1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用

1、3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用1.數(shù)據(jù)的表示方法(1)變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.(2)用圖表列出的兩個分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.(3)與表格相比,圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響,常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.【做一做1】 由如圖所示的等高條形圖,可知吸煙與患肺病關(guān)系.(填“有”或“沒有”)解析:從題中等高條形圖上可以明顯地看出,吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率,所以吸煙與患肺病有關(guān)系.答案:有2.獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.(2)一般地,假設(shè)有兩個分類變

2、量X和Y,它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)如下:(3)考察兩個變量X,Y是否有關(guān)系,并且能較準確地給出這種判斷的可信度,具體做法是:根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界,然后查下表確定臨界值k0.根據(jù)22列聯(lián)表,利用公式 如果kk0,就推斷“X與Y有關(guān)系”,這種推斷犯錯誤的概率不超過;否則,就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.【做一做2】 在一個22列聯(lián)表中,由其數(shù)據(jù)計算得K2=13.097,認為兩個變量有關(guān)系犯錯誤的概率不超過 ()A.0

3、.001B.0.05C.0.1D.0.2答案:A思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1)吸煙人群是否與性別有關(guān)系,用獨立性檢驗可解決. ()(2)想要判斷喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān),應該假設(shè)H0:喜歡參加體育活動與性別有關(guān). ()(3)一般地,在等高條形圖中, 相差越大,兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大. ()(4)計算K2的值,如果K2的值很大,說明假設(shè)很合理,K2越大,兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大. ()(5)獨立性檢驗的方法和數(shù)學上的反證法是一樣的. ()(6)若通過22列聯(lián)表求出樣本恰好滿足ad=bc,則說明兩個分類變量相關(guān)性很強. ()

4、探究一探究二思維辨析利用圖形與分類變量間的關(guān)系作出分析【例1】 某學校對高三學生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn):在平時的模擬考試中,性格內(nèi)向的426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的594人中有213人在考前心情緊張,作出等高條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系?解:作列聯(lián)表如下: ad-bc=332381-21394=106 470.ad-bc比較大,說明考前心情緊張與性格類型有關(guān)系.探究一探究二思維辨析圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向占的比例,從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高,可以認為考前心情緊張與性格類型

5、有關(guān)系.探究一探究二思維辨析2.在等高條形圖中展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征,比較圖中兩個深色條的高可以發(fā)現(xiàn)兩者頻率不一樣而得出結(jié)論,這種直觀判斷的不足之處在于不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率.探究一探究二思維辨析變式訓練1網(wǎng)絡(luò)對現(xiàn)代人的生活影響較大,尤其是對青少年,為了解網(wǎng)絡(luò)對中學生學習成績的影響,某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機抽取了1 000人進行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人期末考試不及格.利用圖形判斷學生經(jīng)常上網(wǎng)與學習成績是否有關(guān)系?解:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表: 探究一探究二思維辨析得出等高

6、條形圖如圖所示. 比較圖中深色條的高可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率,因此可以認為經(jīng)常上網(wǎng)與學習成績有關(guān)系.探究一探究二思維辨析獨立性檢驗與應用【例2】 為調(diào)查某地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:(1)估計在該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例.(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?思路分析:(1)先求出老年人需要幫助的共有多少人,再求比值;(2)先利用公式計算出K2,再進行判斷.探究一探究二思維辨析解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需

7、要志愿者提供幫助,因此在該地區(qū)的老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計值為(2)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測值為 因為9.9676.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).反思感悟解決一般的獨立性檢驗問題,首先應確定22列聯(lián)表及a,b,c,d,n的值,然后代入公式求得K2的觀測值k,最后得出結(jié)論.探究一探究二思維辨析變式訓練2某校高三年級在一次全年級的大型考試中,數(shù)學成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學生中,物理、化學、總分成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示,能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀有關(guān)系?注:該年級在

8、此次考試中數(shù)學成績優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.探究一探究二思維辨析解:列出數(shù)學成績與物理成績的22列聯(lián)表如下: 探究一探究二思維辨析列出數(shù)學成績與化學成績的22列聯(lián)表如下: 探究一探究二思維辨析列出數(shù)學成績與總分成績的22列聯(lián)表如下: 由上面的分析知,在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與物理、化學、總分成績優(yōu)秀都有關(guān)系.探究一探究二思維辨析因?qū)Κ毩⑿詸z驗的基本思想不理解而致錯【典例】 已知兩個分類變量X和Y的取值分別為x1,x2,y1,y2,若其列聯(lián)表為則()A.X與Y之間有關(guān)系的概率為0.001B.X與Y之間有關(guān)系的概率為0.999C.認為X與Y有關(guān)系,犯錯誤的

9、概率為0.999D.認為X與Y有關(guān)系,犯錯誤的概率不超過0.001探究一探究二思維辨析易錯分析:獨立性檢驗的基本思想是指某件事發(fā)生在犯錯概率不超過某個非常小的數(shù)據(jù)的前提下,我們有把握認為有關(guān).理解有誤會致誤.解析:K2的觀測值為 查表知P(K210.828)=0.001,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,我們認為X與Y有關(guān).答案:D糾錯心得1.在求K2的過程中,弄混a,b,c,d而致錯或者因運算量大而致錯.2.沒有理解好獨立性檢驗的基本思想而致錯.探究一探究二思維辨析跟蹤訓練兩個分類變量X與Y的取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)分別是a=10,b=21,c+d=35,若認為

10、“X與Y有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過0.05,則c等于()A.4B.5C.6D.7解析:22列聯(lián)表如下: 故把選項A,B,C,D代入驗證可得選A.答案:A1 2 3 4 51.下列關(guān)于等高條形圖的敘述正確的是()A.從等高條形圖中可以精確地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系B.從等高條形圖中可以看出兩個變量頻數(shù)的相對大小C.從等高條形圖中可以粗略地看出兩個分類變量是否有關(guān)系D.以上說法都不對解析:在等高條形圖中僅能粗略判斷兩個分類變量的關(guān)系,故A錯,C對.在等高條形圖中僅能夠找出頻率,無法找出頻數(shù),故B錯.答案:C1 2 3 4 52.用等高條形圖粗略估計兩個分類變量是否相關(guān).觀察下列各圖,其中兩個分類

11、變量相關(guān)關(guān)系最強的是()1 2 3 4 5答案:D 1 2 3 4 53.對于分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k,以下說法正確的是()A.k越大,“X與Y有關(guān)系”可信程度越小B.k越小,“X與Y有關(guān)系”可信程度越小C.k越接近于0,“X與Y無關(guān)”可信程度越小D.k越大,“X與Y無關(guān)”可信程度越大解析:k越大,說明“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大,反之越小.答案:B1 2 3 4 54.某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中,隨機抽取了100名電視觀眾,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示:由表中數(shù)據(jù)直觀分析,收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān):.(填“是”或“否”)1 2 3 4 5解析:因為在20至40歲