構建知識體系 (4)

1、第2課時勾股定理的應用新課導入提問 這節(jié)課我們就來學習用勾股定理解決實際問題.學習目標學習重、難點 1.能應用勾股定理計算直角三角形的邊長. 2.能應用勾股定理解決簡單的實際問題. 重點：運用勾股定理求直角三角形的邊長. 難點：從實際問題中構造直角三角形解決生產(chǎn)、生活中的有關問題.推進新課知識點 1用勾股定理解決問題例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3 m，寬2.2 m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？ 已知條件有哪些？觀察1.木板能橫著或豎著從門框通過嗎？2.這個門框能通過的最大長度是多少？不能3.怎樣判定這塊木板能否通過木框？求出斜邊的長，與木板的寬比較.解：在RtABC中，根據(jù)勾股

2、定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5AC= 2.24 因為AC大于木板的寬2.2 m，所以木板能從門框內(nèi)通過例2如圖，一架2.6米長的梯子AB 斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO 為2.4米（1）求梯子的底端B距墻角O多少米？（2）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米嗎？CODBA在RtCOD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：在RtAOB中，根據(jù)勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.練習1.如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得BC=60 m，A

3、C=20m.求A，B兩點間的距離（結果取整數(shù)）.解:2.如圖，在平面直角坐標系中有兩點A（5，0）和B（0，4）.求這兩點之間的距離.解:由圖可知兩點之間的距離為AB的長.知識點 2勾股定理的應用思考 在八年級上冊中我們曾經(jīng)通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？已知：如圖，在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，AC=AC.求證： ABCABC.證明：在RtABC和RtABC中，C=C=90根據(jù)勾股定理，得又AB=AB, AC=AC，BC=BC.ABCABC（SSS）.探究我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無

4、理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示 的點嗎？分析：13開方就是 ，如果一個三角形的斜邊長為 的話，問題就可迎刃而解了。發(fā)現(xiàn) 是直角邊分別為2，3的直角三角形的斜邊長。23O 1 2 3ABC提問你能用語言敘述一下作圖過程嗎？在數(shù)軸上找到點A，使OA=3;作直線lOA，在l上取一點B，使AB=2;以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點，則點C即為表示 的點。123下面都是利用勾股定理畫出的美麗圖形。練習1.在數(shù)軸上作出表示 的點.解：如圖的數(shù)軸上找到點A，使OA=4,作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB=1，以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C即為表示 的點.2.如圖，等邊

5、三角形的邊長是6.求：（1）高AD的長；（2）這個三角形的面積.解：（1）ADBC于D，則BD=CD=3.在RtABD中，由勾股定理AD2=AB2-BD2=62-32=27，故AD=3 5.2 （2）S= BCAD= 63 15.6隨堂演練基礎鞏固1.求出下列直角三角形中未知的邊.AC=8AB=172.直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形面積為7和8，則以斜邊為邊長的正方形的面積為 .153.如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上的一點，現(xiàn)測得CB=60m，AC=20m.求A，B兩點間的距離(結果取整數(shù)).4.如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(5，0)和B(0，4)，

6、求這兩點間的距離.解： 綜合應用解：點A即為表示 的點. 5.在數(shù)軸上作出表示 的點.誤 區(qū) 診 斷在ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則ABC的周長為()A.32B.42C.32或42D.以上都不對錯解：A或B誤 區(qū) 涉及等腰三角形的高的問題時忽略分類討論錯因分析：如圖，CD在ABC內(nèi)部時，AB=AD+BD=9+5=14，此時，ABC的周長=14+13+15=42，如圖，CD在ABC 外部時，AB=AD-BD=9-5=4，此時，ABC的周長=4+13+15=32.綜上所述，ABC的周長為32或42.故選C.正解：C課堂小結勾股定理的應用化非直角三角形為直角三角形將實

7、際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型思考這是我們剛上課時提出的問題，現(xiàn)在你會算了嗎？解：設水深為h尺.由題意得：AC= ,BC=2,OC=h,由勾股定理得：1.從課后習題中選??；2.完成練習冊本課時的習題。課后作業(yè)教學反思本課時的教學內(nèi)容是用勾股定理解決簡單的實際問題，運用到的思想是數(shù)形結合的思想.在實際生活中，很多問題需要用到勾股定理去解決.因此在解決此類問題時，先要將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，就本課時而言，關鍵是要通過構造直角三角形來完成，所以教師在教學時，應注意教學生如何構造直角三角形，找出已知的兩個量，并讓學生動手畫出圖形，教師再給予適時點撥.此處，教師還應關注學生所用語句的規(guī)范性，盡量讓學生用數(shù)學語言

8、來描述.習題17.1復習鞏固1.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=12,b=5，求c；（2）已知a=3,c=4，求b；（3）已知c=10,b=9，求a.c =132.一木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處.木桿折斷之前有多高？解:如圖，根據(jù)題意ABC是直角三角形，其中AC=3m，BC=4m.AB2=AC2+BC2=32+42=52.AB=5，又AC+AB=8，所以木桿折斷之前有8m高.3.如圖，一個圓錐的高AO=2.4，底面半徑OB=0.7.AB的長是多少？解:圓錐的高AO，半徑OB，母線AB構成直角三角形，在RtAOB中，由勾股定理:AB2=A

9、O2+BO2=2.42+0.72=5.76+0.49=6.25，所以AB=2.5.所以AB的長為2.5.4.已知長方形零件尺寸（單位：mm）如圖，求兩孔中心的距離（結果保留小數(shù)點后一位）.解:由圖:AC=40-21=19mm，BC=60-21=39mm，在RtABC中，ACB=90，由勾股定理:AB2=AC2+BC2=192+392=1882，AB43.4 (mm)所以兩孔中心的距離約為43.4mm.5.如圖，要從電線桿離地面5 m處向地面拉一條長為7 m的鋼纜.求地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離（結果保留小數(shù)點后一位）.解：由勾股定理：AB2=72-52=24，AB=2 4.9（m）所以

10、地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離約為4.9m.6.在數(shù)軸上作出表示 的點.解：在如圖的數(shù)軸上找到一點A，使OA=4，作直線l垂直于OA，在l上取一點B，使AB=2，以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點C即為表示 的點.綜合應用7.在ABC中，C=90，AB=c.（1）如果A=30，求BC，AC;（2）如果A=45，求BC，AC;解:（1）BC= AB= c.由勾股定理：AC2=AB2-BC2=c2- c2= c2，所以AC= c；7.在ABC中，C=90，AB=c.（2）如果A=45，求BC，AC;解:（2）AC=BC.由勾股定理：AC2+BC2=AB2，即2AC2=c2，AC

11、2= ，所以AC=BC= c.8.在ABC中，C=90，AC=2.1，BC=2.8，求：（1）ABC的面積；（2）斜邊AB；（3）高CD.解：（1）S= ACBC= 2.12.8=2.94（2）由勾股定理：AB=CD=1.689.已知一個三角形工件尺寸（單位：mm）如圖，計算高l的長（結果取整數(shù)）.解：由圖可以看出l的長是等腰三角形底邊上的高.由勾股定理，10.有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？解：設水深為x尺，則這根蘆葦?shù)母邽椋▁+1） 尺，根據(jù)

12、題意和勾股定理可列方程：x2+52=（x+1）2，解得x=12.11.如圖，在RtABC中，C=90，A=30，AC=2.求斜邊AB的長.解：在RtABC中，C=90,A=30,AB=2BC，設BC=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理： x2+22=(2x)2，解得x= ，AB= .12.有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖.請把它們分割后拼接成一個大正方形.解：分割小正方形，如圖（1），拼接大正方形，如圖（2）.拓廣探索13.如圖，分別以等腰RtACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓.求證：所得兩個月形圖案AGCE和DHCF的面積之和（圖中陰影部分）等于RtACD的面積.證明：RtACD為等腰三角形，設AC=CD=x，則AD= ，故兩個小半圓的半徑為 ，半圓ACD的半徑為 .觀察圖形可知：S半圓AEC+S半圓CFD+SACD-S半圓ACD即為陰影部分面積，即 ，所以圖中陰影部分面積等于RtACD的面積.14.如圖，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的頂點A在ECD的斜邊DE上.求證：AE2+AD2=2AC