理論力學(xué)——剛體力學(xué)非線性系統(tǒng)

1、理論力學(xué)（三）剛體力學(xué)，非線性系統(tǒng)2011.11剛體的概念和性質(zhì)剛體是一種質(zhì)點系，其中所有質(zhì)點的相對位置一直保持不變。剛體不發(fā)生任何形變。固體的物體受力時，如果形變較小，可以近似地視為剛體。剛體有形狀，有大小，有質(zhì)量分布。我們研究宏觀世界的物體運動時，如果物體的大小不能忽略，用質(zhì)點模型就不夠全面，這時可以使用剛體模型。剛體的自由度在三維空間中運動的剛體，其自由度為6。平動自由度3。決定了剛體上的一點的位置。轉(zhuǎn)動自由度3。其中，2個自由度決定剛體上的某根軸線的方向，剩下的1個自由度決定剛體繞此軸旋轉(zhuǎn)的角度。決定剛體上的一點的坐標(biāo)需要3個自由度。決定剛體上的另一點又需要2個自由度（3個自由度，減去

2、這兩點之間的距離固定的約束條件）。決定第三個點還需要1個自由度（3個自由度，減去它與前這兩點之間的距離固定的2個約束條件）。再增加點自由度不增。一共還是6個自由度。剛體的本體坐標(biāo)本體坐標(biāo)系是固定在剛體上的坐標(biāo)系。它是隨剛體一起運動的。剛體上的任意一點在本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值恒定不變。空間坐標(biāo)是我們所在的實驗室慣性系的坐標(biāo)（可視為“靜止”坐標(biāo)）。要表示一個剛體的狀態(tài)，首先要用三個空間坐標(biāo)表示本體坐標(biāo)系的原點位置，此外還要能表征本體坐標(biāo)的坐標(biāo)軸方向。剛體的運動方式平動。剛體上任何一點都有相同的速度（和加速度）。本體坐標(biāo)方向保持不變?？梢杂脛傮w上的一點的運動表征整個剛體的運動。自由度為3（3個平動自由

3、度）。定軸轉(zhuǎn)動。剛體圍繞一個固定的軸作轉(zhuǎn)動。自由度為1。平面運動。剛體每個質(zhì)點的運動都限制在一個平面內(nèi)，限制不同質(zhì)點的平面彼此平行。自由度為3（2個平動自由度，1個轉(zhuǎn)動自由度）。定點轉(zhuǎn)動。剛體轉(zhuǎn)動時，其上某一點固定。（3個轉(zhuǎn)動自由度）一般運動。自由度為6（3個平動，3個轉(zhuǎn)動）歐拉定理定理：具有一個固定點的剛體的任意位移等效于繞該定點的某一軸線的轉(zhuǎn)動。如果能尋找到軸線和旋轉(zhuǎn)的角度，使原始位置的剛體經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)就能到達(dá)指定位置，則歐拉定理即獲得證明。實際上，由于原點不動，只需要本體坐標(biāo)的x軸單位向量和y軸單位向量到達(dá)目標(biāo)位，剛體整個就到達(dá)目標(biāo)位。歐拉定理的證明確定旋轉(zhuǎn)軸是xx的垂直平分面與yy的垂

4、直平分面的交線。軸上任意一點到x和x等距，同時到y(tǒng)和y也等距。圖中黑的球面三角與紅的球面三角全等。因此當(dāng)x轉(zhuǎn)到x時，y也同時轉(zhuǎn)到y(tǒng)。因此，剛體通過一次旋轉(zhuǎn)，到達(dá)了指定位置。這樣，描述原點固定的剛體的狀態(tài)就等價于描述一次轉(zhuǎn)動。第24次課設(shè)e為轉(zhuǎn)軸的方向向量。剛體上的任意一點的位置 r 在三個方向上分解：平行方向：垂直方向：速度切向：在繞 e 軸旋轉(zhuǎn)一定角度q之后，新位置為：轉(zhuǎn)動后剛體上某一點的新位置ero也可以用4元數(shù)來表示轉(zhuǎn)動。4元數(shù)是具有實部及3個虛數(shù)單位(i, j, k) 虛部的4元復(fù)數(shù)，表示為：其中虛數(shù)自身的乘積都是-1，可代表三維空間的三個相互垂直的方向。不同虛數(shù)相互的乘積（這里用 *

5、 表示）滿足矢量叉乘的規(guī)則：轉(zhuǎn)動的4元數(shù)描述4元數(shù)可以進(jìn)行加減乘運算。由于矢量叉乘規(guī)則，因此4元數(shù)的乘法也同樣不滿足交換律。但結(jié)合律和分配律都是滿足的，可進(jìn)行一般的代數(shù)運算。將4元數(shù)q寫為純數(shù)n和矢量v兩部分，運算結(jié)果為：四元數(shù)的運算規(guī)則轉(zhuǎn)動可以用一個歸一化的4元數(shù)來表示。對比可知得到的是角度為2q的旋轉(zhuǎn)。四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)兩次旋轉(zhuǎn)連續(xù)進(jìn)行可以復(fù)合為一次連續(xù)多次的旋轉(zhuǎn)最后都能用一次旋轉(zhuǎn)替代，這與歐拉定理是一致的。4元數(shù)用了4個分量表示一次旋轉(zhuǎn)，而旋轉(zhuǎn)的自由度為3，用矢量部分就能表示。冗余的1個量對應(yīng)于加入了模為1的歸一化條件的約束條件。用4元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)的方法廣泛應(yīng)用于計算機(jī)的3維繪圖等方面。旋轉(zhuǎn)的

6、復(fù)合以z軸為轉(zhuǎn)軸，進(jìn)行一次轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動q之后剛體上任意一點的空間坐標(biāo)變?yōu)樽儞Q矩陣為同樣我們可以獲得繞x軸或繞y軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。剛體旋轉(zhuǎn)的矩陣表示旋轉(zhuǎn)時坐標(biāo)的矩陣變換用e表示任意矢量e的空間坐標(biāo)排成的列。本體坐標(biāo)系從原始位置轉(zhuǎn)動到當(dāng)前位置，其3個軸的單位基矢量為ex，ey，ez。把3個單位基矢量的空間坐標(biāo)排為3列，構(gòu)成矩陣3x3的矩陣R = ex ey ez 。則矩陣R是旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。此矩陣的各列是歸一的且彼此正交（單位基矢量性質(zhì)）。因 RTR=I，故|R|不為0，有逆矩陣存在，右乘R-1得RT=R-1。此矩陣的逆矩陣是自身的轉(zhuǎn)置。剛體上本體坐標(biāo)為(x,y,z)的任意一點當(dāng)前空間位置為r =

7、xex + yey + zez = Rr 這給出旋轉(zhuǎn)前后剛體上任一點（在原坐標(biāo)系中的）坐標(biāo)的變換。歐拉定理的矩陣證明由于R是單位基矢量為ex，ey，ez的空間坐標(biāo)排為3列構(gòu)成，因此（基矢量下標(biāo)加0是指旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)）： ex0，ey0，ez0 R = ex，ey，ez 這給出了旋轉(zhuǎn)前后單位基矢量的變換。剛體從初始位置，不管經(jīng)過多少次定點旋轉(zhuǎn)，最終位置與初始位置之間的變換矩陣R可通過單位基矢量的坐標(biāo)排列得到。若存在轉(zhuǎn)軸X，它在旋轉(zhuǎn)變換R作用下不變，即說明可以通過一次旋轉(zhuǎn)從初始位置轉(zhuǎn)到最終位置。 因初始時的|R|=1，需舍棄負(fù)根。第25次課轉(zhuǎn)動自由度為3，可以用3個角度來表示剛體的轉(zhuǎn)動。首先，沿z軸

8、旋轉(zhuǎn)j角。然后沿x軸旋轉(zhuǎn)q角。最后沿著z軸旋轉(zhuǎn)y角。前兩次旋轉(zhuǎn)確定了z軸的指向，如同地球球面上的點用經(jīng)緯度確定，這兩個參量確定了z軸單位向量。歐拉角其中，角 j 稱為進(jìn)動角，角 q 稱為章動角，角 j 稱為自轉(zhuǎn)角。歐拉角經(jīng)過三次沿坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動之后剛體上任意一點的空間坐標(biāo)變?yōu)椋╡右肩標(biāo)是歐拉角旋轉(zhuǎn)的順序）或反過來從空間坐標(biāo)求本體坐標(biāo)：歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示因此歐拉角旋轉(zhuǎn)的矩陣表示旋轉(zhuǎn)的次序是不可交換的，例如同樣是做以x為軸轉(zhuǎn)90，再以y為軸轉(zhuǎn)90，z軸的方向指向-y，但如果次序相反，則z軸最終指向x，可見結(jié)果不同。同樣，如果旋轉(zhuǎn)用4元數(shù)表示，這意味著4元數(shù)相乘不滿足交換率。如果旋轉(zhuǎn)用矩陣表示

9、，這等價于矩陣相乘也不滿足交換率。有限角旋轉(zhuǎn)的不可交換性yxyxzz但無限小角度的旋轉(zhuǎn)次序是可交換的。分析一下4元數(shù)相乘，不滿足交換率的項是叉乘項當(dāng)轉(zhuǎn)動角是一階無窮小的2dq時候，q=1+edq，兩次連續(xù)進(jìn)行時，叉乘項是二階小量，可被忽略。因此，無窮小角度旋轉(zhuǎn)是可交換的，且能表示為轉(zhuǎn)軸方向的大小為dq的矢量，并滿足合成法則。無窮小角度旋轉(zhuǎn)的可交換性無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量edq表示，剛體上任意一點的位移為定義轉(zhuǎn)動的角速度矢量為因此，剛體上任意一點的速度為；旋轉(zhuǎn)的角速度及剛體點速度無限小角度的旋轉(zhuǎn)可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。對于歐拉角隨時間變化產(chǎn)生的角速度為：歐拉角角速度的矩陣變換同樣

10、，也可以直接計算：角速度使得4元數(shù)隨時間產(chǎn)生變化：其中，w0是空間坐標(biāo)的4元數(shù)矢量，而w是本體坐標(biāo)的角速度4元數(shù)矢量。角速度引起的歐拉角和4元數(shù)變化第26次課作業(yè)：4.1，4.3，4.4，4.5旋轉(zhuǎn)的角加速度定義為剛體上任意一點的速度為因此，剛體上任意點的加速度由角加速度和向心（軸）加速度引起。旋轉(zhuǎn)的角加速度及剛體點加速度本體坐標(biāo)原點O移動時剛體上任意一點P的速度為：若以剛體上另一點O為本體坐標(biāo)系原點則又有因為P點的任意性，可知 w = w，即角速度與本體坐標(biāo)的原點選擇無關(guān)。一般運動時剛體點的速度剛體做一般運動時，本體坐標(biāo)中有一點C的速度為0：這一點我們叫它轉(zhuǎn)動瞬心。若以這一點為本體坐標(biāo)系的原

11、點，剛體在這一瞬間圍繞這點做純轉(zhuǎn)動。這時剛體上的任意一點P的速度為而過C點且沿著 w 方向軸線上，各點速度都為0，我們稱這個軸線為轉(zhuǎn)動瞬軸。轉(zhuǎn)動瞬心和瞬軸轉(zhuǎn)動瞬心可以直接求解：利用剛體上任意兩點P、Q的速度方向均分別與CP、CQ垂直的性質(zhì)，可以做垂線獲得交點，即為瞬心C點。利用滾動接觸點找轉(zhuǎn)動瞬心。當(dāng)剛體與空間靜止的物體接觸并在其上做純滾動時，接觸點即為轉(zhuǎn)動瞬心。轉(zhuǎn)動瞬心的尋找各個時刻的轉(zhuǎn)動瞬心在空間坐標(biāo)中留下的軌跡稱為空間極跡。極跡，類似南北極點留下的軌跡。由于不同時刻有不同的點成為轉(zhuǎn)動瞬心，轉(zhuǎn)動瞬心在本體坐標(biāo)系中也留下了軌跡，稱為本體極跡。剛體的轉(zhuǎn)動可以看作是本體極跡在空間極跡軌道上做純滾

12、動的過程?？臻g極跡和本體極跡將剛體看成質(zhì)點系，其動量為（帶撇為質(zhì)心系）：即剛體的總動量等價于全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點的動量。而剛體的角動量為：剛體的角動量等效于質(zhì)心的質(zhì)點的角動量，以及圍繞質(zhì)心的角動量 L 兩部分。剛體的動量和角動量質(zhì)心系中圍繞質(zhì)心的角動量 L 可表示為：這里定義了慣量張量（其中I是單位張量）：慣量張量這里寫為并矢形式，它也有矩陣形式。剛體的角動量和慣量張量角動量 L 寫成矩陣的表達(dá)式可知慣量張量的矩陣表達(dá)為（離散和連續(xù)情況）：角動量和慣量張量的矩陣表示剛體的動能為：也可表示為等效質(zhì)心質(zhì)點的動能和圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動能兩部分。剛體的動能慣量張量是對稱的矩陣。在本體坐標(biāo)系中計算慣量張

13、量，其分量保持不變。慣量張量給出了剛體的力學(xué)性質(zhì)，用于計算角動量和動能十分便利。慣量張量對角項總為正（0），稱為相應(yīng)的軸的轉(zhuǎn)動慣量，非對角項稱為慣量積，對于對稱情況，慣量積為0。由于動能的非負(fù)性質(zhì)，慣量張量也是非負(fù)的二次型矩陣。特別地，當(dāng)慣量張量只有對角項不為0時，3個對角項都必須是非負(fù)的。慣量張量的一些性質(zhì)一般情況下，角動量 L 的方向并不與角速度 w方向平行。只在特殊情況下兩者平行：滿足這種條件的軸的方向稱為主軸方向，這個條件也等價于求方程的非零解，因此，要求線性方程組的系數(shù)行列式為0：行列式為0的條件得到了關(guān)于 l 的一元三次方程，有3個解，都是非負(fù)的實數(shù)：慣量張量的主軸同時，l 也是慣

14、量張量矩陣的本征值，非0解 w 的方向向量即為該本征值對應(yīng)的本征向量。由于慣量張量是對稱的，不同的本征值對應(yīng)的本征向量彼此垂直：相同的本征值時（重根），它們的本征向量的線性組合也是本征向量，可在它們線性組合構(gòu)成的平面內(nèi)找到兩個相垂直的本征向量。慣量張量的本征值和本征向量以3個相互垂直的本征向量方向為軸向建立本體直角坐標(biāo)系，即本征向量坐標(biāo)系，此時有同樣處理另外兩個方向，可得慣量張量為對角陣本征向量坐標(biāo)系中的慣量張量一般情況下，本體坐標(biāo)系并非本征向量坐標(biāo)系，但可以通過一次旋轉(zhuǎn)，從本征向量坐標(biāo)系（不帶撇）變換到一般的本體坐標(biāo)系（帶撇）。旋轉(zhuǎn)矩陣R為歸一化的3個本征列向量并排排列得到。旋轉(zhuǎn)矩陣R滿足正

15、交歸一的條件，其逆矩陣即為自身的轉(zhuǎn)置。本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換慣量張量的對角項是轉(zhuǎn)動慣量，特別是取本征向量坐標(biāo)系時，慣量張量只有對角項的轉(zhuǎn)動慣量不為零。當(dāng)質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上時，有平行軸定理均勻?qū)ΨQ簡單幾何體的轉(zhuǎn)動慣量為這里 Lx Ly 是物體在x和y方向的尺度。N是與幾何體形狀有關(guān)的正整數(shù)（方3，圓4，球5）。轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的計算長方體a*b*c圓柱體pa2*H橢球體4pa*b*c/3球殼4p(a3-b3)/3第27次課作業(yè)：4.2，4.6，4.8，4.9定義任意方向的轉(zhuǎn)動慣量 I 使得剛體繞該方向軸線轉(zhuǎn)動時，動能為轉(zhuǎn)動慣量 I 與方向有關(guān)，當(dāng)然與角速度大小無關(guān)。沿軸線方向截取長度為 的點，當(dāng)方向變

16、動時，該點的軌跡就是一個橢球面：這即為慣量橢球。慣量橢球利用主軸方向的3個主轉(zhuǎn)動慣量，可方便地構(gòu)建慣量橢球。對于任意方向，從慣量橢球面到中心的距離 d，可得到轉(zhuǎn)動慣量 I=d-2 從而可計算動能T=I w2/2。角動量的方向就是橢球面的法線方向。事實上，沿著橢球面法線方向即為橢球方程左端的梯度方向：慣量橢球是較“圓”的橢球，因為每個主轉(zhuǎn)動慣量都不大于其他兩個主轉(zhuǎn)動慣量之和（由定義可證），因而橢球的3個軸相差不大。慣量橢球的應(yīng)用求均質(zhì)圓錐體的慣量張量，原點在底面圓心。舉例均質(zhì)立方體頂點位于原點且三個邊分別位于三個坐標(biāo)軸上，邊長為a。求慣量張量并做對角化。舉例牛頓矢量力學(xué)對剛體定點旋轉(zhuǎn)問題的處理。

17、在本體坐標(biāo)系中：歐拉動力學(xué)方程拉格朗日方程處理剛體定點旋轉(zhuǎn)問題，結(jié)果不變。以拉格朗日法求方程由角速度的歐拉角表達(dá)式得求 w 對 y 偏導(dǎo)時，y 增加對本體坐標(biāo)系中的矢量是反向旋轉(zhuǎn)，而求力矩時在空間坐標(biāo)系中，是正向旋轉(zhuǎn)。依對稱性同樣可得x和y方向的動力學(xué)方程。拉格朗日法得到歐拉動力學(xué)方程四元數(shù)處理剛體定點旋轉(zhuǎn)問題，結(jié)果不變。四元數(shù)的動力矩方程定點轉(zhuǎn)動的剛體不受外力矩（或合外力矩為0），稱為自由剛體。由于總力矩為0，因而角動量守恒。又約束轉(zhuǎn)動時沒有力矩做功，剛體的動能守恒。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，角動量的本體坐標(biāo)分量會不斷變化，但它的大小不會變化。因此有兩個守恒量：當(dāng)然也可以直接積分得到這兩個守恒量。力矩方

18、程分別點乘w積分，或者點乘（I1wx，I2wy，I3wz）積分即可。自由轉(zhuǎn)動的剛體從中解出以wz表示的wx，wy：可以解析求解，得到關(guān)于第一類不完全橢圓積分的特殊函數(shù)，由于數(shù)學(xué)上繁瑣就不再詳解和討論。自由轉(zhuǎn)動的剛體求解以本體坐標(biāo)系中的慣量橢球代表剛體，轉(zhuǎn)動角速度w與慣量橢球交點Q處，有固定的切平面。這是因為切面的法線方向即為守恒的角動量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同時，原點O到切平面的距離也固定：而Q點也是轉(zhuǎn)動瞬心，因此，轉(zhuǎn)動的空間極跡在此固定平面內(nèi)，本體極跡在慣量橢球上。慣量橢球在平面上做（原點O固定的）純滾動。自由轉(zhuǎn)動剛體的幾何圖示可以看出，如果有兩個主轉(zhuǎn)動慣量相同，慣量橢球就是軸對

19、稱的，其空間極跡就是一個圓，轉(zhuǎn)軸OQ繞著角動量L的方向勻速轉(zhuǎn)動，可以解析求解。如果慣量橢球不是軸對稱的，空間極跡的曲線就會比較復(fù)雜，不易求解。自由轉(zhuǎn)動剛體的極跡QLO作業(yè)：4.10，4.12，4.14，4.15第28次課自由轉(zhuǎn)動的剛體，如果主轉(zhuǎn)動慣量中有兩個相同，稱為對稱歐拉陀螺。它的慣量橢球是軸對稱的，設(shè) I1=I2，因此：在本體坐標(biāo)系中，角速度矢量其大小不變，并圍繞 z 軸做角頻率為W的勻速轉(zhuǎn)動。對稱歐拉陀螺在空間坐標(biāo)系中， 也是常數(shù)，與 z 軸即L的夾角也是常數(shù)，為 cos-1(wz/w)。通過計算本體坐標(biāo)系z軸上的點的速度，可以計算該軸的回旋角頻率。對稱歐拉陀螺的極跡ww進(jìn)一步求解對稱

20、歐拉陀螺的歐拉角結(jié)果無章動，有進(jìn)動。地球可看作對稱歐拉陀螺，其南北軸線半徑短于赤道面的半徑，因而南北軸的轉(zhuǎn)動慣量較大，比例為(I3-I1)/I1=1/306，而wz為1天對應(yīng)的角頻率。故進(jìn)動周期約300天。但實際為420天。這是由于地球非剛體、非軸對稱和非自由不受外力矩等所致。對稱歐拉陀螺的運動設(shè)想一個沿主軸做定點旋轉(zhuǎn)的剛體，不妨設(shè)沿x軸，即 w=wex，受到微小擾動而變化。此時：由于wy，wz 都是小量，乘積為二階小量可忽略?？傻脀x為常量，而wy，wz 是以角頻率做簡諧振蕩或增長和衰減，決定于 n2 的正負(fù)。歐拉陀螺轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性若歐拉陀螺是對稱的，設(shè) I1=I2，此時對于z軸的轉(zhuǎn)動顯然是穩(wěn)

21、定的。而對于開始是x軸的轉(zhuǎn)動，可得wy 將是線性增加的，因而總是不穩(wěn)定的。有時，物體并非理想剛體，其內(nèi)部的耗散作用使得動能不斷降低，但內(nèi)力作用并不改變角動量，角動量依然守恒。對此，可作如下處理：對稱歐拉陀螺轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性考慮耗散使動能減小。若 I1 I3（相當(dāng)于勻質(zhì)物體z軸方向尺度大于其他兩個方向尺度），動能減小則q角增加，這時旋轉(zhuǎn)軸逐漸遠(yuǎn)離z軸，因而繞z軸轉(zhuǎn)動是不穩(wěn)定的。對稱歐拉陀螺轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性拉格朗日陀螺是在重力場中的對稱陀螺，繞固定點轉(zhuǎn)動。此時拉格朗日函數(shù)為：其中，y ，j 和時間 t 都沒有出現(xiàn)。這樣，就有3個運動積分。對應(yīng)守恒的廣義動量：拉格朗日陀螺反解可得：守恒的廣義能量積分為：這相

22、當(dāng)于以q 為廣義坐標(biāo)的質(zhì)量為I1的質(zhì)點在有效勢中Veff中運動：拉格朗日陀螺的有效勢如圖所示，若能量為E，則q 在q1與q2之間的勢阱中運動，動能和勢能相互轉(zhuǎn)化。進(jìn)動速度是否能為負(fù)，決定了運動的3種形態(tài)。拉格朗日陀螺運動的圖示VeffEq1q2p作業(yè)：4.16，4.17，4.18，4.20第29次課對于高速回轉(zhuǎn)情況，當(dāng)q 變小使進(jìn)動速度為0之時，若q 繼續(xù)變小有效勢會迅速增大達(dá)到總能量，q 迅速達(dá)到極小值q1 。因而此時，章動速度很小，以致可以視為0?？焖倮窭嗜胀勇莞咚倩剞D(zhuǎn)情況，也可近似認(rèn)為q 不變，進(jìn)動速度均勻且遠(yuǎn)小于自轉(zhuǎn)速度。角動量以自轉(zhuǎn)角動量為主。重力矩與角動量垂直，因而它使角動量回旋

23、而不改變其大小。此時，可估算進(jìn)動速度?？焖倮窭嗜胀勇萁平釲zmgM子彈高速旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性。子彈射出之時，由于槍膛里的來復(fù)線的作用，向前的同時也有高速的旋轉(zhuǎn)。此時，空氣阻力產(chǎn)生力矩，使子彈頭方向偏離正前方。但由于高速旋轉(zhuǎn)時的穩(wěn)定性，力矩的作用僅使轉(zhuǎn)軸方向產(chǎn)生進(jìn)動，彈頭依然基本保持向前的方向?；剞D(zhuǎn)力矩。若要使高速旋轉(zhuǎn)的剛體轉(zhuǎn)向，需要在轉(zhuǎn)軸上施加很大的力矩。如螺旋槳飛機(jī)轉(zhuǎn)向，螺旋槳軸受到的力矩為 ，遠(yuǎn)大于靜態(tài)時所受的力矩。這在設(shè)計時要注意?；剞D(zhuǎn)羅盤。利用高速旋轉(zhuǎn)剛體的特點，用于導(dǎo)航?？焖倮窭嗜胀勇莸膽?yīng)用將定軸設(shè)為空間坐標(biāo)系的 z 軸。剛體的定軸轉(zhuǎn)動整理得特別當(dāng) y=0 或I1=I2時，空間坐標(biāo)系

24、中所受力矩為剛體的定軸轉(zhuǎn)動所受力矩將定軸設(shè)為空間坐標(biāo)系的z軸。對于 y=0 的剛體，空間坐標(biāo)系解剛體的定軸轉(zhuǎn)動均勻圓盤轉(zhuǎn)軸安裝偏離盤面法線方向1，圓盤質(zhì)量20kg，半徑0.2m，距離軸兩端都是0.5m，轉(zhuǎn)速12000r/min求軸上所受動反作用力。剛體的定軸轉(zhuǎn)動例題剛體的運動可分解為平動和轉(zhuǎn)動的疊加。處理平動，剛體可用質(zhì)點模型；處理轉(zhuǎn)動，剛體做定點轉(zhuǎn)動。剛體的轉(zhuǎn)動常用歐拉角描述。有限角度轉(zhuǎn)動不是矢量，而無限小角度轉(zhuǎn)動是矢量，符合交換率和矢量合成法則。因此，轉(zhuǎn)動時能合成唯一的角速度矢量w，且剛體上任意點的速度表示為剛體轉(zhuǎn)動時，本體極跡在空間極跡上做純滾動。使用剛體的慣量張量和轉(zhuǎn)動角速度w就能描述

25、剛體的角動量和能量。剛體的具體形狀、質(zhì)量分布等都是通過慣量張量影響它的動力學(xué)行為。剛體力學(xué)總結(jié)每個剛體都存在三個相互垂直的主軸方向，以此三個方向建立的本體直角坐標(biāo)系中，剛體的慣量張量矩陣是對角線型的，且數(shù)值不變。剛體的動力學(xué)方程，即外力矩等于角動量的變化，從中可以解出角速度w隨時間的變化。自由定點轉(zhuǎn)動的剛體，角動量守恒，角速度w絕對值不變，繞角動量方向作勻速進(jìn)動。對稱剛體在重力場中的定點轉(zhuǎn)動時，其章動角的變化如同限制在有效勢阱中的質(zhì)點運動。高速旋轉(zhuǎn)時，剛體的運動具有穩(wěn)定性。定軸旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)軸若與慣量主軸不平行，轉(zhuǎn)軸將產(chǎn)生較大的動反作用力矩。剛體力學(xué)總結(jié)（續(xù)）作業(yè)：4.19，4.21，4.22，4

26、.23第30次課牛頓力學(xué)處理經(jīng)典力學(xué)問題相當(dāng)成功，以至于歷史上人們認(rèn)為，當(dāng)初始條件一旦給定，用牛頓力學(xué)就可以精確計算出以后力學(xué)體系的變化。相對論打破了牛頓的絕對時空觀，但相對論本質(zhì)上仍然是確定性的。量子力學(xué)的結(jié)果有著隨機(jī)性，但幾率分布是確定的。但即使是確定性的系統(tǒng)，如果具有非線性性質(zhì)，初始條件的任何微小變化都可能使結(jié)果產(chǎn)生巨大的差別。這種決定性的方程給出看似隨機(jī)的結(jié)果的現(xiàn)象，稱為混沌（Chaos）。在線性系統(tǒng)中，初始條件的微小變化只能使結(jié)果也產(chǎn)生微小變化，混沌是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象。非線性系統(tǒng)和混沌1961年冬的一天，美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家愛德華洛侖茲在計算機(jī)上模擬天氣情況，他的真空管計算

27、機(jī)速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡化后的洛侖茲氣象模型為洛侖茲方程的結(jié)果在相空間 中形成“奇怪吸引子”。http:/website/archives/lorenz_attactor洛侖茲方程為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指望重復(fù)出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復(fù)后，計算機(jī)卻偏離了上次的結(jié)果。初始值微小的變化，可能引起一段時間之后的結(jié)果產(chǎn)生巨大的變化。這種特性，即著名的蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：0.506127 = 0.506小振幅的單擺，方程有確定的解析解。對于一般受迫情況，相圖上出現(xiàn)周期吸引子或極限環(huán)。單擺系統(tǒng)（線

28、性）簡諧振蕩：閉合圈-周期環(huán)阻尼振蕩：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點-不動點吸引子 受迫振動：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈-周期吸引子或極限環(huán)大振幅情況下有阻尼時（左）和無阻尼時（右）的相圖，及相圖上的橢圓點、雙曲奇點（鞍點）、分界線。單擺相圖周期變量的柱形相圖相圖橫坐標(biāo)q是以2p為周期的，擺角p是單擺的同一個倒立位置，把相圖上G點與G點重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。對于大振幅的阻尼單擺，仍然有橢圓積分的解析解。但對于一般受迫情況，無解析解，相圖上出現(xiàn)混沌。受迫阻尼單擺可寫為自治系統(tǒng)：自治系統(tǒng)的動力學(xué)方程不顯含時間 t 的。一個自治系統(tǒng)在其相空間上的

29、相軌線不會相交，即通過每一相點的軌線是唯一的，而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。受迫阻尼單擺（非線性）若沿f方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截面上只有一個交點，即相軌線一次性的穿過每一個截面。因 f = Wt = 2np，若以2p 為周長，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為龐加勒截面。龐加勒截面圖相軌線在龐加勒截面上的交點的集合就稱為龐加勒截面圖。通過分析相軌線在龐加勒截面上的交點的分布規(guī)律，就可了解到在長時間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律。單周期振動，每隔2p運動狀態(tài)復(fù)原，即相軌線每次都從同一點穿過龐加勒截面，在龐加勒截面圖上只有一個不動點(a)；倍周

30、期的運動，龐加勒截面圖上有兩個不動點(b)；運動無周期性，則龐加勒截面圖上有無窮多個點(c)。龐加勒截面圖的應(yīng)用(a)(b)(c)隨著驅(qū)動力增加，單擺的龐加勒截面上周期增加。周期數(shù)增加(a)雙周期(b)四周期(c)混沌隨著驅(qū)動力增加，單擺運動的周期數(shù)成倍增加，最后出現(xiàn)混沌。在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運動，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。如繼續(xù)增大驅(qū)動力 ，則出現(xiàn)一個三倍周期的運動-周期三窗口。再增大驅(qū)動力時，系統(tǒng)又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)?；煦缗c周期性交替出現(xiàn)三周期的運動隨著外加的受迫力增大，系統(tǒng)由單周期，變?yōu)槎吨芷诘倪\動，即出現(xiàn)了倍周期分岔。最后出現(xiàn)混沌。處于混沌狀態(tài)時，系統(tǒng)的行為對于初值十分敏感，稱這一

31、特性為混沌的初值敏感性-蝴蝶效應(yīng)。即相軌道(運動狀態(tài))完全不可預(yù)測?；煦缦到y(tǒng)的吸引子圖(a)中兩條曲線的運動完全各異，但它們的龐加勒截面圖(c)和(d)卻又是完全相同的。混沌的相軌線在龐加勒截面上的這種點集稱為混沌吸引子?；煦缧袨榫哂袠O為敏感的初值依賴性，相軌道(運動狀態(tài))完全不可預(yù)測。貌似隨機(jī)的混沌運動，其長期的演化行為遵從確定的規(guī)律-混沌運動的內(nèi)在規(guī)律性。混沌吸引子是非線性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿。代表混沌行為的全局特征混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則。這是混沌運動區(qū)別于真實隨機(jī)運動的重要標(biāo)志。在混沌狀態(tài)中又復(fù)現(xiàn)的周期性運動。而真正的隨機(jī)運動中，不可能出現(xiàn)這種情

32、況?；煦缗c隨機(jī)性對于自治的動力學(xué)系統(tǒng)的方程一般可以寫為在相空間的軌跡一般沒有交點。但也有例外，即在一些不動點或平衡點P處，其速度為0，有：從而相軌線失去前進(jìn)的方向，即平衡點處可以出現(xiàn)軌線相交的現(xiàn)象。因而這些平衡點也成為奇點。在平衡點附近，相軌線的走向為動力學(xué)系統(tǒng)的平衡點雅可比矩陣為平衡點的類型由雅可比矩陣的本征值決定。對于雅可比矩陣的每一個本征值li，對應(yīng)一個本征向量Xi定義新的坐標(biāo)平衡點附近的走向平衡點附近，對于雅可比矩陣的每一個本征值li及對應(yīng)一個本征向量Xi，該本征向量隨時間的變化因子為exp(lit)。本征值是正實數(shù)，則相軌跡沿著本征向量方向遠(yuǎn)離平衡點；反之，若為負(fù)實數(shù)，則向平衡點靠攏

33、。若出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)的本征值，相軌跡在這對共軛向量決定的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，并依實部的正負(fù)決定是遠(yuǎn)離還是靠近平衡點。以二維相空間為例，有橢圓點（本征值為純虛數(shù)），鞍點（兩本征值符號相反），焦點（共軛復(fù)數(shù)，實部為負(fù)時是穩(wěn)定的，為正就不穩(wěn)定），穩(wěn)定結(jié)點（兩個正本證值），不穩(wěn)定結(jié)點（兩個負(fù)本征值）。平衡點的類型對于二維相空間，從平衡點的雅可比矩陣，求本征值，得到一元二次方程：平衡點的類型分為：中心點。Rel=0鞍點。l10，l20穩(wěn)定結(jié)點。l10，l20，l20穩(wěn)定焦點。Rel0二維相空間平衡點的類型p2=4ql10l20l20共軛Rel0pql10l2x+a/2b）和比例變換，兩者本質(zhì)相同。蟲口模型平方項帶來

34、了最簡單的非線性項。遞推關(guān)系本來等價于微分方程的速度用時間差分表示：但Dt-0時，每次 x 的變動不趨向于0，數(shù)值差分的不穩(wěn)定造成和微分方程的解不同的結(jié)果。遞推關(guān)系取為在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個演化過程。如下圖所示。蟲口模型的倍周期分岔倍周期分岔序列： 1-2-4-8-.2n-.每次分岔開始的m變化很有規(guī)律：當(dāng)n-時，則意味著系統(tǒng)已進(jìn)入混沌狀態(tài)。右圖方框內(nèi)是周期窗口。在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運動。窗口中包含著與整體完全相似的結(jié)構(gòu)。從倍周期分岔到混沌123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。任何局部的小區(qū)域都包含著整體的

35、信息，具有與整體完全相似的規(guī)律。在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為自相似性。在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周期分岔，再進(jìn)入混沌狀態(tài)的整個演化過程。如下圖所示。從拓?fù)淇臻g上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分?jǐn)?shù)維的，也就是具有分形的性質(zhì)。混沌帶的合并 -從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：自相似結(jié)構(gòu)若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參數(shù)m記為mn，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個常數(shù)費根鮑姆常數(shù)：注意：常數(shù)d并不只限于單擺公式，而是對所有同一類的變換，所得的d值都精確地相同。 d的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個系統(tǒng)的其他具體

36、細(xì)節(jié)無關(guān)。它反映出混沌演化過程中所存在的一種普適性，是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個側(cè)面反映。普適的費根鮑姆常數(shù)對初值敏感的系統(tǒng)，初值有個偏差D0，則導(dǎo)致迭代之后差別為D1=f (x0)D0，迭代n次之后差別為Dn=f (n)(x0)D0=f (x0) f (x1) . f(n)(xn-1)D0因此Dn隨著n大致呈指數(shù)增長?？啥x李雅普諾夫指數(shù)l為對數(shù)情況下的增長系數(shù)，即 Dn = elt D0顯然，可計算l如下右圖是拋物線變換 的李雅普諾夫指數(shù)李雅普諾夫指數(shù)在二十世紀(jì)七十年代，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標(biāo)度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。分維才是海岸線的確切特征量，海岸線的分維均介于1到2之間。分形和分維分形具有自相似結(jié)構(gòu)的特點。可以使用簡單結(jié)構(gòu)通過自相似嵌套，形成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。自然界中的樹木、海岸線、山峰、布朗運動、湍流等都可以看作是分形。分形具有標(biāo)度不變形的特點。如果標(biāo)度為L的分形結(jié)構(gòu)體積是V，則有其中，D是分形的維數(shù)。對于簡單的幾何體，維數(shù)是整數(shù)，對于分形，其維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)。分形的自相似結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)維下圖