最優(yōu)蜘蛛網結構

1、第五屆“認證杯”數(shù)學中I數(shù)學建模網絡挑戰(zhàn)賽承諾書我們仔細閱讀了第五屆“認證杯數(shù)學中國數(shù)學建模網絡挑戰(zhàn)賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正 文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反 競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們允許數(shù)學中國網站（）公布論文，以供網友之間學習交流， 數(shù)學中國網

2、站以非商業(yè)目的的論文交流不需要提前取得我們的同意。我們的參賽隊號為：1739參賽隊員：隊員1：隊員2：隊員3：參賽隊教練員：參賽隊伍組別：第五屆“認證杯”數(shù)學中I數(shù)學建模網絡挑戰(zhàn)賽編號專用頁參賽隊伍的參賽隊號：# 1739競賽統(tǒng)一編號（由競賽組委會送至評委團前編號）：競賽評閱編號（由競賽評委團評閱前進行編號）：2012年第五屆“認證杯”數(shù)學中國數(shù)學建模網絡挑戰(zhàn)賽題 目 蜘蛛網最優(yōu)模型關鍵詞 蜘蛛網 螺旋線 層次分析法 能量守恒摘要：世界上有很多種類的蜘蛛，而大部分種類的蜘蛛都是通過結網來捕食食物的。 蜘蛛網的結構主要受外因和內因的影響，本文研究并建立合理的數(shù)學模型，確定 出了蜘蛛網的最優(yōu)結構，

3、得出結果與實際情況基本相符。首先，蜘蛛織網是由一根絲完成整個工作，為了構造合理的網狀，設蜘蛛只有 材料L，已知L的情況下易知圓的面積最大，即捕食面的面積最大值，得到最大 圓面積為Smax= ：2rdr，其中di為捕絲間距。其次，由以上可以確定S面積只與有關，根據(jù)相關生物學家的資料查得影響 蜘蛛網捕絲間距的因素，主要有風、濕度、空間、溫度、食物狀況等。再運用層 次分析的方法計算出各個因素對di的權重，從而計算出捕絲的間距。然而，以上 并沒有計算出放射絲的間距。因此本文再利用能量守恒的關系 1m 2 _ _ 1kVx22* 一 P 一 2 X即假設食物的最大垂直速度與質量已知，求解與該蜘蛛絲 所受

4、的最大彈性形變Vx。隨后在做合理的假設與計算，就可以得到最大的放射 絲間距La。最后，針對蜘蛛網本身的的螺旋問題，使用極坐標建立基本模型P= di+ ri，其中9變化則其放射絲的半徑變化，由此模擬出捕絲的的螺旋線圖形。蜘蛛網的 最外的邊框（框絲、停泊絲）根據(jù)各個外點對整個平面圖根據(jù)空間的具體關系可 以得出，但是要保證整個蜘蛛網為平面狀，那么邊框至少為五邊形。參賽密碼（由組委會填寫）參賽隊號1739所選題目A題The best structure of cobwebThere are many types of spiders in the world, and most species of

5、spiders prey food by webs. This article study that the structure of spider web is mainly affected by the external and internal factors, and a rational mathematical model is established. So we derive the optimal structure of the spider web, which is consistent with the real situation.First, the spide

6、r web is constructed by a wire. To established a better model for the spider web, we suppose that under the condition that the length of spider silk is L , we compute the biggest circular area. So we can find out the biggest measure of areais max d11, where d 1 means the spacing of spider web.Second

7、, in a word, we know that the S just related to d . According to some biologists reporting, we can see the reasons of spacing of spider web such as, wind、 humidity space、temperature size of food. Then using the method of Hierarchical analysis, we can find outd = 0.0786x + 0.2075x + 0.2312x + 0.4782x

8、 + 0.8175x .112345Hence, the answer for our mathematical model is gotten.Third, above all, we havent found out the spacing of Radial wire, so this article1mv2 = E = 1 kVx2uses The Energy Conservation which is 2 p 2, and we suppose the fastest speed and quality are known, the purpose of us is to find

9、 out the biggest deformation Vx .Moreover when we do some reasonable hypotheses and calculations,a.we can get the biggest spacing of Radial wire LFourth, in the light of spider webs spiral question, with some known results, we study the basic model is p = d 0 + r . So we can use Matlab to get the fi

10、gure ofSpiral curve. However, in order to make the plan of web be supported, we need to know that what a space state is. When we think of the gravity, we can draw a conclusion that the polygon at least is a pentagon.1、問題重述蜘蛛目共有105個，可約37000種，世界各地均有分布。蜘蛛主要有結網、 游獵和穴居3種生活類型。蛛網的進化經歷了拌絲、偏網和圓網階段，并在圓網 的基礎上，

11、繼續(xù)進化形成了其他類型的網。其中圓網在蛛網進化的地位較為特殊， 且其結構較其它種類比較簡單、規(guī)則，因此，本文在圓網的基礎上分析、改進、 求解?，F(xiàn)在建立合理的數(shù)學模型，對蜘蛛網的最大面積、捕絲和放射絲間距合理 性以及整個蜘蛛網的穩(wěn)定性的角度分析，并在有外來事物的沖擊下，怎樣的蜘蛛 網才是最合適的。S :捕絲的面積。n :捕絲的圈數(shù)。捕絲間距（網眼）。L，：捕絲最外圈的周長。七：放射絲的最大間距。La:捕絲間每一個小面積的切向長度a :放射絲的條數(shù)（半徑的條數(shù)）。0 :蜘蛛從起始點螺旋運動到極心繞的n圈的總共角度求和。a:相鄰放射線的夾角。k :捕絲的彈性系數(shù)。Vx :捕絲的伸長量。P :螺旋線半

12、徑。L :材料總長度。m :外來食物的質量。v :外來食物垂直沖到蜘蛛網上。3、問題分析圖2蜘蛛網的結構圖1、當一只蜘蛛的材料一定時，假設該材料總長為L，我們需要建立一個捕絲 結構有利于節(jié)約材料，且達到最大捕食效果，那么我們易知長度一定時，其圍成 一個圓的面積都比其他圖形面積大，由此：由簡單到難，先假設其捕絲間的距離為氣，當捕絲圈數(shù)為n圈時，那么其最 大的半徑可以確定為nd那么此種情況選的Smax可以求出，為一個與有關的 式子。2、根據(jù)相關生物學家的調查可知，其一：蜘蛛絲具有多級結構的蛋白質纖維，外觀呈金黃色，透明，橫截面為 圓形，具有皮芯層結構，芯層內含有數(shù)十根納米級的微纖維。蜘蛛絲具有高強

13、 度、高韌性、高彈性和良好的耐熱性能，被稱為“生物鋼氣而且蜘蛛為變溫 動物，溫度過低時蜘蛛新陳代謝較慢，只有溫度達到一定了之后，蜘蛛新城代 謝快且蜘蛛絲的黏性最好。其二：當捕絲的間距越小時，結構更牢固，捕獲的食物更大。但是不同的織 網的蜘蛛種類不一樣，因此其間距合適才能不浪費材料的同時，捕獲自身需要 的足夠食物。其三：捕絲的搭建直接與當時的空間有關系。只有空間允許條件下才能搭出 合理的捕絲結構。其四：空氣里有一定濕度，特別是凌晨時濕度最大，會影響到捕絲的黏性情 況。其五：在沒有外來食物的情況，蜘蛛網還要受到空氣的流動的制約。因此我們可以得出捕絲的間距di主要由食物的狀況、溫度、空間、濕度、空氣

14、 流動，那么就需要找出這五項因素與di的關系。本文利用層次分析的方法求解出 各項因素的權重，從而可以求解出di。3、根據(jù)科學生物現(xiàn)象，知道蜘蛛是用一根絲即不會斷的情況下完成整個織網過程。因為要考慮其捕絲面積大，蜘蛛網為一根絲完成，可以得出其構建的是一 個螺旋線的形狀，且螺旋線的間距為di。再者根據(jù)蜘蛛絲的本身的高韌性可知， 捕絲的伸長率為原來的4到5倍，因此可以利用能量守恒定律 11 mv2 = E = kVx2求解出放射絲的間距L和放射絲的條數(shù)a。此處已完成整 個網的基本框架。4、根據(jù)空間的關系以及為了能把蜘蛛網能穩(wěn)定的支撐起來，確定最后的框絲 和停泊線滿足：瑞伊爾說：“當昆蟲碰撞入網，蛛網

15、必須承受住碰撞力，而對稱網的優(yōu)勢可能 在于它可以使這種力均勻地分布在全網以減少某一處的受力，這樣可以盡可能地 避免網被撕破?！彼詿o論是停泊絲還是邊框絲都為對稱形態(tài)。蜘蛛網停泊絲與 邊框絲的形態(tài)主要受三個方面的影響，一是為了保證蜘蛛網在受昆蟲撞擊力或風 力的影響時結構變化較小，二是為了把蜘蛛網撐平，有效利用捕食面積，三是受 周圍空間形狀與大小的影響。具體情況，本文考慮蜘蛛網為一個平面狀，其目的則是支撐它。那么本身其受 到重力的作用，因此通過受力分析，知道其邊框至少為四的邊。但是四邊形不具 有很好的穩(wěn)定性。因此我們可以得出此種蜘蛛網的的邊框為五邊。4、模型假設假設1：蜘蛛正常健康，吐的絲一定。假

16、設2：此期間蜘蛛處于一個相對安全狀態(tài)，無天敵情況。假設3：天氣狀況良好。假設4：本文只考慮在空間織平面狀的一類蜘蛛，不考慮再空穴里會織網的蜘蛛。 假設5：捕絲間距一定。5、模型建立5.1最大圓環(huán)捕絲模型一張蜘蛛網的有效期為一天，每年因蜘蛛的生物鐘的原因，蜘蛛會在每天一定 的時間吐出新的蜘蛛網。因此我們可合理假設已知一只蜘蛛在一天的蜘蛛絲的總 共有L。那么為了獲得最大面積，我們可以建立圓面積最大模型。設捕絲間距為di，總共有n圈的。那么總材料長L L滿足的方程式為：L = 2乂 +叫，2則最大面積:S =i ndi 2 兀 rdr此模型可以求解出最大的捕環(huán)形捕絲面積與捕絲的間距的關系。2層次分析

17、得出捕絲間距d1通過問題的分析我們知道影響捕絲間距d主要有食物狀況、溫度、空間、濕1度、風。建立層次分析模型如下：確定準則B (/ = 1,2,3,4,5 )對目標A的權重向量：兩兩比較B (i = 1,2,3,4,5 )對目標矩陣A的重要程度，構造準則B對目標A的成對比較判斷矩陣：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5、76321 /J 6321 /利用MATLAB軟件求得判斷矩陣A的最大特征值

18、Xmax和相應的特征向量而人，求得 d1與xi (i = 1,2,3,4,5 )的關系式子。具體結果見后文求解。5.3蜘蛛網的螺旋模型首先，蜘蛛由一根蜘蛛絲織成一個網狀，其先固定好4個點，再利用空間條件 和穩(wěn)定條件，構建a條放射絲。最后由最外圈做等間距的向極心的螺旋運動。由 此可建立模型為：p= d 0 +r，其中r為捕絲面與中樞區(qū)的距離。111上式可知：d1以求出，但是0和r1未知。：1 + 生-1其次，第一步可以知道n與q的的關系：n =。由此可以知:（1）從rn = nd1的最外圈上任意一點出發(fā)，向極心螺旋運動。（2）螺旋線的角度的知識可以知道0的范圍為：（n-2）2K0（n-1）2K。

19、再者，一般的濕性捕絲具有極高的彈性，根據(jù)生物學家的相關證明知道捕絲的 最大伸長率為原長的45倍，即：此處Vx為伸長量，La為放射絲的間距。根據(jù)能量守恒，設外來食物重m以v速度垂直沖擊帶蜘蛛網上，極限假設食 物的全部動能全部轉換為捕絲的勢能得：廣mv2 = E = 2 kVx2可以求解出La的大小范圍。當最外圈捕絲的周長L與1,做商時可以求解出放射絲（半徑）的條數(shù)：2 兀a = L/La。易求出放射線平分圓的角度6=:。一旦求出La之后就可求出二的大小。主要求解思想是根據(jù)中樞區(qū)與捕食面距 離的大小主要材料節(jié)省的方面分析。前文已求出放射線之間的夾角a與捕絲間距di，如果靠近中心點的位置處捕 絲間距

20、仍為d1，那么靠近中心位置處捕絲排列得將非常密，會比較浪費材料，所 以本文適當減少中間位置所用的材料，即產生了中樞區(qū)與捕食面之間無捕絲的現(xiàn) 象，但是中樞區(qū)與捕食面距離滿足一定比值關系：捕絲間距，即網眼最短邊為，靠近中心點區(qū)域放射線切向間距較小、變化也較小，所以我們令放射線切向間距為di ,則徑向長為二=d ,也就是蜘蛛在距中心,處停止織網。這樣中樞區(qū)與捕食面之間放射線的切向距離近似于捕食 1面中的網眼，中樞區(qū)與捕食面之間的距離近似于捕食面中的匕，符合之前捕絲間距d的影響因素最后，由以上可以得出p = d。+ d1。利用此結果再對前面環(huán)i1 d形的S以及環(huán)形最外圈的周長L進行修正：maxS=j(

21、u-1)2k 1 (d 0 + r *d。max(n-2J2n 2 11L = j n一金(d + rj + dd06、模型求解域誤差分析6.1層次分析的求解結果和層次單排序及一致性檢驗 確定準則B (i = 1,2,3,4,5 )對目標A的權重向量: i兩兩比較B (i = 1,2,3,4,5 )對目標A的重要程度，構造準則B對目標A的對 ii比較判斷矩陣：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5

22、、76321 /J 6321 /利用MATLAB軟件求得判斷矩陣A的最大特征值Xmax和相應的特征向量W 為：Xa = 5.2171,WA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )一致性檢驗：CI =a72 - 5 =冬=0.0543 n -15 -14RI = 1.12CR = 00543 = 0.0485 0.11.12故通過檢驗。故準則B (i = 1,2,3,4,5 )對目標A的權重向量為： iWA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )di = 0.0786氣 + 0.2075x2 + 0.2321x3 + 0

23、.4782氣 + 0.8175x56.2螺旋線圖形求解結果和圖形比較(1)捕絲圈數(shù)1 + 箜-1:兀肖其中 d = 0.0786x + 0.2075x + 0.2321x + 0.4782x + 0.8175x 112345(2)由前文模型建立中所列的公式： Vx =4 5La1| wmv2 = kVx22L = 2 兀 nd 1r - d *L1 = 2兀 *La可以求解出:放射線的間距L :avmv2 l /mv2放射線數(shù)a為:8兀nd v k10Knd v kVmv2 a v mv2中樞區(qū)與捕絲面積r1：其中可計算出a =史即空二am= a 5nd A=1 1/5 1/3 1/5 1/7;5 1 2/3 2/5 1/6;3 3/2 1 1/3 1/3;5 5/2 3 1 1/2;7 6 3 2 1A =1.00000.20000.33330.20000.14295.0