2020_2021學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)專題強化練7雙曲線的綜合運用含解析選擇性必修第一冊

1、PAGE PAGE 6專題強化練7雙曲線的綜合運用一、選擇題1.()已知雙曲線E:x24-y2b2=1(b0)的左頂點為A,右焦點為F.若B為雙曲線E的虛軸的一個端點,且ABBF=0,則F的坐標為()A.(5-1,0)B.(3+1,0)C.(5+1,0)D.(4,0)2.()已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦點為F,離心率為2,若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=13.(2020吉林長春實驗中學(xué)高二上期中,)如圖所示,雙曲線x2a2-y2b2=1(a

2、0,b0)的左,右焦點分別是F1,F2,過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于點M,連接MF2,若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為(深度解析)A.6B.3C.2D.54.()已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡方程是()A.x2+y23=1B.x2-y23=1C.x23+y2=1D.x23-y2=15.(多選)()已知F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0且ab)的左、右焦點,P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點,O為坐標原點.下面四個命題正確的是(

3、)A.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=a上B.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=b上C.PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上D.PF1F2的內(nèi)切圓必經(jīng)過點(a,0)二、填空題6.(2018天津和平期末,)已知橢圓x26+y22=1與雙曲線x23-y2=1的公共焦點為F1,F2,點P是兩條曲線的一個公共點,則cosF1PF2的值為.7.()設(shè)過原點的直線與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于P,Q兩個不同的點,F為C的一個焦點,若tanPFQ=43,|QF|=5|PF|,則雙曲線C的離心率為.三、解答題8.()已知雙曲線E的兩個焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),并

4、且E經(jīng)過點P(2,3).(1)求雙曲線E的方程;(2)過點M(0,1)的直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點,求直線l的方程.易錯9.()已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的實軸長為43,焦點到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使OM+ON=tOD,求t的值及點D的坐標.答案全解全析一、選擇題1.C依題意得,A(-2,0),F(c,0),其中c2=4+b2,設(shè)B(0,b),則AB=(2,b),BF=(c,-b),ABBF=2c-b2=0,因此,c2-2c-4=0,解得c=1+5或c=1-5(舍

5、去).F(5+1,0),故選C.2.B設(shè)雙曲線的左焦點F(-c,0),由離心率e=ca=2,得c=2a,則雙曲線為等軸雙曲線,即a=b,雙曲線的漸近線方程為y=bax=x,經(jīng)過F(-c,0)和P(0,4)兩點的直線的斜率k=4-00+c=4c,則4c=1,解得c=4,則a=b=22,雙曲線的標準方程為x28-y28=1.故選B.3.B解法一:在RtF1F2M中,|F1F2|=2c,MF1F2=30,|MF1|=2ccos30=433c,|MF2|=233c.因此,2a=|MF1|-|MF2|=233c,e=ca=3,故選B.解法二:依題意得Mc,b2a,tan30=kF1M=b2a-0c-(-

6、c)=b22ac=33.因此,2ac=3b2=3c2-3a2,3e2-2e-3=0,解得e=3或e=-33(舍去).故選B.解題模板解決雙曲線的幾何性質(zhì)問題,可用代數(shù)法,也可用幾何法.綜合運用幾何性質(zhì)解題可簡化運算,平時要多加積累.4.B如圖,當點P在y軸左側(cè)時,連接ON,PF1,則|ON|=12|F2M|=1,所以|F2M|=2.結(jié)合PN為線段MF1的垂直平分線,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2|F1F2|=4.同理,當點P在y軸右側(cè)時,|PF1|-|PF2|=20,b0),則c=2,4a2-9b2=1,c2=a2+b2,解得a

7、2=1,b2=3,所以雙曲線E的方程為x2-y23=1.(2)當直線l的斜率不存在時,顯然不合題意,所以可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,x2-y23=1,得(3-k2)x2-2kx-4=0(*),當3-k2=0,即k=3或k=-3時,方程(*)只有一解,直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點,此時,直線l的方程為y=3x+1;當3-k20,即k3時,要使直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點,則=(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得k=2,此時,直線l的方程為y=2x+1.綜上所述,直線l的方程為y=3x+1或y=2x+1.解法二:(1)由已知可設(shè)雙曲線E的方程為x2a2-

8、y2b2=1(a0,b0),根據(jù)雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a,即2-(-2)2+32-(2-2)2+32=2a,所以a=1,因為c=2,所以b2=c2-a2=3,所以雙曲線E的方程為x2-y23=1.(2)同解法一.易錯警示直線與雙曲線有且只有一個公共點,有兩種情況,一是切線,二是平行于漸近線,解題時防止遺漏導(dǎo)致解題錯誤.9.解析(1)由題意知a=23,所以一條漸近線為y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,所以b2=3.所以雙曲線的方程為x212-y23=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入