學(xué)年計(jì)算機(jī)方向課程大二下代組chapter17

1、17.7 群的同態(tài)與同構(gòu)定義 稱 f 為G1到G2的同態(tài)，如果f: G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y)實(shí)例: (1) 整數(shù)加群的自同態(tài)：fc(x) = cx，c為給定整數(shù)(2) 模n加群的自同態(tài)：p=0,1,n1fp(x) = (px) modn,(3) G1=,G2=,G1到G2的滿同態(tài)f:ZZn, f(x)=(x) mod n說(shuō)明: 將群看成代數(shù)系統(tǒng)，則同態(tài)f 滿足：f(e1)=e2 ，f(x1)=f(x)11同態(tài)的性質(zhì)同態(tài)保持元素的性質(zhì)f(e1)=e2，f(x1)=f(x)1，滿同態(tài)f 將生成元映到生成元| f(a)| 整除 |a|，同構(gòu)條件下|f(a)| = |a|

2、同態(tài)保持子代數(shù)的性質(zhì)HG1 f(H)G2HG1, f 為滿同態(tài)，f(H)G2同態(tài)核的性質(zhì),kerf = x | xG, f(x)=e2 kerf=e1 f 為單同態(tài)kerf G1，a,bG1,f(a)=f(b) akerf = bkerf同態(tài)基本定理N為G的正規(guī)子群，則G/N是G的同態(tài)像若G為G的同態(tài)像（f(G)=G），則G/kerf G.2同態(tài)核性質(zhì)的證明定理 1若 f 為G1到G2的同態(tài)，則(1) kerf G1(2) a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf證: (1) 證子群. 顯然kerf 非空. a,bkerf,f(ab1) = f(a)f(b)1 = e2e

3、1=e2 ab1kerf2正規(guī)性證明. gG1, akerf,f(gag1) = f(g)f(a)f(g1)= f(g)f(g1) = f(e1)=e2gag1kerf(2) f(a)=f(b) f(a)1f(b)=e2 f(a1b)=e2 a1bkerf akerf = bkerf3同態(tài)基本定理4同態(tài)基本定理證：由定理1知，5同態(tài)基本定理6同態(tài)基本定理定理2表明，商群總是群的同態(tài)像定理3表明，群的同態(tài)像一定與某個(gè)商群同構(gòu)因此同態(tài)基本定理表明，在同構(gòu)意義下，群的同態(tài)像就是它的商群，因而確定群的全部同態(tài)像等價(jià)于找出該群的全部正規(guī)子群。7同態(tài)基本定理8循環(huán)群的同態(tài)像9循環(huán)群的同態(tài)像由同態(tài)基本定理，

4、在同構(gòu)意義下，群的同態(tài)像就是它的商群。再結(jié)合定理4得推論循環(huán)群的商群也是循環(huán)群。綜合有：循環(huán)群的子群還是循環(huán)群；循環(huán)群的同態(tài)像還是循環(huán)群；循環(huán)群的商群也是循環(huán)群。10同態(tài)下子群間的關(guān)系11同態(tài)下子群間的關(guān)系12同態(tài)下子群間的關(guān)系13同態(tài)下子群間的關(guān)系 14同態(tài)下子群間的關(guān)系15群的第一同構(gòu)定理16群的第一同構(gòu)定理17群的第一同構(gòu)定理18群的第一同構(gòu)定理19第一同構(gòu)定理20群的第一同構(gòu)定理HK=hK|hK=Kh|hK=KH21群的第二同構(gòu)定理22K4=(1), (12)(34),(13)(24), (14)(23)群的第二同構(gòu)定理習(xí)題33(1)23群的第三同構(gòu)定理24群的第三同構(gòu)定理25自同態(tài)與

5、自同構(gòu)EndG：G 的自同態(tài)的集合AutG： G 的自同構(gòu)的集合InnG： G 的內(nèi)自同構(gòu)的集合內(nèi)自同構(gòu) fx：GG,關(guān)系：InnG AutG EndGEndG 為獨(dú)異點(diǎn)AutG 為群InnG 為 AutG 的正規(guī)子群IG=fe 屬于InnGfx(a)=xax126實(shí)例Z6= 0, 1, 2, 3, 4, 5 ， G=,fp:Z6Z6, fp(x)=(px)mod6f0(x)=0,f1=IG,f2(0)=f2(3)=0,f2(1)=f2(4)=2,f2(2)=f2(5)=4f3(0)=f3(2)=f3(4)=0,f3(1)=f3(3)=f3(5)=3f4(0)=f4(3)=0,f4(1)=f4(4)=4,f4(2)=f4(5)=2f5(0)=0, f5(1)