高等幾何課后規(guī)范標準答案(第三版)

1、高等幾何課后答案（第三版）第一章仿射坐標與仿射變換L羥過月（一 3,2）和816/）的直線八日與直線工+ 3.丫一6二 0相交于P點，求（ABP）=?U直線AH的方程為T+9y15 = 0；產點的坐標為傳卜（ABP） = 一 L2.求一仿射變換，它使直線工+2 - 1 =。上的每個點都不 變，且使點L -】）史為點-L2L2T在直線二十2了 - 1=。上任取兩點AllJAJU 1）,由干 A（L0）fA（b0）i3 hU舊- h 1?又點（1, 一 1）（一123，仿射變換式都通過點P. 如果P是無窮遠點，則p仄，彼此平行.4,設三真瓢交于一點S,PMnQ.QRM,分S1 交二直就。必于PmQ

2、i.R（與此,Q ,瑪,求證：直域P|Q1與交Qi的 變點.曰*與QJ?（的交點，用巳與是E的交點,三點共線且比直線與 /i J3共點.4 ,提示;如圖2 - 2 - 2可以選聯(lián)射影中心V*與另一平面人將。二S二點射影成平 面一上的無窮遠點.如圖2-2-3,這時L,M，V因為平行四 邊形的對犯線交點，容易證明它們共線，且所共立線與/； J；平行, 根據(jù)結合性是射影性質，所以LMN共投.11此直線與 九,心共點.域用讖薩格定理證明：任意四邊形圖討對邊中點的連線與二對角線 中點的連綴相文于一點.I提示內圖2-2-4設四邊形AT3UD四邊中點依次為E, F, 3, H,對舶線AC、即的中點是P,Q,

3、研究三點形PER和也F,利 用德薩福定理的逆定理，可以證明其對應頂點連線EG.FH.PQ 共點.AAICD是四面體.點K荏BC上,一直線通過X分別交AB*。干P, Q,另一亙線逋過分別交口瓦醫(yī)于跖嵋求證：產區(qū)與QS交于內a|6.提示二如圖2-2-5.研究三點形1飛八和RS13對應邊交點PQx RS = X,QAxSQ = C.AFx DH二H.因為X,B, C共線，根據(jù)德薩格定理的逆 定理，必有對應頂點的連線火點.|習題二L試求下列誨點的齊次坐標.先寫出所有組,再任選一組.。）3卜(2) 3h)y 工 0上的無窮遠點j(3)坐標軸上的無窮遠點.L等：|(1)(o,(h 必 3、o,汽)p 。小

4、 Qp.,pi 己j, fho.任選一組；S,0J), (l,0J3 SJ；1) 65；1).(2)(1，3，D).G）（1,。，0）, 31,0）.下列譜點.若它的聿齊次坐標存在，第把它寫出來：(2.4, - 1)/依，一幾2)軸N3)無窮也直疑；(4)通過原點且斜率為2的直線.答：| 0,3。(2)1,0。(3) Q),0i 1 以-L0S.常下列端線坐標所表直線的方程：OJ JLEEE U.tLOJj,tK-UO.答: |f上上 + 工工=U，*| + E上一上工=D F* + ZTj = 0，*-工2 =0.下列諸方程各表示什么圖形？4i =工 一 二 0卜射 十 口？，5 =0,21

5、 + 豚？ = 0.&； -3處 to=0.答點。，0.0),點J, 一 0點點兩點門，一 4,0)和3 - 1,0).習題三2 ,寫出下列命題的對偈命星.(0網(wǎng)點決定一直我； & 變動的三線滋，它的兩頂點備在定直線上,而三邊 備經過共線的三個點，則第三個頂點也在條定立城匕已知點 P）（IJjy.Ml - f JKP,（3, - h3）R 耳居共 線，并求/,血的值，使P3 = ZP# +若匕，小產3為三直踐鳧？.麻；/ = 1 ,1=2 J配出A a.C為三相異共線點尿誣，可適當選擇月，B的齊次生標 。.而使&*其中t是C點的坐標.寫出應對偶情況.證明！設人氏C的卉次坐標分別為由，仇,則根據(jù)

6、定理3.4,存 在常數(shù)3 FH ,使二包+ 面，因為C為不同的點，所以WWO,加工愿取A點的坐標為 /弧，B點的坐標為心，則有 = & +， 習題四L （1）求售接闞點門+2+i/）+ （l-2 H）的直線方程. 求直線（】TKrJ （2 + 力+/力=0上的賣點.答；（1）q -工上 + Tj = 0Q） 實點為（2,-1,1）.I 3.求證2三點（1,L0）共線.將最后一出的里標表示為前兩點的線性組合，.設日（11 一 五 0），6 U, i 1。）i 仁（八 一 1 1 0）峽三點共線.3求證！兩31點所定直戰(zhàn)與其陰井匏坪點所定直筑為兩條共輯直娥.證明：設兩復點口、6所定復直線為/,則共

7、舸復點五應在/的共布復直線，上，同理b也在，上，故營色確定復直線對偶命題；兩復直線所交之復點.及這兩支線的共觀身直線所 交之復點，為兩共抓復點.*求圓； +1” 5工；與(當一書)7高的交點.4.答：四個交點為；(Li.O. (1,0)，(1.2.D, (-1(2, -1).第三章射影變換與射影坐標習題一I.設兒e.UD.E為其城五點.求怔：(Mi.CDiAEtDE(AB.EC)= L.證明：(AB, CD) *(ABiDE) .EC)-，Af2)LU/ E)LUQ -2,若A(2 J,-.7,l，C(l nCLfL,5. T)為共繪四點. #(AB-CD.解，二 41八t H) 可可為C=4

8、1氏/J=2A -SB, 可巧為口二a一自外2所以 CABiCD) =.設pnJ，】兄pni1.1),巴(葭。，1)為共線三點，且(？p P*PJ 2.求P、的坐標.則 A = 2,所以所求為.-1,3）.4巳如直線八/3的方程分別為+ #3 =（才I - a1+ 上,=0,上1 =0,且“小.1/=-半求h的方程，.答；八的方程為11皿-2工*2,口=05,設R.P一汽.P,，PR是大個不同的熱線點或*:（P| PP】Pq）（F| 巳Fp Pl I Pi PJ（F| Pj.Pj %） sC2）如果（P.R,巴PJ7P/-P.尸尸，囑（巴吃匕）一 1.證明（I）與第1題類似，根據(jù)定義證明.（P

9、/,pj）= t- （Pjlp、pj = 1 -（pj&,憑q）所以= 1因為尸尸尸3、人是不同的點，所以（PP3，P1P,）= 7.8,如圖3-】2.他為ISO直徑.C為力口延長線上一點H時 為曲的切 gftM為地點，求證M在A上的射膨H是匚關于A.B的謝和共超應，QE法一是NfAlH的內外角平分線（圖2-3-】）. 根據(jù)原書第三章1例題8,得= - I.證法：先證明命題:設（AB,CD）= - 1,0為CD之中點.則 0（ = Q4R力反之亦其.在本池中可以先證明Qn;QH*1x：. 利用上述命題即可得證.9已知直線？ 工，4,L的方相分別為2.E 一7+ 1 = Ot3x + y - y

10、 = 0(5t - 1 = &,求證四直提共點，并求(4k. 1/Q.9.昏5八4l)二1.12.已知四直統(tǒng)：/力 二 4753 。：y = 務工中隊 小y=匕h +如 小,=3工+ 4* 共點，求證工/)= ；二：.?二：；12.提示：過原點作分別占此叫i續(xù)平行的“線，得:t： y-kltTf 即 1工=&111/；： 二七工，即八二&工1-；：V = i I 7 -即 Xt =跖于一q、-v-金 ；：*=， 即工工二亂刈.選基戰(zhàn) 口：和二J. 6: 丁 二 口，則 A : a 41 A / ; a - kbt ly ; a h , /：a i4 ft.則5%，白4)=；/；，/：)= :：

11、 ：； *：；.習題二1,求i：如里-維射影對應使直線1上的無身抗點對應直喊/上的無 宛返點,則這個對應一定是仿射對應.L梃示.因為的肘對應是保持共線三點的單比不變的,設A, 月，C是直線/上的任意三點，式射影對應點是FKIABC 又/上的丁，對應二E的匕，所以福，CPQ= (A73C F; ), 因此旃cIWbE.2.如果三點形八HC的邊BCC4 + 4日分別通過在同一直愛的三點P. Q.R.又頊懸2各在一條定直線上求證；&點H應在一條足直找上.2.證明.如圖設三點形A乩g是滿足條件的力 三點形，則有qI.?。㎏.（， L,B,iTUd 9,G,T因為PQ與RQ是同 直線，印相 是自對應元素

12、，也有FI%況，1天FCi）所以，對應直線的交點A出共線.3如果點列（曰八（產L食底八廠交于。息、求征：P1二與P尸二的 交點X的軌跡是一條克戰(zhàn)3,證明：如果。是“對應點則/（P）元（P）|I所以RJ”逋過透視中心丫（定點）,如圖2 3-/因為卜心X是完全四點形RPJ；P；的時邊三點舊故仃，（*5伊）=-I由于宜續(xù)hiOV是固定的。所以ON是一條固定直線.如果0不是“對此點,設0作為北上的點時0二J(在I 比)，0作為廠上的點時Ufb如圖2-3 - 10,則有(QU,代R)= cr).p：pj =由此得到o點力時應.所以o S七匕)/0； V P；匕)，故將三更線UV P/：，P/；共 少而直

13、線1人尸是固定的，所以RP；與P；R的交點K在固定的直 線口力上.尸r 4.證明：任意一條不通過完全四點推嗔點的宜囊與完全四點形的三時 對邊的交點1是屬于同一時合的三對時應點直線/與完全四點形ABTD的三對對邊的交點為P.PZ Q.b：R R 在上Pf PQ Q K.因為(PPQ R)云3,且，A. H)云SA A。),所以這是一個射影變換.P QK)= UUl*Q)| CMLQ M)三QR) 根據(jù)定理2.4知，這射影變換是一個對合.習題三L世吏疑/上的點R I) F 12 = 0：/3 + /)卜 了= 0.6已知莉合的兩對時電點的妻觸為：5f 2,5-1 ,試求時合的方程和二鼠點的參敗8.

14、哥W+ a * Ax) - 1=(1, -12j3.習題四I求一射華變換，使點(1由),0,口.”1,1),(0,0/)及次環(huán)應點hD.0LlM(OJM).答:所求變換式為:2,求射影要悔/嚴;=2, - ： +zjs f2 二父卜42工工一3工.伊?。?- *t 4 Ta +r】的逆空攜式并求出最清縫卬不匚0的時應直跋的方程.答:根據(jù)公式GL4)f求出逆變換為.ia.ii 3 rj + 2.ri -不；t皿上=- 2r + m； + 3j?j !工工、=一工；-3矛；+ 5工；.不二。的對應直線為：K+3/ 5才；二必.術射影鄴換、產盧* *的不變點坐標一.解：根據(jù)公式(4.6)列出特征方程

15、：5-i)J = a 必=1(三重根).將產二I代入不變點.方程組(4.5).得口 = 0.八=0上的點都 是不變點.即以二。是不變點列.求射影亦疑四;4j| - *-3j-j口； 一|的不變元素，.髀,特征方.程為5 + I)5 + 2) 5 - 3)=0,解得* 二 一 L 科工二一3產工二丸將特征值代入不變點方程組，得不變點為SE，I), U,L0), Cl165)不變直線為工mi ii + jj 01 xi - Ja =0i6ji - jj = 0,第四章變換群與幾何學第五章二次曲線的射影理論習題一S,通兩個三點播ABC和ABr同時外切于一條二次曲0L求M宜船也 同時內接于一條二次曲戰(zhàn)

16、.證明：設三點形ABC利A B同時外切于一二次曲線5 加圖2 - 5 T .有F * c、b - u J 77u b，c b “)f而q (Zj * d. r) K /V (C 13. f ：. U)*/3C，Qn/HCJHd)，所以八U H Ct B)KA(C出，(二4)根據(jù)二階曲線的射影定義.八康.和A 7TL內接十二次曲愛7求由商學成射影對應I二品的就束力-打孑0 WT! = O 所內成的二階曲緩的方程，7.解；兩射影線束可以寫為:習題二1,寫出布利安桑定理的逆定理并加以證明.提示:利用二級曲線的射影定義.3.紿定二階曲線上W個點，可以產生多少條斯卡線？對偶 地，對于二級曲線情況如何？.

17、提示:利用A1AA24人六個元素的環(huán)狀排列的性質 及A -& % & &表:示同一選取,閑此己知六點形能決定梟 =50條帕斯卡線.對偶地I對于二級曲線的 K。外包六邊形也有60個布利安桑點.已知射澎平面上的五個點，(無三者共線L利用帕斯卡定 理,求作其中一點的切找.4,解沒 階曲線S上的五個點為%,4,山，工，兒，試作/h點的切線.如圖2-5-2.作4 4乂 44 = P,& X &A = Qt &MPQ =凡則ASR為二階曲線的切線.在內接于圓的兩個三點用AHC和AH,r中謾Ati x Ab = P，H(OHC =QX x (1關于二階曲線的極點.提示在p上任取一.點，作它們的極戰(zhàn)的交點.4

18、,巳知二階曲線上一點P,求作P點的極線.4,提在過P任作一直線，作出此直線的極點.5,已知二階曲線（C ）:2；rJ+4t1t;十&j八+了;=0,求點P（l，2）關于（C）的極貴；（2）求直線美于（C）的極點.答：71+211+ 6力=0：（2 d -6-7）.求點（5J,7）或于二階曲線：2Xj+3工；+工；- 61rl巧 一 2七4 一4工工工$ 二。的極微.答:工2 =0.元設ABCD是二階曲線的內接四息形,XYZ是對邊三點出 求證從C處的視線文在）2克我上，A處的初戲也交在YZ 直覿上.提示：設*.C處的.切線交于R則P的極線是坎，.而 BCk AD=X，所以X的極線必過P點,又知對邊三點形XVZ是 自極的，即X的極線是