3.4導數(shù)在實際生活中的應用

1、3.4導數(shù)在實際生活中的應用(1)1、實際問題中的應用. 在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會遇到求函數(shù)的最大(小)值的問題.建立目標函數(shù),然后利用導數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路. 在建立目標函數(shù)時,一定要注意確定函數(shù)的定義域. 在實際問題中,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使 的情形,如果函數(shù)在這個點有極大(小)值,那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.3、求最大（最?。┲祽妙}的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。(2)確定函數(shù)定

2、義域，并求出極值點。(3)比較各極值與定義域端點函數(shù)的大小， 結(jié)合實際，確定最值或最值點。2、實際應用問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學模式反映出來。首先，通過審題，認識問題的背景，抽象出問題的實質(zhì)。其次，建立相應的數(shù)學模型, 將應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,再解。6060解:設(shè)箱底邊長為x cm， 箱子容積為V=x2 h例1 在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高xxV =60 x3x/2令V =0，得x=40, x=0(舍去)得V (40)=16000答：當箱底邊長為x=40時,箱子容

3、積最大，最大值為16000cm3 在實際問題中，如果函數(shù) f ( x )在某區(qū)間內(nèi)只有一個x0 使f (x0)=0,而且從實際問題本身又可以知道函數(shù)在 這點有極大(小)值，那么不與端點比較， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)hR例2. 要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積為定值V，怎樣設(shè)計桶的底面半徑才能使材料最??？此時高與底面半徑比為多少？解:設(shè)桶底面半徑為R,因為S(R)只有一個極值,所以它是最小值。答：當罐高與底的直徑想等時，所用材料最省。例3.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式

4、為 求產(chǎn)量q為何值時,利潤L最大。分析:利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式,再用導數(shù)求最大利潤.求得唯一的極值點因為L只有一個極值點,所以它是最大值.答:產(chǎn)量為84時,利潤L最大.xy練習1: 如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所 圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這 個矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0 x2), 則 A(x, 4x-x2).從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令 ,得所以當 時,因此當點B為 時,矩形的最大面積是2、 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比。已知在速度為10km/h時，燃料費是6元/h。而其他與速度無關(guān)的費用為96元/h。問以何種速度航行時。能使行駛每公里的費用總和最少？例4如圖，扇形AOB中，半徑0A=1，AOB=900，在OA的延長線上有一動點C，過C作CD與弧AB相切于點E，且與過點B所作的OB的垂線交于點D，當點C在什么位置時，直角梯形O