有限元平面問題5

1、3.用待定系數(shù)法求n階單元形函數(shù)的步驟。A由形函數(shù)N（ n）的性質(zhì)N （n） （ 0= 0（j,I的全部節(jié)點(diǎn)）確定N （n）用面積坐標(biāo)L （或局部坐標(biāo)）表示所包含的因子項(xiàng)。B.寫出用待定系數(shù)和面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)N。C由N （）=1的性質(zhì)（及乙（）的值）確定待定系數(shù)。 i整理并寫出N .的最后表達(dá)式。全部節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)N由對稱輪換性寫出。（注意下標(biāo)次序）六、六節(jié)點(diǎn)三角形單元（二階單元）六節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)和形函數(shù)。我們已經(jīng)構(gòu)造了二階三角單元的形函數(shù)。因此位移函數(shù)可表示為：u = N u + N u + N u + N u + N u + N u - 2N u +N u TOC o 1-5

2、h z i i j j k k 1 12 23 3i i1 1i1v - N v + N v + N v + N v + N v + N v N v +2EN v i i j j k k 1 12 23 3i i1 12二階單元形函數(shù)的討論i1一（.）,（1）2階單元形函數(shù)滿足N（j）= 5 j = j 0（牛） 由N的構(gòu)造保證 （2）2階單元的形函數(shù)滿足 證明：（略去上標(biāo)）（證過）n +1L N1 = N + N + Nk + N1 + N 2 + N 3=L(2L ：1)+ L Gl 1)+ L(2L -1)+ 4L L + 4L L + 4LLi ij jk kj k k ii j=2L

3、 2 L + 2L2 L + 2L2 L + 4L L + 4L L + 4LL(i i j j k k j k、( k i i =2L2 + L2 + L2 + 2L L + 2LL_+ 2LL+ L + L )1/i j k j 丫 k / i jj k=2N + L ) + L + 2L L + L)-L + L + L )/ i j、k f k i j、 i j k=2(L + L + L ) L + L + L )i j ki j kLi + Lj + Lk = 1.& + N = 1i1艮即 N + N + W +、+ N2 + N3 = 1得證。（3）2階單元的形函數(shù)是x,y的2

4、次函數(shù)。顯然，對2階單元而言，形函數(shù)N是面積坐標(biāo)的2次函數(shù)，而面積坐標(biāo)又是x,y的線性函 數(shù)。（4）2階單元函數(shù)的幾何圖形2階單元的形函數(shù)是x,y及面積坐標(biāo)的2次函數(shù)。我們可以用幾何圖形把它們直觀地表 示出來。3.二階單元位移函數(shù)的討論（1）兩種形式位移函數(shù)的等價(jià)性2階單元共6個(gè)節(jié)點(diǎn)，12個(gè)自由度（節(jié)點(diǎn)位移）。股位移函數(shù)u,v分別包含6項(xiàng)：u =以 +以X +以y +以X 2 +以5 xy +以y 2v = P + P x + P y + P x 2 + P xy +P y 2 TOC o 1-5 h z l 123456或由節(jié)點(diǎn)位移表示：u = 5氣 +Z N1u1i1v = nv+nvii

5、11i1對于線性三角形單元，從第一種形式不附加任何條件，我們導(dǎo)出了第二種表達(dá)式。因此， 兩種形式是完全等價(jià)的。（對矩形單元也一樣）對高階單元把N = f（L，中七用L = L G,y）代入可證。（1） 兩種形式位移函數(shù)的等價(jià)性對線性單元其等價(jià)性是顯然的。對二階單元：A：位移函數(shù)有兩種表達(dá)形式B：位移函數(shù)是x,y的二次函數(shù)，在幾何上表示了一個(gè)二次曲面因此，要證明這兩種表達(dá)形式等價(jià)，就必須證明這兩個(gè)二次曲面相等。這可不是一件容 易的事情。除非：u = f G)n解出以n表示為= f u )n u = Nu + Nu 等價(jià)，那iiii i1 1i1么問題就歸結(jié)為求解關(guān)于a,（i = i, j,k,1

6、,2,3）的6階代數(shù)方程組。太困難了。 我們定性說明一下：（我們只討論u）對第一種形式：u = a 1 +a2工 + a3y + a4工2 +a5xy +a6y2為x, y的完全二次式（非完全的n次式我們后面再給大家說一下） 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、氣為待定系數(shù)，且氣完全由2階單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移確定n 由V點(diǎn)位;確定對第二種形式:u = nu + Nuii111、N為面積坐標(biāo)的2次函數(shù)（而乙=（a + bx + c y ） n N為x, y的二次函數(shù)ii 2 A i i i i n u為x, y的完全2次式2、N由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定，而u = nu + Nu n 由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、節(jié)點(diǎn)位移確定 TOC o 1-5

7、 h z ii i1 1Ii1 顯然，兩種位移函數(shù)包含的內(nèi)容及x,y的次數(shù)都是一樣的。因此，既然a為待定的系數(shù)，那么我們總可以吧u = Znu +Nu寫成u = fG,y）ii i1 1i1的完全二次式。再令f G, y）中各項(xiàng)的系數(shù)等于則兩種形式就完全等價(jià)了。（2）位移函數(shù)的收斂性既然兩種形式的位移函數(shù)是等價(jià)的，則我們就可以用這種形式來討論共收斂性:u =a +a x + a y + a x2 +a xy + a y2v = p + p x + p y + p x 2 + p xy + p y 2 123456在討論矩形單元位移函數(shù)收斂性的問題中，我們已經(jīng)指出，只要位移函數(shù)種包含有常數(shù)項(xiàng)和完

8、全的x,y 一次式即解滿足收斂準(zhǔn)則的前2條。顯然，位移函數(shù)中包含：u =a +a x + a y + a x2 +a xy + a y2dxdyP JyJAN p N p T dxdy若體積力為重力Y，則有:p=b,-RT，所以A考慮面積坐標(biāo)：N = L G L - 1), (i = i, j, k )N1 = 4LL, G = 1,2,3; j = j, k, i; k = k, i, j) jj N dxdy =AA A = 03=jj G L2 - LA=2!0!0!=(2 + 0 + 0 + 2)1!0!0!、+ 0 + 0 + 2)2AG = i, j, k)jj N dxdy =

9、jj 4 L L dxdy = 4 x (-_11_)2 A ，AG = 1,2,3)jjN dxdy = y其等效節(jié)點(diǎn)荷載為:i j k 123P e)=- 口 )0|00|0 0|0 1|01|0e 3因此，重力由三個(gè)邊節(jié)點(diǎn)均擔(dān)。(3)面力的移置已知單元某邊界受面力q= ix % 作用；求其等效荷載。P86由面力q)= q q、得：(用分力表示)p = t J In 靜ds = tjb N i Ness ij若q 為梯形分布的面力，則有合力：q = q L + q L用合力表示q則有：N = L(2L 1)= 2L2 - Lp= tJ,Inrqds = J LNbN. in3TqdsG =

10、 i, j, k ).P = t J N qds = t J G L Lq L + q L ds = t J G L q L q + 2 L L q LL qi 、 i、 i i i i j ji i i i i j j i j jN = 4L L(i = 1,2,3; j = j, k, i; k = k, i, j)L 3!0!2!0!)(2!0!11!)(1 1)(1 1)=q 2 s : s + q 2 s s = q s - - + q s -，13 + 0 + 1112 + 0 + 11 )人(2 +1 +11(1 +1 +1) )，2 3) j 6 6)1 =q st6 iJ L

11、 Lp ds =s i j以!P!G + P + 1卜11 故 P = g q st n P = g q.st, P1=q st6討 P = f N qds =Gl2 -L XqL + q Lj s j s j j i i j j 由對稱性)=6 q s 故：P = 6 q st在j上N = 0. PkGqd。同理：P = t f N qds = t f 4 L L qds = 01 f 1 f j kP = t J N qds = t J 4 L L qds = 0s 2k i xP = tJ N qds = tJ 4LL (q L + q Ls 3s 1 j 1 1 j JA r 21!1

12、!2! 一=4僅 51)s P 1!s J故：P = ? (q + q因此得：(與合力q方向一致)? = Pe ids = 4tf & L L + q L2 Liisst ()+ q /jist ,一 q6 ix總荷載為(梯形)：M st = S ( + q )=蟲 + q 122 1 j 61 jqiyqjxqjy0000ix因此：邊節(jié)點(diǎn)3承擔(dān)總荷載的2/3。非ij邊上的節(jié)點(diǎn)不承擔(dān)。若q為三角形分布的 面力。令q,=。（或0.=。），則有，則節(jié)點(diǎn)i承擔(dān)總荷載的1/3，節(jié)點(diǎn)3承知我 0 0 0 0 2q，?擔(dān)2/3，而節(jié)點(diǎn)j不承擔(dān)。對于高階的三角形單元，只要給定荷載。我們總可以把形函數(shù)N及給定

13、的荷載用面積坐 標(biāo)表示。然后再計(jì)算面積坐標(biāo)下的等效節(jié)點(diǎn)荷載 。e34矩形單元族一、無量綱坐標(biāo)系（局部坐標(biāo)系）為了研究高階單元的方便，我們常用一些代換，引入所謂無量綱的坐標(biāo)系（ex:L =二（a + bx + c y）。我們怎樣建立無量綱的坐標(biāo)系呢？i 2 A i i i事實(shí)上，作變量代換：丫 x& =a則x-y坐標(biāo)系下的矩形n & -門坐標(biāo)系下的正方形。P88以后我們對矩形單元族的研究就是在局部坐標(biāo)系& -門下進(jìn)行。矩形單元族的概念與三角形單元族一樣，我們在四節(jié)點(diǎn)矩形單元的基礎(chǔ)上，逐一漸增加單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，形 成了各節(jié)點(diǎn)的巨形單元族。節(jié)點(diǎn)間的間距是相等的。P89 一階矩形單元(線性單元)u =a

14、 +a x + a y + a xyv = P + P x + P y + P xy4| r,、1234二階矩形單元u =以 +以x +以y +以x 2 +以xy +以 y 2 +以x 2 y +以xy 2123456788 個(gè)節(jié)v = P + P x + P y + P x 2 + P xy + P y 2 + P x 2 y + P xy 2點(diǎn)八、u =a +a x + + a x3y + a xy3 v = P + P x + + P x 3 y + P xy 3 121112矩形單元的全體我們稱為矩形單元族。三、n階矩形單元形函數(shù)的確定1.線性單元的形函數(shù)12個(gè)節(jié)點(diǎn)在&-門坐標(biāo)系下，線

15、性單元如圖所示。p89我們?nèi)杂么ㄏ禂?shù)法確定Ni (i = i, j,k,m)設(shè)N =M &)-n)(N (j)= N (k)= N(m)= 0)則由Niiii(i)= 1 得:1 = x ( +1)1 +1)=4(1 -Q1 -n)三角形單元LiLk對稱矩形單元&對稱。設(shè)N = X (1+。(-n)， 則由 Nj (j )=1 得：1=x j G+1)1+1)/.Xj同理，設(shè):=:G g)G+r()N =X G + )C+r|) k kN =人(1 &)G+r|)mm線性單元的形函數(shù)為:N =-G-g)(-門)i 4Nj 4N = -G + )(+r|) k 4N = -G-)(+r|)、m

16、 4N G = i, j, k, m)苗足:N(J)=5jii并N =1iN +N +N +N =項(xiàng)&)(-q)+G 頊+門)+(1 + 頊+門)+。+ 頊_門) i i k mA.N./xv1- 1_1C xY /1 + 1 41 1人( rV1 + -1 + 土4( 1人xY=1 4。人b)b)* zjy A1+蘭b)nNy.)用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示令：&=三，則有: a b用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示:便于編程便于記憶N = 1 G-&）1 -門）iNjNkNm4=1G+&）（-門）4n n =1G+冥）（+偵）=1G+頊+n）=4G+頊+門）i 4 i i 400=4 G&）（+n）& =冥0i門=門與在&

17、-門坐標(biāo)系直接推導(dǎo)的結(jié)果一致。因此，一般人們?yōu)榱朔奖闫鹨?，在無量綱坐標(biāo)x y系下建立形函數(shù)n用& =一,叩=號代入變換到有量綱的局部坐標(biāo)系n坐標(biāo)系移到結(jié)構(gòu)坐 a b標(biāo)系下。故對稱矩形單元族我們都用& -門的無量綱坐標(biāo)系來研究。2.二階矩形單元的形函數(shù)為了提高矩形低鈉鹽的精度，我們可以用高階的矩形單元。二階矩形單元如圖表示，它有8個(gè)節(jié)點(diǎn)：i ,j,k,m,l,2,3,4p91取無量綱坐標(biāo)系如圖所示（&-n）。我們?nèi)杂么ㄏ禂?shù)法來推導(dǎo)它的形函數(shù)。先求n,由N（2）的5性質(zhì)，我們可以設(shè)：iNG）= G-E）1 -門）-1-E-門）T （節(jié)點(diǎn)1-4的直線方程為：-&-門-1 = 0i& =門=-1,

18、N（2） = 1.1=人 G+1）1+1）-1+1+1）在節(jié)點(diǎn)i:-人=1. i 4故：N（2） =1G一&）1 一門）-1一&一門）i4一般地，我們把包含若干個(gè)節(jié)點(diǎn)的直線方程寫成f&,n）= o的形式，則nj中必包含f G ,月）項(xiàng)。求 N G）。包含節(jié)點(diǎn)k,3,m的直線方程為：1 -門=0包含節(jié)點(diǎn)m,4,i的直線方程為：1 + & =0包含節(jié)點(diǎn)2,1的直線方程為：-1 + &-門二0,-設(shè)泌)=人 6 + &)(一門) -r| -1)在節(jié)點(diǎn)j上： 1; & =1； T = 1.1=人 G+i)(+i)(+i-i)j人=1J 4泌)=人 6 + &)(一門) -r| -1)j i同理有：NS

19、)”i)i 4*)=J 4*) =+門) +r| -1)j 4N6 = LG _ g)(+r|)Cg+r|_l)I j 4同理可用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示為：N2)= ： G + &)(+r|r|)&+r|r|1)(i = i,j,k,m) i 4 ii i i對節(jié)點(diǎn)1,求N如顯然，設(shè)：必)二人G-&)(-門)(+ &) 1 1 1節(jié)點(diǎn)上：NG)= 1；& =0；門二一1 1.1=人 G-o)(+i)(+o) 1:.X =11 2.必) 里 J5+&)1同理，我們可以寫出:NS ） = 1（1 我 + &）J） i 2* ） = 1（1 + &）（ +危-n） 22N（2 ） = 1（1 我 + &）（

20、+n） 32N（2 ）= 2 G 我疝 +GN（2）= 1C 一&2 j 門） i 2n（2 ） = 1（-n 2 +&）22n（2 ） = 1（-&2 +n） 32ng） = 1 （-n 2 X-&） TOC o 1-5 h z 42用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示為：n G）= L（& 2 X+nn）G = 1，3） 12iN G）= L（-n 2 X + &）（2 = 2,4）22i再令0 平,G = i, j,k, m,1,2,3,4）In =n n0ing ） =1 +ni）1 +n*+&* = i, j, k, m）則* TOC o 1-5 h z N（2 ）= X-&2 X+n ）G = 1,3）

21、 12oN（2） = 1 （-n 2 X + & ）,（2 = 2,4）220這就是8節(jié)點(diǎn)矩形單元的8個(gè)形函數(shù)。有了單元的形函數(shù)，則單元的位移就可寫成：u = &u. +尤 Nui1v = Nv+&vii11& 加川蒐線性變換，而川）與x（y）也是線性關(guān)系。因次，& G）Wx（y加是線性關(guān)系。 0000用類似的方法，我們可以確定出n階矩形單元的形函數(shù)。形函數(shù)確定后，便可直接寫出 單元的位移函數(shù)。但是，還有一個(gè)問題不知大家是否注意到。四、矩形單元族位移函數(shù)的討論作為一個(gè)例子，我們進(jìn)一步考察一下二階矩形單元的形函數(shù)和位移函數(shù)的關(guān)系。對于三 角形單元族：線性單元：3個(gè)節(jié)點(diǎn)n位移函數(shù)3項(xiàng)n完全一次式P

22、94二階單元：6個(gè)節(jié)點(diǎn)n位移函數(shù)6項(xiàng)n完全二次式三階單元：10個(gè)節(jié)點(diǎn)n位移函數(shù)io項(xiàng)n完全三次式n階單一的位移函數(shù)為完全n次式Ex：二階單元：u =氣 +a2x + a3y + a4xy + a5y2或u = Nu 圣Nui i1 1i1N = L (2 L 1) (i = i, j, k)N1 = 4 LL, G = 1,2,3)L =(a + b x + c y)i 2 A i i i顯然：由L G = i, j,k為x,y的完全一次式n N.、N為x,y的完全二次式。因此，我們前面已經(jīng)定性地說明了等價(jià)性u = fOo u = nu +Nu。對于矩形單元族， ii i1 1i1情況就不一樣

23、了，我們以二階矩形單元族為例說明一下:二階矩形單元有8個(gè)節(jié)點(diǎn)。由Pascal 三角形我們知道，x,y的完全二次式有8項(xiàng)，完全3次式有10項(xiàng)。因此，二階單元的位移 函數(shù)既不是一個(gè)x,y的完全2次式，也不是x,y的完全3次式。（對一階矩形單元一樣）因此，我們就不能像三角形單元族那樣直接選擇完全n次式作為ie位移函數(shù)。ex：u =氣 +a2x + a3y + a4x2 +a5xy + a6y2 （對二階三角形單元） 對二階矩形單元，其位移函數(shù)可表示為：u =&u +&ui1V = &v +&vi1那么它對應(yīng)著以下哪種選擇呢?u =以 +以x +以y +以x 2 +以xy +以y 2 +以x 3 +以y 3 TOC o 1-5 h z 12345678v = P + P x + P y + P x 2 + P xy +P y2 + P x3 + P y3 123456