高等數(shù)學第五章-課件(2)

1、高 等 數(shù) 學 第五章定積分及其應用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本定理第三節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法第四節(jié)廣義積分第五節(jié)定積分的應用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分問題舉例一例51 求曲邊梯形的面積。曲邊梯形：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上非負、連續(xù)。由曲線y=f(x)及直線x=a、x=b、x軸所圍成的平面圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊。如圖5-1所示。由于曲邊梯形的高度f(x)在區(qū)間a,b上是變動的,故不能利用矩形面積公式直接計算.為了計算曲邊梯形的面積,我們采用如下做法。如圖5-2所示。第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)圖51圖52第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)為方便起見,我

2、們也用A1,A2,A3,An表示相應小曲邊梯形的面積。在每個小區(qū)間xI1,xi上任取一點i,并以f(i)為高、xi1,xi為底作一小矩形,則有Aif(i)(xixi1)。由于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),當分割非常細時,在每個小區(qū)間上f(x)的值變化不大,從而可用這些小矩形的面積近似代替相應小曲邊梯形的面積,即Aif(i)(xixi1)(i=1,2,n).第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)求曲邊梯形面積的這種方法概括起來就是“分割、近似、求和、取極限”的過程。由于曲邊梯形的面積是一個客觀存在的常量,所以上述極限值與對區(qū)間a,b的分割方法以及點i的取法無關(guān)。第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié) 定積分的概

3、念與性質(zhì)定積分的概念二定義51 設(shè)f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入n1個分點a=x0 x1x2xn1xn=b把區(qū)間a,b分割成n個小區(qū)間x0,x1,x1,x2, xn1,xn各小區(qū)間的長度依次為x1=x1x0,x2=x2x1,xn=xnxn1第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)可積條件三對于定積分有這樣一個重要的問題：函數(shù)f(x)在a,b上滿足什么條件時,f(x)在a,b上一定可積？這個問題我們不做深入討論,只給出以下幾個定理。定理51 (必要條件) 若函數(shù)f(x)在a,b上可積,則f(x)在a,b上有界。定理52 (充分條件) 若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x

4、)在a,b上可積。定理53 若函數(shù)f(x)在a,b上具有有限個第一類間斷點,則f(x)在a,b上可積。第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的幾何意義四第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)圖53圖54圖55第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的性質(zhì)五第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)4表明無論點c是區(qū)間a,b的內(nèi)分點還是外分點,這一性質(zhì)均成立。這個性質(zhì)只用幾何圖形加以說明。若c是內(nèi)分點,由圖56可以看出,曲邊梯形AabB的面積等于曲邊梯形AacC的面積加曲邊梯形CcbB的面積；若c是外分點,由圖57可以看出,曲邊梯形AabB的面積等于曲邊梯形AacC的面積減去曲邊梯形BbcC的面積。第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)圖56圖

5、57第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)這個性質(zhì)的幾何意義是由曲線y=f(x)及直線x=a、x=b、x軸所圍成的曲邊梯形的面積等于區(qū)間a,b上某個矩形的面積,其中矩形的底是區(qū)間a,b,高為區(qū)間a,b內(nèi)某一點處的函數(shù)值f()（如圖58所示）。圖58第二節(jié) 微積分基本定理變上限定積分一第二節(jié) 微積分基本定理第二節(jié) 微積分基本定理牛頓萊布尼茨公式二第二節(jié) 微積分基本定理這個公式進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系。其幾何意義表示圖59中陰影部分所示的面積。圖59第二節(jié) 微積分基本定理第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法換元積分法一定理56 若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),又函數(shù)x=(t

6、)滿足下列條件：(1)()=a,()=b,且a(t)b,(t)；(2)(t)在,上具有連續(xù)導數(shù)上述公式稱為定積分換元公式.在應用換元公式x=(t)時要特別注意：用變換把原來的積分變量x換為新變量t時,原積分限也要相應換成新變量t的積分限,也就是說,換元的同時也要換限。換元時原上限對應新上限,原下限對應新下限。第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法定理57的幾何意義表明了一個具有普遍意義的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上定積分為零(如圖510所示)；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上定積分為其一半?yún)^(qū)間上的兩倍(如圖511所示)。第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法圖510 圖511第三節(jié) 定積分的

7、換元積分法與分部積分法分部積分法二第三節(jié) 定積分的換元積分法與分部積分法第四節(jié) 廣 義 積 分無限區(qū)間上的廣義積分一第四節(jié) 廣 義 積 分為了簡便起見,我們一般仿照正常積分的牛頓萊布尼茨公式的表達形式,將廣義積分形式地寫為該式中只要將積分上限理解為極限過程即可。圖512中介于曲線y=f(x)、直線x=a以及x軸之間的一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域的面積。圖512第四節(jié) 廣 義 積 分第四節(jié) 廣 義 積 分無界函數(shù)的廣義積分二第四節(jié) 廣 義 積 分第五節(jié) 定積分的應用定積分的微元法一定積分的應用問題中,一般總可按“分割、近似求和、取極限”三個步驟來進行,最終把所求的量表示為定積分的形式。在應用學科中

8、廣泛采用的方法是將所求量U（總量）表示為定積分的方法,即微元法,這個方法的主要步驟如下：(1)由分割寫出微元。根據(jù)具體問題選取一個積分變量,如選x為積分變量,并確定它的變化區(qū)間a,b,任取a,b的一個子區(qū)間x,x+dx(稱為區(qū)間微元),求出對應于這個區(qū)間微元上部分量U的近似值,即求 UdU=f(x)dx第五節(jié) 定積分的應用平面圖形的面積二設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),求由連續(xù)曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,x軸所圍成的平面圖形面積A(ab),如圖513和圖514所示。第五節(jié) 定積分的應用圖513 圖514第五節(jié) 定積分的應用例523 求由曲線y=x3與直線x=1,x=2及x軸所圍

9、成的平面圖形的面積(如圖515所示)。圖515第五節(jié) 定積分的應用下面討論由連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)和直線x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積的求法(ab),如圖516所示。同理可知,若曲線x=(y),x=(y)在區(qū)間c,d上連續(xù),如果選擇y為積分變量,則由曲線x=(y),x=(y)與直線x=c,x=d所圍成的平面圖形(如圖517所示)的面積。第五節(jié) 定積分的應用圖516 圖517第五節(jié) 定積分的應用例524 計算由拋物線y=x2及x=y2所圍成的平面圖形的面積。解 作出圖形，如圖518所示。求出曲線y=x2和曲線x=y2的交點坐標為(0,0),(1,1) 圖518第五節(jié) 定積分的應

10、用例525 求由拋物線4y2=x與直線所圍成的面積。解 作出圖形,如圖519所示。若選y為積分變量,則所求面積不需要分塊,計算也將變得簡單,如圖520所示。第五節(jié) 定積分的應用圖519圖520第五節(jié) 定積分的應用旋轉(zhuǎn)體的體積三一個平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體,該直線稱為旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸。例如,圓柱、圓錐和球體可以依次看成由矩形、直角三角形和半圓繞相應的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體?，F(xiàn)在求由連續(xù)曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,x軸所圍成的曲邊梯形,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,如圖521所示。類似地,可以得到由連續(xù)曲線x=(y)及直線y=c,y=d,y軸所圍成的曲邊梯形,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,如圖522所示。第五節(jié) 定積分的應用圖521圖522第五節(jié) 定積分的應用事實上,公式(57)中的被積表達式f(x)2dx就是過積分區(qū)間a,b上任一點x處所作垂直于x軸的旋轉(zhuǎn)體的一橫截面面積,這就是說,若已知旋轉(zhuǎn)體的一橫截面(垂直