高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義56離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義五十六離散型隨機(jī)變量的均值與方差知識(shí)梳理1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差n(2)D(X) =71 (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根 例兩為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.二項(xiàng)分布的均值、方差若 XB(n, p),則 EX=np, DX=np(1-p).兩點(diǎn)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則 EX=p(p為成功概率)，DX = p(1-p).離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì)E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b) = a2D(X) (a, b 為常數(shù)).典例剖析題型一離散型隨機(jī)變量的均值與方差例1

2、已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P3_3_151010則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.3答案2解析 E(X)=1X3+2X 3_+3X，= 15 = 3川”匚。15丁 乙 10丁。 10102.變式訓(xùn)練隨機(jī)變量E的分布列如下，其中 a、b、c為等差數(shù)列，若 EE=；則DE的值為3 TOC o 1-5 h z E-1Pab c5答案9解析由分布列得a+ b+c=1,由期望E($ = 1得一a+c= 1, 33由a、b、c為等差數(shù)列得2b=a+c,59.由得a=2，b=J, c=J， 632 .DE解題要點(diǎn) 如果已知兩邊一角或是兩角一邊解三角形時(shí)，通常用正弦定理.題型二二項(xiàng)分布的均值與方差例2 (

3、2015廣東理)已知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 B(n, p),若E(X)=30, D(X) = 20,則p答案31解析 依題意可得 E(X)=np=30,且 D(X)=np(1-p) = 20,解得 p=-.3變式訓(xùn)練某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了 1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為 X,則X的均值為 .答案 200解析記“不發(fā)芽的種子數(shù)為r ,貝U 3B(1 000, 0.1),所以 EE= 1 000X0.1 = 100,而 X=2E,故 EX=E(2 $=2EE= 200.例3 (2013福建節(jié)選)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩

4、種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為2,中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為2,中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不 35得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的均值較大？E(2X1),選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為解析 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(3X2), TOC o 1-5 h z 由已知可得，XiB(2, 2), X2B(2, 2), 352 42 4所以 EXi = 2X3=-, E

5、X2=2X5=5,812從而 E (2Xi )=2 EXi = , E3X2= 3EX2=至， 35因?yàn)?E(2Xi)E(3X2),所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大.方法二 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為Xi,都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2,則Xi, X2的分布列如下：X1024P144999X2036P9251225425144 8912412所以 EX1 = 0X9+2x9 + 4x9=3, EX2=0 x25 + 3X3+6x 25 = y.因?yàn)?EXEX2,所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大.解題要點(diǎn) 求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先

6、分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果XB(n,p),則用公式E(X)=np； D(X)= np(1 p)求解，可大大減少計(jì)算量.題型三離散型隨機(jī)變量的均值與方差有關(guān)的應(yīng)用題 例4 (2015安徽理)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出 3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).A.解析(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正

7、品”為事件P(A) =A2A3a2310.(2)X的可能取值為200, 300, 400.A21P(X=200)=A1=-,A3+C2c3A23P(X=300)= A3P(X = 400) = 1-P(X = 200)-P(X = 300)136=1一記一記，.故X的分布列為13E(X)= 200X-+300X X200300400P1103 而610卜 400X=350.10變式訓(xùn)練(2015四川理)某市A, B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了 3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了 3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取 3

8、人.女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取 4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)， 求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名，參賽學(xué)生全從 B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為 零=長(zhǎng),C6c6 100因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為,1991 -=100 100.p(X=1)=育=5 TOC o 1-5 h z (2)根據(jù)題意，X的可能取值為1, 2, 3, c3c31C2C2 3P(X=2)=方=5C3c31p(X=3) =育=5 所以X的分布列為X12

9、3P-3 1555 TOC o 1-5 h z 因此,X 的數(shù)學(xué)期望為 E(X)= 1 XP(X= 1)+2XP(X= 2) + 3X P(X= 3)= 1 X1 + 2X-+3X- = 2.555解題要點(diǎn)求離散型隨機(jī)變量 E的均值與方差的方法: (1)理解E的意義，寫出E可能取的全部值;(2)求E取每個(gè)值的概率;寫出E的分布列;(4)由均值的定義求E(9;(5)由方差的定義求 D(?.當(dāng)堂練習(xí). (2015安徽理)若樣本數(shù)據(jù)xi, X2,，xio的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2xi1, 2x21,，2xio 1的標(biāo)準(zhǔn)差為.答案 16解析 已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2,，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s=8,則s2 = 6

10、4,數(shù)據(jù)2x11, 2x21,， 2x10 1的方差為22s2= 22X 64,所以其標(biāo)準(zhǔn)差為 ,22X 64 = 2X 8= 16.某射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列如下：78910Px0.10.3y已知E的均值EE=8.9,則y的值為.答案 0.4x+ 0.1 + 0.3 + y= 1解析由可彳#y=0.4.7x+8X 0.1 + 9X 0.3+10y=8.9 TOC o 1-5 h z 、一 ，1 一.設(shè)隨機(jī)變量 E的分布列為P(E= k)=-(k=2, 4, 6, 8, 10)則DE等于.5答案 8解析EE= g(2 + 4+6+8 + 10)=6, D) = 1( - 4)2+(-2)2+

11、 02+22+42= 8.55. 一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6,現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的均值為 .答案 2.376解析 X的所有可能取值為3, 2, 1, 0,其分布列為X3210P0.60.240.0960.064 .EX = 3X 0.6+2X 0.24+1 X 0.096 + 0X 0.064=2.376.I ，一 一，_1 L5.(2014局考浙江卷)隨機(jī)變量E的取值為0,1,2.若匕衛(wèi)=0)=.E(尸1,則D(?=5答案25解析設(shè) P( E= 1)= a, P( E= 2)= b,15+ a+ b=1,則5解得a+2b= 1,3 a

12、=5.1 b=5，一一, 1 312所以 D(A5+3X31 工.課后作業(yè)一、填空題.設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且概率都是0.4, 一人的上班途中有 3個(gè)交通崗，則此人遇紅燈的次數(shù)的期望為 .答案 1.2解析 二.途中遇紅燈的次數(shù) X服從二項(xiàng)分布，即 XB(3, 0.4), E(X)=3X 0.4=12.若E是離散型隨機(jī)變量，3升2,則.E(r)= 3E(?+2, D(=9D(9E(r)=3E(3, D(力=9D(?E(r)= 3E(?+2, D(=9D(9+2E(r)=3E(3, D(力=9D(?+4答案.簽盒中有編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6的六支簽，從中任意取3支，

13、設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則 X的數(shù)學(xué)期望為 .答案 5.25解析 由題意可知，X可以取3, 4, 5, 6,11八 C33L C23C C21P(X=3)=CT20 P(X=4)=C1=20, P(X=5) = cI=io, P(X=6)=C3=2.由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X) = 3X20+4x20+5X130+6X2 = 5.25.4.若隨機(jī)變量E的分布列如下表，則 E(9的值為.012345P2x3x7x2x3xx答案290解析根據(jù)概率和為1求出120 x=宿，E( 9= 0X 2x+ 1 X 3x+ 2 X 7x+ 3 X 2x+ 4X 3x+ 5 X x= 40 x=.

14、5.由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況為：a(甲得分)012P(& = xi)0.20.50.3被乙得分)012P(垣=xi)0.30.30.4答案 0.7現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好？ .答案甲解析 E(&)=E(&)=1.1, D(Ei) = 1.12x 0.2+ 0.12X0.5+ 0.92X0.3= 0.49, D( 2)= 1.12 X 0.3 + 0.12X 0.3+0.92 X 0.4=0.69, -D( &)4+(0-0)2X+ (2-0)2x4= 2.二、解答題. (2015重慶理)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，

15、肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A) =C2c1c50r=14.(2)X的所有可能值為0, 1, 2,且c87,、 c2c87c、c2c11P(X=0)=C10= P(X=1)=1T= P(X=2)=嬴=行.綜上知，X的分布列為X012P715715115故 E(X)=0 xj1 xZ+2X, = 3)151515 5( 1 ) ,. (2015天津理)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇 4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出