最優(yōu)蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)

1、第五屆“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中I數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了第五屆“認(rèn)證杯數(shù)學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正 文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反 競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們?cè)试S數(shù)學(xué)中國(guó)網(wǎng)站（）公布論文，以供網(wǎng)友之間學(xué)習(xí)交流， 數(shù)學(xué)中國(guó)網(wǎng)

2、站以非商業(yè)目的的論文交流不需要提前取得我們的同意。我們的參賽隊(duì)號(hào)為：1739參賽隊(duì)員：隊(duì)員1：隊(duì)員2：隊(duì)員3：參賽隊(duì)教練員：參賽隊(duì)伍組別：第五屆“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中I數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽編號(hào)專用頁(yè)參賽隊(duì)伍的參賽隊(duì)號(hào)：# 1739競(jìng)賽統(tǒng)一編號(hào)（由競(jìng)賽組委會(huì)送至評(píng)委團(tuán)前編號(hào)）：競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012年第五屆“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽題 目 蜘蛛網(wǎng)最優(yōu)模型關(guān)鍵詞 蜘蛛網(wǎng) 螺旋線 層次分析法 能量守恒摘要：世界上有很多種類的蜘蛛，而大部分種類的蜘蛛都是通過結(jié)網(wǎng)來(lái)捕食食物的。 蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)主要受外因和內(nèi)因的影響，本文研究并建立合理的數(shù)學(xué)模型，確定 出了蜘蛛網(wǎng)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，

3、得出結(jié)果與實(shí)際情況基本相符。首先，蜘蛛織網(wǎng)是由一根絲完成整個(gè)工作，為了構(gòu)造合理的網(wǎng)狀，設(shè)蜘蛛只有 材料L，已知L的情況下易知圓的面積最大，即捕食面的面積最大值，得到最大 圓面積為Smax= ：2rdr，其中di為捕絲間距。其次，由以上可以確定S面積只與有關(guān)，根據(jù)相關(guān)生物學(xué)家的資料查得影響 蜘蛛網(wǎng)捕絲間距的因素，主要有風(fēng)、濕度、空間、溫度、食物狀況等。再運(yùn)用層 次分析的方法計(jì)算出各個(gè)因素對(duì)di的權(quán)重，從而計(jì)算出捕絲的間距。然而，以上 并沒有計(jì)算出放射絲的間距。因此本文再利用能量守恒的關(guān)系 1m 2 _ _ 1kVx22* 一 P 一 2 X即假設(shè)食物的最大垂直速度與質(zhì)量已知，求解與該蜘蛛絲 所受

4、的最大彈性形變Vx。隨后在做合理的假設(shè)與計(jì)算，就可以得到最大的放射 絲間距La。最后，針對(duì)蜘蛛網(wǎng)本身的的螺旋問題，使用極坐標(biāo)建立基本模型P= di+ ri，其中9變化則其放射絲的半徑變化，由此模擬出捕絲的的螺旋線圖形。蜘蛛網(wǎng)的 最外的邊框（框絲、停泊絲）根據(jù)各個(gè)外點(diǎn)對(duì)整個(gè)平面圖根據(jù)空間的具體關(guān)系可 以得出，但是要保證整個(gè)蜘蛛網(wǎng)為平面狀，那么邊框至少為五邊形。參賽密碼（由組委會(huì)填寫）參賽隊(duì)號(hào)1739所選題目A題The best structure of cobwebThere are many types of spiders in the world, and most species of

5、spiders prey food by webs. This article study that the structure of spider web is mainly affected by the external and internal factors, and a rational mathematical model is established. So we derive the optimal structure of the spider web, which is consistent with the real situation.First, the spide

6、r web is constructed by a wire. To established a better model for the spider web, we suppose that under the condition that the length of spider silk is L , we compute the biggest circular area. So we can find out the biggest measure of areais max d11, where d 1 means the spacing of spider web.Second

7、, in a word, we know that the S just related to d . According to some biologists reporting, we can see the reasons of spacing of spider web such as, wind、 humidity space、temperature size of food. Then using the method of Hierarchical analysis, we can find outd = 0.0786x + 0.2075x + 0.2312x + 0.4782x

8、 + 0.8175x .112345Hence, the answer for our mathematical model is gotten.Third, above all, we havent found out the spacing of Radial wire, so this article1mv2 = E = 1 kVx2uses The Energy Conservation which is 2 p 2, and we suppose the fastest speed and quality are known, the purpose of us is to find

9、 out the biggest deformation Vx .Moreover when we do some reasonable hypotheses and calculations,a.we can get the biggest spacing of Radial wire LFourth, in the light of spider webs spiral question, with some known results, we study the basic model is p = d 0 + r . So we can use Matlab to get the fi

10、gure ofSpiral curve. However, in order to make the plan of web be supported, we need to know that what a space state is. When we think of the gravity, we can draw a conclusion that the polygon at least is a pentagon.1、問題重述蜘蛛目共有105個(gè)，可約37000種，世界各地均有分布。蜘蛛主要有結(jié)網(wǎng)、 游獵和穴居3種生活類型。蛛網(wǎng)的進(jìn)化經(jīng)歷了拌絲、偏網(wǎng)和圓網(wǎng)階段，并在圓網(wǎng) 的基礎(chǔ)上，

11、繼續(xù)進(jìn)化形成了其他類型的網(wǎng)。其中圓網(wǎng)在蛛網(wǎng)進(jìn)化的地位較為特殊， 且其結(jié)構(gòu)較其它種類比較簡(jiǎn)單、規(guī)則，因此，本文在圓網(wǎng)的基礎(chǔ)上分析、改進(jìn)、 求解?，F(xiàn)在建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)蜘蛛網(wǎng)的最大面積、捕絲和放射絲間距合理 性以及整個(gè)蜘蛛網(wǎng)的穩(wěn)定性的角度分析，并在有外來(lái)事物的沖擊下，怎樣的蜘蛛 網(wǎng)才是最合適的。S :捕絲的面積。n :捕絲的圈數(shù)。捕絲間距（網(wǎng)眼）。L，：捕絲最外圈的周長(zhǎng)。七：放射絲的最大間距。La:捕絲間每一個(gè)小面積的切向長(zhǎng)度a :放射絲的條數(shù)（半徑的條數(shù)）。0 :蜘蛛從起始點(diǎn)螺旋運(yùn)動(dòng)到極心繞的n圈的總共角度求和。a:相鄰放射線的夾角。k :捕絲的彈性系數(shù)。Vx :捕絲的伸長(zhǎng)量。P :螺旋線半

12、徑。L :材料總長(zhǎng)度。m :外來(lái)食物的質(zhì)量。v :外來(lái)食物垂直沖到蜘蛛網(wǎng)上。3、問題分析圖2蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)圖1、當(dāng)一只蜘蛛的材料一定時(shí)，假設(shè)該材料總長(zhǎng)為L(zhǎng)，我們需要建立一個(gè)捕絲 結(jié)構(gòu)有利于節(jié)約材料，且達(dá)到最大捕食效果，那么我們易知長(zhǎng)度一定時(shí)，其圍成 一個(gè)圓的面積都比其他圖形面積大，由此：由簡(jiǎn)單到難，先假設(shè)其捕絲間的距離為氣，當(dāng)捕絲圈數(shù)為n圈時(shí)，那么其最 大的半徑可以確定為nd那么此種情況選的Smax可以求出，為一個(gè)與有關(guān)的 式子。2、根據(jù)相關(guān)生物學(xué)家的調(diào)查可知，其一：蜘蛛絲具有多級(jí)結(jié)構(gòu)的蛋白質(zhì)纖維，外觀呈金黃色，透明，橫截面為 圓形，具有皮芯層結(jié)構(gòu)，芯層內(nèi)含有數(shù)十根納米級(jí)的微纖維。蜘蛛絲具有高強(qiáng)

13、 度、高韌性、高彈性和良好的耐熱性能，被稱為“生物鋼氣而且蜘蛛為變溫 動(dòng)物，溫度過低時(shí)蜘蛛新陳代謝較慢，只有溫度達(dá)到一定了之后，蜘蛛新城代 謝快且蜘蛛絲的黏性最好。其二：當(dāng)捕絲的間距越小時(shí)，結(jié)構(gòu)更牢固，捕獲的食物更大。但是不同的織 網(wǎng)的蜘蛛種類不一樣，因此其間距合適才能不浪費(fèi)材料的同時(shí)，捕獲自身需要 的足夠食物。其三：捕絲的搭建直接與當(dāng)時(shí)的空間有關(guān)系。只有空間允許條件下才能搭出 合理的捕絲結(jié)構(gòu)。其四：空氣里有一定濕度，特別是凌晨時(shí)濕度最大，會(huì)影響到捕絲的黏性情 況。其五：在沒有外來(lái)食物的情況，蜘蛛網(wǎng)還要受到空氣的流動(dòng)的制約。因此我們可以得出捕絲的間距di主要由食物的狀況、溫度、空間、濕度、空氣

14、 流動(dòng)，那么就需要找出這五項(xiàng)因素與di的關(guān)系。本文利用層次分析的方法求解出 各項(xiàng)因素的權(quán)重，從而可以求解出di。3、根據(jù)科學(xué)生物現(xiàn)象，知道蜘蛛是用一根絲即不會(huì)斷的情況下完成整個(gè)織網(wǎng)過程。因?yàn)橐紤]其捕絲面積大，蜘蛛網(wǎng)為一根絲完成，可以得出其構(gòu)建的是一 個(gè)螺旋線的形狀，且螺旋線的間距為di。再者根據(jù)蜘蛛絲的本身的高韌性可知， 捕絲的伸長(zhǎng)率為原來(lái)的4到5倍，因此可以利用能量守恒定律 11 mv2 = E = kVx2求解出放射絲的間距L和放射絲的條數(shù)a。此處已完成整 個(gè)網(wǎng)的基本框架。4、根據(jù)空間的關(guān)系以及為了能把蜘蛛網(wǎng)能穩(wěn)定的支撐起來(lái)，確定最后的框絲 和停泊線滿足：瑞伊爾說：“當(dāng)昆蟲碰撞入網(wǎng)，蛛網(wǎng)

15、必須承受住碰撞力，而對(duì)稱網(wǎng)的優(yōu)勢(shì)可能 在于它可以使這種力均勻地分布在全網(wǎng)以減少某一處的受力，這樣可以盡可能地 避免網(wǎng)被撕破?！彼詿o(wú)論是停泊絲還是邊框絲都為對(duì)稱形態(tài)。蜘蛛網(wǎng)停泊絲與 邊框絲的形態(tài)主要受三個(gè)方面的影響，一是為了保證蜘蛛網(wǎng)在受昆蟲撞擊力或風(fēng) 力的影響時(shí)結(jié)構(gòu)變化較小，二是為了把蜘蛛網(wǎng)撐平，有效利用捕食面積，三是受 周圍空間形狀與大小的影響。具體情況，本文考慮蜘蛛網(wǎng)為一個(gè)平面狀，其目的則是支撐它。那么本身其受 到重力的作用，因此通過受力分析，知道其邊框至少為四的邊。但是四邊形不具 有很好的穩(wěn)定性。因此我們可以得出此種蜘蛛網(wǎng)的的邊框?yàn)槲暹叀?、模型假設(shè)假設(shè)1：蜘蛛正常健康，吐的絲一定。假

16、設(shè)2：此期間蜘蛛處于一個(gè)相對(duì)安全狀態(tài)，無(wú)天敵情況。假設(shè)3：天氣狀況良好。假設(shè)4：本文只考慮在空間織平面狀的一類蜘蛛，不考慮再空穴里會(huì)織網(wǎng)的蜘蛛。 假設(shè)5：捕絲間距一定。5、模型建立5.1最大圓環(huán)捕絲模型一張蜘蛛網(wǎng)的有效期為一天，每年因蜘蛛的生物鐘的原因，蜘蛛會(huì)在每天一定 的時(shí)間吐出新的蜘蛛網(wǎng)。因此我們可合理假設(shè)已知一只蜘蛛在一天的蜘蛛絲的總 共有L。那么為了獲得最大面積，我們可以建立圓面積最大模型。設(shè)捕絲間距為di，總共有n圈的。那么總材料長(zhǎng)L L滿足的方程式為：L = 2乂 +叫，2則最大面積:S =i ndi 2 兀 rdr此模型可以求解出最大的捕環(huán)形捕絲面積與捕絲的間距的關(guān)系。2層次分析

17、得出捕絲間距d1通過問題的分析我們知道影響捕絲間距d主要有食物狀況、溫度、空間、濕1度、風(fēng)。建立層次分析模型如下：確定準(zhǔn)則B (/ = 1,2,3,4,5 )對(duì)目標(biāo)A的權(quán)重向量：兩兩比較B (i = 1,2,3,4,5 )對(duì)目標(biāo)矩陣A的重要程度，構(gòu)造準(zhǔn)則B對(duì)目標(biāo)A的成對(duì)比較判斷矩陣：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5、76321 /J 6321 /利用MATLAB軟件求得判斷矩陣A的最大特征值

18、Xmax和相應(yīng)的特征向量而人，求得 d1與xi (i = 1,2,3,4,5 )的關(guān)系式子。具體結(jié)果見后文求解。5.3蜘蛛網(wǎng)的螺旋模型首先，蜘蛛由一根蜘蛛絲織成一個(gè)網(wǎng)狀，其先固定好4個(gè)點(diǎn)，再利用空間條件 和穩(wěn)定條件，構(gòu)建a條放射絲。最后由最外圈做等間距的向極心的螺旋運(yùn)動(dòng)。由 此可建立模型為：p= d 0 +r，其中r為捕絲面與中樞區(qū)的距離。111上式可知：d1以求出，但是0和r1未知。：1 + 生-1其次，第一步可以知道n與q的的關(guān)系：n =。由此可以知:（1）從rn = nd1的最外圈上任意一點(diǎn)出發(fā)，向極心螺旋運(yùn)動(dòng)。（2）螺旋線的角度的知識(shí)可以知道0的范圍為：（n-2）2K0（n-1）2K。

19、再者，一般的濕性捕絲具有極高的彈性，根據(jù)生物學(xué)家的相關(guān)證明知道捕絲的 最大伸長(zhǎng)率為原長(zhǎng)的45倍，即：此處Vx為伸長(zhǎng)量，La為放射絲的間距。根據(jù)能量守恒，設(shè)外來(lái)食物重m以v速度垂直沖擊帶蜘蛛網(wǎng)上，極限假設(shè)食 物的全部動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為捕絲的勢(shì)能得：廣mv2 = E = 2 kVx2可以求解出La的大小范圍。當(dāng)最外圈捕絲的周長(zhǎng)L與1,做商時(shí)可以求解出放射絲（半徑）的條數(shù)：2 兀a = L/La。易求出放射線平分圓的角度6=:。一旦求出La之后就可求出二的大小。主要求解思想是根據(jù)中樞區(qū)與捕食面距 離的大小主要材料節(jié)省的方面分析。前文已求出放射線之間的夾角a與捕絲間距di，如果靠近中心點(diǎn)的位置處捕 絲間距

20、仍為d1，那么靠近中心位置處捕絲排列得將非常密，會(huì)比較浪費(fèi)材料，所 以本文適當(dāng)減少中間位置所用的材料，即產(chǎn)生了中樞區(qū)與捕食面之間無(wú)捕絲的現(xiàn) 象，但是中樞區(qū)與捕食面距離滿足一定比值關(guān)系：捕絲間距，即網(wǎng)眼最短邊為，靠近中心點(diǎn)區(qū)域放射線切向間距較小、變化也較小，所以我們令放射線切向間距為di ,則徑向長(zhǎng)為二=d ,也就是蜘蛛在距中心,處停止織網(wǎng)。這樣中樞區(qū)與捕食面之間放射線的切向距離近似于捕食 1面中的網(wǎng)眼，中樞區(qū)與捕食面之間的距離近似于捕食面中的匕，符合之前捕絲間距d的影響因素最后，由以上可以得出p = d。+ d1。利用此結(jié)果再對(duì)前面環(huán)i1 d形的S以及環(huán)形最外圈的周長(zhǎng)L進(jìn)行修正：maxS=j(

21、u-1)2k 1 (d 0 + r *d。max(n-2J2n 2 11L = j n一金(d + rj + dd06、模型求解域誤差分析6.1層次分析的求解結(jié)果和層次單排序及一致性檢驗(yàn) 確定準(zhǔn)則B (i = 1,2,3,4,5 )對(duì)目標(biāo)A的權(quán)重向量: i兩兩比較B (i = 1,2,3,4,5 )對(duì)目標(biāo)A的重要程度，構(gòu)造準(zhǔn)則B對(duì)目標(biāo)A的對(duì) ii比較判斷矩陣：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5

22、、76321 /J 6321 /利用MATLAB軟件求得判斷矩陣A的最大特征值Xmax和相應(yīng)的特征向量W 為：Xa = 5.2171,WA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )一致性檢驗(yàn)：CI =a72 - 5 =冬=0.0543 n -15 -14RI = 1.12CR = 00543 = 0.0485 0.11.12故通過檢驗(yàn)。故準(zhǔn)則B (i = 1,2,3,4,5 )對(duì)目標(biāo)A的權(quán)重向量為： iWA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )di = 0.0786氣 + 0.2075x2 + 0.2321x3 + 0

23、.4782氣 + 0.8175x56.2螺旋線圖形求解結(jié)果和圖形比較(1)捕絲圈數(shù)1 + 箜-1:兀肖其中 d = 0.0786x + 0.2075x + 0.2321x + 0.4782x + 0.8175x 112345(2)由前文模型建立中所列的公式： Vx =4 5La1| wmv2 = kVx22L = 2 兀 nd 1r - d *L1 = 2兀 *La可以求解出:放射線的間距L :avmv2 l /mv2放射線數(shù)a為:8兀nd v k10Knd v kVmv2 a v mv2中樞區(qū)與捕絲面積r1：其中可計(jì)算出a =史即空二am= a 5nd A=1 1/5 1/3 1/5 1/7;5 1 2/3 2/5 1/6;3 3/2 1 1/3 1/3;5 5/2 3 1 1/2;7 6 3 2 1A =1.00000.20000.33330.20000.14295.0