矩陣與變換復習

1、矩陣與變換2.1.1 矩陣的概念1.矩陣的概念，零矩陣，行矩陣，列矩陣;2.矩陣的表示；3.相等的矩陣;2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法1.二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則;2.理解矩陣對應著向量集合到向量集合的映射;3.待定系數法是由原象和象確定矩陣的常用方法.2.1 二階矩陣與平面向量的矩形數字（或字母）陣列稱為矩陣.通常用大寫黑體的拉丁字母A、B、C表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分別表示元素aij 所在的行與列. 同一橫排中按原來次序排列的一行數（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一行數（或字母）叫做矩陣的列. 組成矩陣的每一個數（或字母）稱為矩陣的元素。2.2

2、.1 恒等變換2.2.2 伸壓變換2.2.3 反射變換2.2.4 旋轉變換2.2.5 投影變換2.2.6 切變變換2.2 幾種常見的平面變換恒等變換矩陣(單位矩陣): 恒等變換: 對平面上任何一點(向量)或圖形施以矩陣 對應的變換,都把自己變成自己。這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣(單位矩陣). 恒等變換矩陣實施的對應變換稱為恒等變換。二階單位矩陣一般記為E垂直伸壓變換矩陣： 伸壓變換： 將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮,或作沿x軸方向伸長或壓縮的變換矩陣,通常稱做沿y軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣. 伸壓變換矩陣對應的變換稱為垂直伸壓變換,簡稱伸壓變換. 一般地，稱形如M1,M2,M3,M4,M5

3、這樣的矩陣為反射變換矩陣，對應的變換叫做反射變換，其中（2）叫做中心反射，其余叫軸反射.其中定直線叫做反射軸，定點稱為反射點.M(l1a+l2b) = l1Ma+l2Mb 上式表明，在矩陣M的作用下，直線l1a+l2b 變成直線 l1Ma+l2Mb. 這種把直線變成直線的變換，通常叫做線性變換。 反之，平面上的線性變換可以用矩陣來表示，但二階矩陣不能刻畫所有平面圖形的性變換。(即形如 的幾何變換叫做線性變換)旋轉變換矩陣 通常叫做旋轉變換矩陣.對應的變換稱做旋轉變換.其中的角q做旋轉角.點O叫做旋轉中心. 旋轉變換只改變幾何圖形的位置，不會改變幾何圖形的形狀.圖形的旋轉由旋轉中心和旋轉角度決定

4、. (1)投影變換的幾何要素: 投影方向, 投影到的某條直線L. (2)投影變換矩陣能反映投影變換的幾何要素 (3)與投影方向平行的直線投影于L的情況是某個點 (4)投影變換是映射,但不是一一映射像 這類將平面內圖形投影到某條直線相應的變換稱做投影變換.(或某個點)上的矩陣,我們稱之為投影變換矩陣,投影變換平移|ky|個單位:當ky0時，沿x軸正方向移動；當ky0)， 或者方向相反(l0).特別地，當l=0時，特征向量被變換成了0向量.2.5 特征值與特征向量建構數學設矩陣A ，lR，我們把行列式稱為A的特征多項式。分析表明，如果l是矩陣A的特征值，則f (l)=0此時，將l代入方程組(*)，得到一組非零解即 為矩陣A的屬于l的一個特征向量. 如果a是矩陣A的屬于特征值l的一個特征向量，則對任意的非零常數t，ta也是矩陣A的屬于特征值l的特征向量。【定理1】屬于矩陣的同一個