高等數(shù)學(xué)第六章課件

1、第六章 定積分及其應(yīng)用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 定積分的計算第三節(jié) 反常積分第四節(jié) 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)曲邊梯形的面積 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 一、定積分問題舉例觀察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時, 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? 怎樣求曲邊梯形的面積？求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxi=xi-xi1;

2、 小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxDx1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為 (3)求和: 曲邊梯形的面積近似為 ;變速直線運(yùn)動的路程 已知物體直線運(yùn)動的速度vv(t)是時間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計算物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)取近似: 物體在時間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物體在時間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為 (3)求和: (4)取極限: 記maxD

3、t1, Dt2, Dtn, 物體所經(jīng)過的路程為 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點(diǎn)xi (i1, 2, n), 作和maxDx1, Dx2,Dxn; 記Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在區(qū)間a, b內(nèi)任取分點(diǎn): 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界. 若當(dāng)0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和xi的取法無關(guān), 則此極限稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為 即 二、定積分定義定積分各部分的名稱 積分符號, f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達(dá)式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積

4、分區(qū)間， 積分和. 函數(shù)的可積性 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定積分的定義 3)一般地, f(x)在a, b上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線xa、xb之間的各部分面積的代數(shù)和. 1）當(dāng)f(x)0時, 定積分 在幾何上表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與y=0 所圍成的封閉圖形的面積. 2）當(dāng)f(x)0時, 定積分 在幾何上表示曲邊梯形

5、面積的負(fù)值. 三、定積分的幾何意義性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5 如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則 badxxf0)(ab). 四、定積分的性質(zhì)推論1 若在a b上 f (x)g(x) 則 推論2 性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 則在積分區(qū)間a b上至少存在一個點(diǎn)x 使下式成立 性質(zhì)7(定積分中值定理) 積分中值公式 第二節(jié) 定積分的計算一、積分上限函數(shù)及原函數(shù)存在定理二、牛頓萊布尼茨公式三、定積分的換元法四、定積分的分部積分法一、積分上限函數(shù)及原函數(shù)存在定理二、牛頓萊布尼茨公式證:根據(jù)定理 1,故因此得記

6、作定理2函數(shù) ,則三、定積分的換元法四、定積分的分部積分法第三節(jié) 反常積分一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分一、無窮限的反常積分 定義 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)取 ，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù) 在無窮區(qū)間 上的反常積分記作 ，即此時也稱反常積分 存在或收斂；如果極限不存在，就稱反常積分 不存在或發(fā)散。 類似的，可以定義 在區(qū)間 及 上的廣義積分。 注 廣義積分 收斂的充分必要條件是上式右端的兩個廣義積分都收斂，若兩個積分之一發(fā)散，則左端的廣義積分發(fā)散。 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，而 取 ，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的廣義積分。記作 即二、無界函數(shù)的反常積分此時也稱廣義積分 存在或收斂；如果極限不存在，就稱廣義積分 不存在或發(fā)散。 類似的，可以定義 在區(qū)間 及 上的廣義積分。第四節(jié) 定積分的應(yīng)用一、定積分的微元法二、定積分在幾何上的應(yīng)用三、定積分在物理上的應(yīng)用一、定積分的微元法用定積分概念解決實(shí)際問題的三個步驟： 二、定積分在幾何上的應(yīng)用（一）平面圖形的面積（二）體積（三）平