3.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、3.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(1)1、實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路. 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域. 在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.3、求最大（最小）值應(yīng)用題的一般方法(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。(2)確定函數(shù)定

2、義域，并求出極值點(diǎn)。(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小， 結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)。2、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來(lái)。首先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再解。6060解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x cm， 箱子容積為V=x2 h例1 在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高xxV =60 x3x/2令V =0，得x=40, x=0(舍去)得V (40)=16000答：當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為x=40時(shí),箱子容

3、積最大，最大值為16000cm3 在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù) f ( x )在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)x0 使f (x0)=0,而且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道函數(shù)在 這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)比較， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)hR例2. 要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)鐵桶的容積為定值V，怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才能使材料最??？此時(shí)高與底面半徑比為多少？解:設(shè)桶底面半徑為R,因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值。答：當(dāng)罐高與底的直徑想等時(shí)，所用材料最省。例3.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式

4、為 求產(chǎn)量q為何值時(shí),利潤(rùn)L最大。分析:利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).求得唯一的極值點(diǎn)因?yàn)長(zhǎng)只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最大值.答:產(chǎn)量為84時(shí),利潤(rùn)L最大.xy練習(xí)1: 如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所 圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這 個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0 x2), 則 A(x, 4x-x2).從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令 ,得所以當(dāng) 時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為 時(shí),矩形的最大面積是2、 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比。已知在速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)是6元/h。而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為96元/h。問(wèn)以何種速度航行時(shí)。能使行駛每公里的費(fèi)用總和最少？例4如圖，扇形AOB中，半徑0A=1，AOB=900，在OA的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)C作CD與弧AB相切于點(diǎn)E，且與過(guò)點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，直角梯形O