=(0.20)(0.50.1)(0.30.1)=00.10.1=0.1 3、歸一化處理(chl)式中 各分量的計(jì)算如下：由于 中各元素之和，即 1 ，為了保證處理后 =1 ，需要進(jìn)行歸一化處理，其方法是取Yi= ，故有：

32、共九十八頁(yè)經(jīng)歸一化后的模糊(m hu)變換結(jié)果為：Yi=0.2/1.2=0.167Yi=0.4/1.2=0.333Yi=0.5/1.2=0.417Yi=0.1/1.2=0.083 = = （0.167，0.333，0.417，0.083）共九十八頁(yè)（1）確定評(píng)價(jià)指標(biāo)集合論域U： U=u1，u2，um（m為指標(biāo)項(xiàng)目數(shù)）（2）確定評(píng)語(yǔ)集合論域V： V=v1，v2，vn（n為評(píng)語(yǔ)等級(jí)數(shù)）（3）確定權(quán)重(qun zhn)分配模糊向量 ： =a1，a2，am（m為指標(biāo)項(xiàng)目數(shù)）（4）進(jìn)行實(shí)際評(píng)判，形成評(píng)判模糊矩陣R： r11 r12 r1n = r21 r22 r2n ： ： ： rm1 rm2 rmn6

33、.2 模糊(m hu)綜合評(píng)判的步驟共九十八頁(yè)（5）進(jìn)行模糊變換： （6）得到歸一化后的模糊變換結(jié)果(ji gu)： （7）根據(jù)最大隸屬度法，對(duì) 做出評(píng)價(jià)判斷。 = ,其中 =b1，b2，bm =b1，b2，bm6.2 模糊綜合(zngh)評(píng)判的步驟共九十八頁(yè)6.3 模糊綜合評(píng)判應(yīng)用實(shí)例之一網(wǎng)絡(luò)課程評(píng)價(jià) 例 我們對(duì)于某學(xué)校的校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)(jinsh)情況進(jìn)行評(píng)判，設(shè)包括三個(gè)因素，即硬件建設(shè)(jinsh)，軟件建設(shè)(jinsh)、人員培訓(xùn)，用論域U表示為： U=硬件建設(shè)（u1），軟件建設(shè)（u2），人員培訓(xùn)（u3） 而評(píng)語(yǔ)論域V表示為： V=很好（v1），較好（v2），可以（v3），不好（v4

34、） 亦即分為四個(gè)等級(jí)，并用百分比或小數(shù)表示?，F(xiàn)邀請(qǐng)一些專門人員進(jìn)行評(píng)價(jià)，若用人數(shù)的百分比來(lái)表示評(píng)價(jià)結(jié)果如表14.13所示； 評(píng)語(yǔ)指標(biāo)很好較好可以不好硬件指標(biāo)50%40%10%0軟件指標(biāo)40%30%20%10%人員指標(biāo)0%10%30%60%表 評(píng)價(jià)(pngji)結(jié)果共九十八頁(yè) 0.2 0.7 0.1 0 表就構(gòu)成模糊矩 = 0 0.4 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1現(xiàn)在假定根據(jù)實(shí)際需要，在對(duì)校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)做出要求時(shí)，主要是硬件建設(shè)（0.5）,其次是人員培訓(xùn)（0.3），對(duì)軟件建設(shè)要求稍低（0.2）。這就構(gòu)成一個(gè)(y )由三個(gè)權(quán)數(shù)分配構(gòu)成的一行模糊向量 ； =（0.5，0.2，0.

35、3）現(xiàn)要做出綜合評(píng)判，必須進(jìn)行模糊變換 = 0.5 0.4 0.1 0 = =（0.5，0.2，0.3） 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.3 0.6 =(0.5，0.4，0.3，0.3)為了明確地顯示綜合評(píng)判的結(jié)果，還需做歸一化處理。歸一化后的模糊變換結(jié)果為： =（0.33，0.27，0.20，0.20）此結(jié)果表示，對(duì)該學(xué)校的校園網(wǎng)一期建設(shè)情況而言，將硬件建設(shè)、軟件建設(shè)、人員培訓(xùn)同時(shí)考慮的結(jié)果，根據(jù)最大隸屬度法，該校園網(wǎng)建設(shè)仍然是“很好”占最大比重（0.33）共九十八頁(yè)某同學(xué)想購(gòu)買一臺(tái)電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)：“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn)行

36、速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；價(jià)格”。于是請(qǐng)同宿舍同學(xué)一起去買電腦。為了(wi le)數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，先令：6.4 模糊綜合評(píng)判應(yīng)用(yngyng)實(shí)例之二電腦評(píng)價(jià)=“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；=“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；=“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；=“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；=“價(jià)格”。稱因素集。共九十八頁(yè)評(píng)語(yǔ)(pngy)集其中(qzhng)=“很受歡迎”；=“較受歡迎”；=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；任選幾臺(tái)電腦，請(qǐng)同學(xué)和購(gòu)買者對(duì)各因素進(jìn)行評(píng)價(jià)。若對(duì)于運(yùn)算功能 有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人認(rèn)為“較受歡

37、迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎” ，沒有人認(rèn)為“不受歡迎”，則 的單因素評(píng)價(jià)向量為共九十八頁(yè)同理，對(duì)存儲(chǔ)容量(cn ch rn lin) ，運(yùn)行速度 ，外設(shè)配置 和價(jià)格分別(fnbi)作出單因素評(píng)價(jià)，得組合成評(píng)判矩陣共九十八頁(yè)據(jù)調(diào)查，近來(lái)用戶對(duì)微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格便宜，而對(duì)運(yùn)算和存儲(chǔ)量則要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配(fnpi)向量：作模糊(m hu)變換：存儲(chǔ)容量 運(yùn)行速度 外設(shè)配置 價(jià)格運(yùn)算功能 共九十八頁(yè)共九十八頁(yè)共九十八頁(yè)若進(jìn)一步將結(jié)果(ji gu)歸一化得：結(jié)果表明，用戶(yngh)對(duì)這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為0.32，“較受歡迎”和“不太受歡迎

38、”的程度為0.27，“不受歡迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結(jié)論是：“很受歡迎”。共九十八頁(yè)8.5 多級(jí)模糊(m hu)綜合評(píng)價(jià)舉例：戰(zhàn)略(zhnl)導(dǎo)彈效能的多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)問題。共九十八頁(yè)8.5 多級(jí)模糊(m hu)綜合評(píng)價(jià)評(píng)語(yǔ)等級(jí)分為(fn wi)5級(jí)：好、較好、一般、較差、差假設(shè)已得到以下中間結(jié)果：可靠性：維修性：安全性：適應(yīng)性：有效性的四個(gè)方面的權(quán)向量為 ：則有效性的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果為 ：共九十八頁(yè)8.5 多級(jí)模糊(m hu)綜合評(píng)價(jià)假設(shè)已得到以下(yxi)中間結(jié)果：威 力：有效性：機(jī)動(dòng)能力：有效性的四個(gè)方面的權(quán)向量為 ：則總體性能的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果為 ： A=(0.2,0.3

39、,0.4,0.1)共九十八頁(yè)1.假設(shè)對(duì)電視機(jī)的評(píng)價(jià)因素U=圖像u1，聲音u2，價(jià)格u3，評(píng)語(yǔ)集合V=很好v1，較好v2，可以(ky)v3，不好v4，現(xiàn)請(qǐng)專家10人對(duì)三種電視機(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)，結(jié)果如下：(1)v1v2v3v4(2)v1v2v3v4(3)v1v2v3v4u1541043211522u2432151224312u3013621340244設(shè)某類顧客主要(zhyo)關(guān)心圖像、價(jià)格，對(duì)音質(zhì)不太關(guān)心，即試對(duì)以上三種電視機(jī)進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)。作業(yè)共九十八頁(yè)9 模糊聚類分析方法 聚類分析是指根據(jù)事物本身的特性，將事物性質(zhì)上的親疏(qn sh)程度進(jìn)行分類的方法。9.1 聚類分析步驟 1、確定樣本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 2、標(biāo)定距離，建立相似關(guān)系矩陣 3、進(jìn)行聚類 共九十八頁(yè)9.2 模糊(m hu)等價(jià)矩陣 通過標(biāo)定距離，可以建立樣本之間的相似關(guān)系矩陣，但模糊關(guān)系必須是模糊等價(jià)關(guān)系才能聚類。1、模糊等價(jià)關(guān)系 模糊等價(jià)關(guān)系的條件是模糊關(guān)系必須同時(shí)(tngsh)具有： （1）自反性 （2）對(duì)稱性 （3）傳遞性2、模糊等價(jià)矩陣聚類的步驟： （1）標(biāo)定距離，建立相似關(guān)系矩陣。 （2）求傳遞閉倉(cāng)。 （3）動(dòng)態(tài)