方差協(xié)方差(ppt)課件

1、4.2 方差一. 定義與性質(zhì)方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng) 程度的一個(gè)數(shù)字特征。？如何定義？引例 甲、乙兩射手各打了6 發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解 首先比較平均環(huán)數(shù)甲 = 8.3,乙 = 8.3有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)4.2 方差再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙 E X - E(X)2一、方差的定義又記稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 設(shè)X是隨機(jī)變量，若期望 存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記為關(guān)于方差的定義和計(jì)算作如下的說明：1)

2、為什么用 的均值 來衡量隨機(jī)變量X與均值 的分散程度？7首先想到的應(yīng)該是用 的均值 來表示 ， 但由于 會(huì)有正有負(fù),相互抵消，因此不能刻劃隨機(jī)變量 X 取值的分散程度.E(X)2) 由定義知,方差實(shí)際上就是隨機(jī)變量X的函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，設(shè)其分布律為則8 如果用 加絕對(duì)值 的期望值來刻劃隨機(jī)變量 X 的分散程度，因計(jì)算不方便 ，故采用 的期望 來刻劃隨機(jī)變量X的分散程度。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)X的概率密度函數(shù)為則證：在 已知的情況下,用上式計(jì)算方差,只需求出 即可。93) 常用的計(jì)算方差之公式二、方差的性質(zhì)c為常數(shù) c為常數(shù) 設(shè)X和Y相互獨(dú)立， 存在 則 的充要條件是：X依概率

3、1取常數(shù) c，即證：這里對(duì)性質(zhì)進(jìn)行證明, 的證明超過范圍 10同理可得合并兩式：X與Y獨(dú)立，也相互獨(dú)立故與由數(shù)學(xué)期望性質(zhì) 可得 此性質(zhì)可推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。11例1 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求D(X)解:于是三、常見分布的期望方差1.兩點(diǎn)分布設(shè)X服從參數(shù)為 的兩點(diǎn)分布，其分布律為12引進(jìn)隨機(jī)變量第i次事件A不發(fā)生第i次事件A發(fā)生而因此13所以且 相互獨(dú)立設(shè)2. 二項(xiàng)分布3、泊松分布X服從參數(shù)為 的泊松分布，其分布律為：144、均勻分布設(shè)其它即位于區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)。15因此，泊松分布的期望與方差都等于參數(shù) ,泊松分布只含一個(gè)參數(shù) , 因此,只要知道它的期望式方差，

4、就可確定它的分布。5. 指數(shù)分布 設(shè)X服從參數(shù)為 ( 0 為常數(shù))的指數(shù)分布16令176. 正態(tài)分布設(shè)令18 這就是說，正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度中的兩個(gè)參數(shù) 和 分別是該隨機(jī)變量的期望與方差，因而正態(tài)隨機(jī)變量的分布完全可由它的期望和方差確定。關(guān)于正態(tài)分布的一個(gè)重要結(jié)論:設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布則X,Y的任一線性組合:仍服從正態(tài)分布例2: (1)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立, 且服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布,而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)方布, 試求隨機(jī)變量 Z=2X-Y+3 的概率密度函數(shù). (2) 已知X,Y相互獨(dú)立同服從分布求21解: (1) 由題意知, 且X與Y相互獨(dú)立, 故X與Y的線性組合Z=

5、2X-Y+3仍服從正態(tài)分布,且而故于是Z的概率密度函數(shù)為 :故 X-Y 也服從正態(tài)分布.(2) 因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,22又因此故例3 已知X ,Y 相互獨(dú)立, 且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解故例4例4 設(shè)活塞的直徑（以cm計(jì)） ，氣缸的直徑 ,X與Y相互獨(dú)立.任取一只活塞, 任取一只氣缸,求活塞能裝入氣缸的概率解 由題意需求由于故有標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 則稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然，Ch4-23 4.4 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布邊緣分布 對(duì)二

6、維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. 數(shù)反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系 4.4協(xié)方差反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系一. 協(xié)方差 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y), 如果存在則稱它為X與Y的協(xié)方差，記為 即: 1. 協(xié)方差的定義22. 協(xié)方差的常用計(jì)算公式：Ch4-26 若 ( X ,Y ) 為離散型，若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 3. 協(xié)方差的基本性質(zhì): 31)2)3)證:1),2) 顯然。4）前面已證二、相關(guān)系數(shù) 對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X,Y) 稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)4對(duì)此定義作如下

7、說明1. 將隨機(jī)變量和標(biāo)準(zhǔn)化即令Ch4-29求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解 1 0 p qX Y P 例1Ch4-30例2 設(shè)(X,Y)具有概率密度求 Cov(X,Y).解：Ch4-32例3 設(shè) ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 例2則XY = 若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),則X ,Y 相互獨(dú)立X ,Y 不相關(guān)Ch4-33例4 設(shè) U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ), 是

8、給定的常數(shù)，求 XY 解例3Ch4-34Ch4-35若若有線性關(guān)系若不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系，但有函數(shù)關(guān)系2. 相關(guān)系數(shù) 滿足 1) 的充要條件是存在常數(shù)a,b2)證：1)由使5 此式說明相關(guān)系數(shù)實(shí)際上是隨機(jī)變量X和Y經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化之后新的隨機(jī)變量的協(xié)方差. 考慮新變量 與 之和的方差。2) 必要性，設(shè)則6由方差性質(zhì) 4) ,存在常數(shù)C，使得下式成立即得如果 可考慮也容易找到常數(shù) 使得7取充分性, 只要將代入 由此表明，當(dāng) 時(shí)，X，Y存在著線性關(guān)系，這時(shí)如果給定一個(gè)隨機(jī)變量之值，另一個(gè)隨機(jī)變量值便可完全決定。得到8 有線性關(guān)系是一個(gè)極端，另一極端是 場(chǎng)合。3. 若X與Y 的相關(guān)系數(shù) 則稱X與Y 不相關(guān)。Ch4-406.做n次試驗(yàn)，X、Y分別表示試驗(yàn)成功、失敗的次數(shù)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)為（ ） 1 ； -1 ； 0 ； 2.Ch4-41 X , Y 不相關(guān)X ,Y 相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)若 ( X , Y ) 服從二維正態(tài)分布，X , Y 相互獨(dú)立X , Y 不相關(guān)Ch4-42例4 設(shè) ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y-1 , 求 XZ解例4柯西-許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式 設(shè)X