高考數(shù)學開放題的類型及解題策略

1、高考數(shù)學開放題的類型及解題策略數(shù)學開放題是相對于條件完備、結(jié)論確定的封閉題而言的，是指那些條件不完 備、結(jié)論不確定的數(shù)學問題。條件完備、答案固定的數(shù)學題在發(fā)展學生思維、 提高學生素質(zhì)方面帶有一定的局限性，而開放性試題以其復雜多變、綜合性 強、知識覆蓋面寬，注重考察探索精神和創(chuàng)新意識等特征而逐漸成為高考熱 點?？v觀近幾年高考試題，開放性試題的趨勢有增無減。本文對近幾年高考數(shù) 學開放性試題進行歸類，并分別探討它們的解題策略。一、條件開放型：此類試題，命題中已給出結(jié)論，但題設(shè)的條件不充分，需探求結(jié)論成立的條件 或部分條件。求解此類問題時，應運用“執(zhí)果索因法”尋求結(jié)論成立的充分條 件。例如：（1998

2、年全國理）在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足條件時，有A1C_LB1D1.（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考 慮所有可能的情形。）解析：由已知,BD/B1D1,要使A1C_LB1D1,只需A1CLBD.由三垂線定理知, ACLBD即可。當然，答案也可以是ABCD是正方形，或菱形等。二、條件、結(jié)論均開放型：此類試題，條件、結(jié)論均是開放的，要求考生自己去探索，沒有現(xiàn)成 的公式可套。求解此類問題時，應先組成命題，再通過代數(shù)運算或邏輯推理去 驗證真假。例如（1999年全國高考理科試題）B是兩個不同的平面，m、n是平面 Q及B之外的兩條不同的直線，給出四個論斷（1）

3、 mn , （2）Q B （3）n B （4）m a .以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié) 論，寫出你認為正確的一個命題?！苯馕觯河深}意，可組成四個命題，逐一判斷，得到答案是“m一 a , n P , a P =m_nn 或,m一n, m- Q , n B = Q，B ”。三、結(jié)論探索型此類題型的結(jié)論不明確，或結(jié)論不唯一。求解此類問題時，可以“執(zhí) 因索果”直推結(jié)論，也可以綜合運用觀察，分析、類比、劃歸、特殊化等方法 猜想結(jié)論，再“執(zhí)果索因”，論證猜想。例如（2003年全國高考理）設(shè)an是集合2t+2s OWsVt,且s, tZ中所 有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列,即al = 3, a2=

4、6, a4=9, a5 = 10, a6= 12,將數(shù)列an各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：35 69 10 12(i)寫出這個三角形數(shù)列表的笫四行、第五行各數(shù)；(ii)求 alOO.解析：(i)第四行17 18 20 24第五行 33 34 36 40 48(ii)設(shè)al00= + ,只須確定正數(shù)t0, sOo數(shù)列an中小于的項構(gòu)成的子集為2t+2s|0st0,向量c= (0, a) , i= (b 0).經(jīng)過原 點。以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A (0, a)以i2、c為方向向量 的直線相交于點P,其中X GRO試問：是否存在兩個定點E、F,使得PE + |P

5、F|為定值。若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由。解析：由已知 c+、i= ( X, a) , i-2Xc= (b -2Xa) o 因此，直線 OP 和AP的方程分別為A y=ax 和 ya=2 A ax.消去參數(shù)人，得點P (x, y)的坐標滿足方程y (y-a) =-2a2x2,整理得因為a0,所以得：(i)當&二時，方程是圓的方程，故不存在合乎題意的定點E和F；(ii)當OVaV時，方程表示橢圓，焦點E ()和F (一)為合乎題意 的兩個定點；(iii)當d時，方程也表示橢圓，焦點E (0,)和F (0,)為 合乎題意的兩個定點。五、分類討論型解決此類試題，必須確定好分類標準，并

6、按此標準對問題進行正確分類，使復 雜問題簡單、清晰起來。例如：(2002年全國)，設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f (x) =x2+|x-a|+l, xR。(1)討論f(X)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值。解析：(1)當a = 0時，f (-x) =f (x)為偶函數(shù)；當dWO時，f (a) Wf (-a),即f (x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。(2) (i)當 x時， fmin =f ()；(ii)當 時，f (x) = (x+ ) 2 a+ ,仿(i)得：若 a W 時，fmin=f ()；若 a時、fmin=f (a)。綜上，當 a W一時，fmin = f (一 ) = a；當一VaW 時，

7、fmin = f (a) = a2 + l；當時，fmin = f ( ) = +a。六、策略開放型此類題型具有答案多元型和解法的多樣性，解題時必須全方位、多層次、多角 度地分析條件和結(jié)論，嘗試使用不同的方法，采用多種途徑去探索與論證，力 求保證解答過程的嚴謹性和完備性。例如(1999年上海)若四面體各棱長是1或2,但該四面體不是正四面體，則 其體積的值是(只須寫一個可能的值)解析：先考慮四面體的存在性，由題可知符合條件的四面體有三種，分類如 下：(1)四面體中有三條棱長是1,三條棱長是2,即底面邊長分別是1, 1, b則棱長分別是2, 2, 2； (2)兩條棱長是1,四條棱長是2； (3) 一條棱 長是1,五條棱長是2。對于每個四面體，先求其高后求其體積，或利用分割 法(作垂直于棱的截面)求其體積，可求得體積為 乂如(2002年北京理)關(guān)于直角AOB在定平面a內(nèi)的射影有如下判斷：(1)可能是0。的角；(2