多元函數(shù)概念二元函數(shù)極限和連續(xù)性

1、關(guān)于多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性第一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月一、前言2在前面的學(xué)習(xí)中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數(shù)多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題 本章內(nèi)容為多元函數(shù)微分學(xué)。多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。 函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因

2、此這里基本上只討論二元函數(shù)。第二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二、教學(xué)計(jì)劃31、課時安排多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 2課時 偏導(dǎo)數(shù) 2課時全微分 2課時多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 2課時偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2課時復(fù)習(xí)以及習(xí)題課 2課時 第三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月三、本章的教學(xué)目標(biāo)4基本要求1.掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，了解二元極限、連續(xù)2.深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，3.掌握全微分概念4.會求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，5.會求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，會求多元函數(shù)極值第四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)

3、作于2022年6月第一節(jié) 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性2022/7/25學(xué)習(xí)目標(biāo)：正確理解二元函數(shù)的概念，能求二元函數(shù)的定義域以及知道二元函數(shù)的幾何意義理解二元函數(shù)的極限的定義理解二元函數(shù)連續(xù)性的定義第五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的概念引例1.圓柱體的體積2.定量理想氣體的壓強(qiáng)3.三角形面積6第六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的概念4.某種商品的市場需求量Q不僅與市場價格p有關(guān)，而且與消費(fèi)者平均收入以及需要這種商品的人數(shù)N有關(guān),同時，還與這種商品的其他代用品的價格等因素有關(guān)；從而決定該商品需求量的自變量不只一個而是多個 以上引例說明，在許多

4、實(shí)際問題中往往需要研究因變量與幾個自變量之間的關(guān)系， 也引入多元函數(shù)的必要性7第七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義8第八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的概念9第九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的概念、定義域類似地，可以定義三元函數(shù) 以及n元函數(shù) 多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù) 10同一元函數(shù)一樣，定義域和對應(yīng)規(guī)律是二元函數(shù)定義的兩要素。對于以算式表示的二元函數(shù) 其定義域就是使式子有意義的自變量的變化范圍一組概念：1.區(qū)域：全部xy坐標(biāo)平面或由曲線所圍成的部分平面常用字母D表示2.邊界：圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊

5、界3.開區(qū)域：不包括邊界的區(qū)域4.閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域第十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的定義域5.有界區(qū)域（無界區(qū)域）：如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑的圓內(nèi)，否則為無解區(qū)域6.內(nèi)點(diǎn)：開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)7.邊界點(diǎn)：邊界上的點(diǎn)8.區(qū)域的表示：與用區(qū)間表示不定式一樣，區(qū)域也可以用不等式或不等式組表示11第十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的定義域12其圖形為：其圖形為：第十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的定義域13其圖形為：其圖形為：第十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元函數(shù)的定義域例2 14第十四

6、張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的幾何意義思考：15二元函數(shù)的幾何意義？一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線；對于二元函數(shù)，在空間直角坐標(biāo)系中一般表示曲面第十五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的幾何意義16第十六張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的幾何意義17第十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限定義18第十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限說明（1）定義中 的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定

7、點(diǎn)時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。19第十九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限說明20（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限第二十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限 一元極限與二元極限的異同？21?相同點(diǎn)一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要定義相同.不同點(diǎn)而多元函數(shù)于P0時,條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨第二十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于20

8、22年6月二元函數(shù)的極限確定極限不存在的方法22則可斷言極限不存在;(1)(2)找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,第二十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限23第二十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的極限例24說明，二元極限問題有時可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題第二十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義25第二十五張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義26如果定義全增量與一元函數(shù)一樣, 可用增量形式來描述函數(shù)的連續(xù)性。由此，可得到二元函數(shù)的連續(xù)性的另外一種表述第二十六

9、張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性的定義27第二十七張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)的定義 28與一元初等函數(shù)的連續(xù)性類似，多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的第二十八張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.最值定理（最大值、最小值定理）29在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得最大值和最小值2.介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在必能取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次第二十九張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元數(shù)極限、連續(xù)性的應(yīng)用練習(xí)130第三十張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月多元數(shù)極限、連續(xù)性的應(yīng)用31第三十一張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月歸納梳理1.二元函數(shù)的定義32第三十二張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月歸納梳理2.二元函數(shù)的極限定義33第三十三張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月歸納梳理3.二元函數(shù)的連續(xù)性的定義34第三十四張，PPT共三十七頁，創(chuàng)作于2022年6月歸納梳理3.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。35在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得最大值和最小值