建模與系統(tǒng)辨識

1、建模與系統(tǒng)辨識摘要：討論動態(tài)系統(tǒng)在運用控制理論進行自動調(diào)節(jié)，控制動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模 型的構建、描述及其分類。這個模型通過分類能夠對建模的做出較好的選擇，并 可按分布參數(shù)模型與集中參數(shù)模型作為區(qū)分模型類別的方式。系統(tǒng)辯識方法應能 夠消去所有擾動分量對系統(tǒng)的影響，而辨識方法的分類原則取決于所得數(shù)學模型 采用信號的形式。關鍵詞：建模；系統(tǒng)辮識；數(shù)學模型Modeling and System IdentificationAbstract: Discussing the dynamic system while using the control theory to carry on automatica

2、lly the construction, description and classification of the dynamic system mathematics model controlled. The model can classify and make better choice to different possibility of modeling. The system distinguishes the method and answers and can eliminate the influence of perturbations on the system,

3、 while the principle of distinguishing method category depends on the form of the signal of the mathematics model.Key words: modeling ;system identification； mathematics model1引言近年來，在許多過程控制領域，有關系統(tǒng)分析與建模的重要性日顯突出。尤 其在應用控制理論與自動化技術的工業(yè)系統(tǒng)中，如果沒有較為準確的描述被控裝 置的數(shù)學模型，那么，其綜合控制算法是不可能實現(xiàn)的。數(shù)學模型可以定義為:用數(shù)學結構來描述被建模系統(tǒng)各物理量

4、之間的關系。 抽象數(shù)學模型的提出通常需要進行各種簡化假設，其原因就是應將系統(tǒng)的復雜性 限制在一個可以接受的范圍內(nèi)，并滿足模型的精度要求。模型可按分布參數(shù)模型 與集中參數(shù)模型來分類，在分布參數(shù)5模型中系統(tǒng)的動態(tài)特性是以拋物、雙曲、 橢圓型各種偏微分方程來描述；而在集中參數(shù)模型中則以線性或非線性常微分方 程來描述。許多情況下，用分布參數(shù)模型描述的系統(tǒng)可簡化成復雜程度較低的集 中參數(shù)模型。通過辨識應該能夠消去所有擾動分量的影響。依照擾動信號的類型，已經(jīng)提 出了許多不同的方法。某些情況下，簡單計算均值與回歸就足夠了。而在低頻非 平穩(wěn)分量的情形下，則需要用濾波方法，它們適合特定形式的擾動信號。2建模2.

5、1數(shù)學建模必須遵守的原則（1）必須滿足對數(shù)學模型的精確性、簡明性、層次性、多用性、可靠性及標 準化等一般要求。（2）必須合理選擇模型的方法：計算機輔助建模法和系統(tǒng)辨識建模法現(xiàn)在比 較廣泛的使用。（3）數(shù)學建模經(jīng)?？紤]：模型功能能否滿足所研究問題的需要？模型是否合 理、經(jīng)濟、容易實現(xiàn)、穩(wěn)定？是否達到預期的模型精度要求？等等1。2.2建模的目的建模的目的是以所建的模型為基礎，進一次做出各種研究與決策，所以，模 型必須采取適合于應用目的的形式。一般來說，一個過程的模型總應比現(xiàn)實的過 程來得簡單，所以也可以說，模型是適當?shù)亟档土藦碗s程度的現(xiàn)實過程（或事物）， 主要方面的代表。系統(tǒng)的數(shù)學模型是系統(tǒng)本質(zhì)特

6、征的數(shù)學抽象，是建立系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)之間以及 與外作用之間最主要的相互作用、相互制約的數(shù)學表達式。建立模型主要目的有以下四個方面：研究在科學研究中，為了掌握事物發(fā)展與變化規(guī)律，以便更全面地更深刻的了解 它、研究它，現(xiàn)象的認識和素材，抽象與提高成理性的東西。被抽象出來的代表 事物本質(zhì)的模型。在工程實際中，一旦建立了系統(tǒng)模型后，就可以對該系統(tǒng)的動、 靜態(tài)特性有更深入全面的了解，有助了理解過程中所獲得的數(shù)據(jù)；提供探索和分 析不同工作條件及各種參數(shù)對該對象工作的影響，以便進一步改進系統(tǒng)及創(chuàng)造新 的系統(tǒng)。設計與計算在設計工作中，對被設計的系統(tǒng)，其中特別是比較復雜的系統(tǒng)，常常要進行 模擬、仿真等研究，以便比較

7、各種設計方案及選取合理的參數(shù)，使所設計的系統(tǒng) 達到設計的要求(如穩(wěn)定件、安定性、精度、產(chǎn)量等)。采用計算機設計的就稱為 計算機輔助設計。模型的建立就為以上工作提供了基礎。通過模型化，使系統(tǒng)能 進行數(shù)學處理。例如，只有確定了控制系統(tǒng)的模型的前提下，才有可能采用各種 最優(yōu)化的方法.對系統(tǒng)進行最優(yōu)分析和計算，才有可能綜合最優(yōu)控制的算法。調(diào)查與預測在工程實際中，最常見的應用系統(tǒng)模型的場合之一是調(diào)查與預測工程實際系 統(tǒng)工作的狀況與性能。眾所周知，一個工程系統(tǒng)的控制和運行水平，在很大程度 上取決于人們事先對于該系統(tǒng)特性的掌握和認識程度。建立正確的系統(tǒng)模型，有 肋于顯著地提高系統(tǒng)的控制和運行水平。在建立模型

8、的基礎上，對各種控制和運 行方式進行系統(tǒng)的模擬研究，這是利用模型進行調(diào)查和預測的主要手段之一。對實際系統(tǒng)進行控制在某些計算機控制系統(tǒng)中，需要將代表系統(tǒng)運動規(guī)律等的數(shù)學模型儲存在汁 算機中，對這些系統(tǒng)進行在線的最優(yōu)控制等。這些系統(tǒng)如塑料加工的注射機、數(shù) 控機床等自適應控制、導彈的軌跡控制等等。所以在這里必須用分析法線辨識法 求出所要求的數(shù)學模型。3動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學表達式要對動態(tài)系統(tǒng)進行辨識，選擇合適的數(shù)學模型是很重要的。用作系統(tǒng)辨識的 數(shù)學模型，應該使被辨識的參數(shù)盡量少，計算工作員盡可能小，同時數(shù)學模型本 身簡單、使用方便。用作系統(tǒng)辨識的數(shù)學模型有連續(xù)型，如通常的微分方程離散型，如差分方程；時域型

9、，如微分方程，頻域型，如通常的傳遞函數(shù)。作為系統(tǒng) 辨識最常用的數(shù)學模型，在時域型中，有脈沖響應函數(shù)、線性差分方程、狀態(tài)變 量方程等。這些方程各有特點，但它們都是可以相互轉換的。因為通常系統(tǒng)辨識 都在數(shù)字計算機上進行運算，因此離散型數(shù)學模型用得最為廣泛。下面就以微分 方程與傳遞因數(shù)為例來說明。dy%無* （1）在古典控制理論中，微分方程式是用來描述系統(tǒng)動態(tài)過程的一種重要數(shù)學表 達式。輸入量為u（t），輸出量y（t），一個線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式可 寫成：dnydn-1 yao 亦 +_% dtm-1 + b un-1b dn-1U + b dn-2 U + 0 dtu-11 dtn - 2

10、若令p=d稱為微分算子，則上式可改寫成dt.+ a py + a y + b u n-1+ a p + a ) y+ b )un-1a pny + a pn-1 y + . =b pn-1u + b pn-2U + (a pn + a pn-1 + =(b pn-1 + b pn-2 + .上式可寫成：y(t)b pn-1 + b pn-2 +U(t) a pn + a pn-1 +.+ bn-1+ a p + an - 1n（2）當玄 a ，a，.，a ，b ，b，b 勺 #7 當系數(shù)01 n 0 1 n均為常數(shù)，則稱為線性定常（時不變）系統(tǒng)，若它們是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)。設初始值

11、為零，將式（2）中p用s代替，則得傳遞函數(shù)為：.+ bH+ a s + an - 1 n（3）Y(s)b Sn-1 + b Sn-2 +U(s)a sn + a sn-1 +.=G (s)01所以傳遞函數(shù)是輸出量與輸入量的拉氏交換之比。式（3）可分解為如下形式:(4)(s - z )(s - z )(s - z )(s - z )G (s) = K123n-(s 一 r )(s 一 r )(s 一 r )(s 一 r )令上式分母部分等于零，就是系統(tǒng)的特征方程式，其根個I.?為G(s)的極點。G(s)的分子部分的根年z2,.七1稱為零點，這些極點與零點的形式(是復數(shù)還是實 數(shù))及數(shù)值就決定了系

12、統(tǒng)的動態(tài)特性3。4系統(tǒng)辨識4.1系統(tǒng)辨識的基本思想系統(tǒng)辨識的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)運行或試驗測得的數(shù)據(jù)，按照給定的“系統(tǒng) 等價準則”從一群候選數(shù)學模型集合中，確定給一個與系統(tǒng)特性等價的數(shù)學模型。 由于實際系統(tǒng)的機理往往是未知的，因此依據(jù)“系統(tǒng)等價準則”得到的模型大多 只是實際系統(tǒng)模型的某種近似，而不是準確的系統(tǒng)模型。所以，辨識模型一般也 稱為系統(tǒng)名義模型。依據(jù)上述系統(tǒng)辨識的基本思想，系統(tǒng)辨識包括三個主要因素，即候選數(shù)學模 型集，辨識準則及辨識算法。4.2辨識的對象與問題在控制過程中出現(xiàn)擾動將使系統(tǒng)的輸出信號受到影響，要依據(jù)所量測到的輸 人與輸出信號去確定準確的數(shù)學模型，具有相當大的困難。因此，必須

13、提出一種 方法，依憑它可將輸出信號分成含有信息的部分以及源于擾動的部分。辨識方法應該能夠消去所有擾動分量的影響。依照擾動信號的類型，已經(jīng)提 出了許多不同的方法。某些情況下，簡單計算均值與回歸就足夠了。而在低頻非 平穩(wěn)分量的情形下，則需要用濾波方法，它們適合特定形式的擾動信號。如果不能做到無誤差地量測輸人與輸出信號，那么過程現(xiàn)在還不能辨識。而 如果僅僅是輸出信號受量測誤差影響，這些誤差又疊加于輸出信號之上，則不會 發(fā)生新的困難。過程辨識的關鍵問題是使過程與模型之間的誤差盡可能地小。4.3辨識的內(nèi)容和步驟明確辨識目的。它決定模型的類型、精確要求及采用辨識方法。（2）掌握先驗知識。先驗知識如系統(tǒng)的非

14、線性程度、時變或非時變、比例或 積分特性、時間常數(shù)、過度過程時間、截止頻率，這些等等先驗知識對預選系統(tǒng) 數(shù)學模型種類和系統(tǒng)辨識試驗設計將起到指導性的作用。（3）利用先驗知識。選定和預測被辨識系統(tǒng)數(shù)學模型種類，確定實驗前假定 模型。（4）試驗設計。記錄輸入和輸出數(shù)據(jù)。如果系統(tǒng)是連續(xù)運行的，并且不允許 加入試驗信號，則只好用正常的運行數(shù)據(jù)進行辨識。（5）數(shù)據(jù)預處理。零均值化可采用差分法和平均法等方法，消除高頻成分可 采用低通濾波器。（6）模型結構辨識。在假定模型結構的前提下，利用辨識方法確定模型結構 參數(shù)，如差分方程的階次n和純遲延d等。（7）模型參數(shù)辨識。在模型結構確定后，選擇估計方法，利用測量

15、數(shù)據(jù)估計 模型中的未知參數(shù)。（8）模型檢驗。驗證所確定的模型是否當?shù)乇硎玖吮槐孀R的系統(tǒng)4。4.4系統(tǒng)辨識的應用及發(fā)展目前系統(tǒng)辨識已成為各門學科數(shù)學建模的現(xiàn)代工程方法，也是系統(tǒng)理論和現(xiàn) 代控制理論的重要分支。它被廣泛用于系統(tǒng)分析、設計、仿真、預報、控制、管 理和決策等等。隨著各門學科研究方法的日趨定量化和相關科學技術及其它理論 的快速發(fā)展，系統(tǒng)辨識理論和技術正在蓬勃發(fā)展，應用范圍不斷擴大。如果說， 對于系統(tǒng)辨識的過去式基本理論研究和一般工程應用階段，那么今后將是更深入 地研究和大范圍復雜工程應用，并廣泛滲透到醫(yī)學、環(huán)保、經(jīng)濟等工程領域。這 里非線性系統(tǒng)辨識，多變量開環(huán)或閉環(huán)系統(tǒng)辨識、高維數(shù)時變系統(tǒng)辨識、整體和 多級辨識以及辨識的可分離性理論與應用研究是及其重要的發(fā)展方向。5結論在設計系統(tǒng)時，系統(tǒng)還是不存在的，這樣就無法用辨識的方法來確定數(shù)學 模型。這種情況，只能依靠理論來分析的方法來建立數(shù)學模型。為設計提供依據(jù)。 在討論系統(tǒng)辨識的時候，不能否定理論方法