云南省曲靖市宣威市2021-2022學年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD2已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是

2、（ ）ABCD3給定下列四個命題：若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面相互平行；若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中，為真命題的是( )A和 B和 C和 D和4已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）ABCD5已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）ABCD6已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：函數(shù)的值域是；函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）ABCD7已知集合，則集合的非空子集個數(shù)是（ ）A2B3C7D

3、88已知函數(shù)，的零點分別為，則（ ）ABCD9已知a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（ ）A若，b，則B若，則C若，則D若，b，則11設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（ ）ABCD12已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知直線與圓心為的圓相交于兩點，且，則實數(shù)的值為_14正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為

4、，為中點，則三棱錐的體積為_15在的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項的值等于_16已知數(shù)列與均為等差數(shù)列（），且，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.18（12分）已知函數(shù)，.（）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，證明：19（12分）已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.（）解不等式f(x)1；（）當x0時，若函數(shù)g(x)(a0)的最小值恒大于f(x)，求實數(shù)a的取值范圍20（12

5、分）已知橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點,過的直線交橢圓于兩點(均異于左、右頂點).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線,為橢圓的右頂點. 若直線交于點，直線交于點，試判斷是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.21（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，求的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】求導，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩

6、個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，令，解得，故當時，當，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).2B【解析】由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點

7、到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應用.3D【解析】利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【詳解】當兩個平面相交時，一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面，故錯誤；由平面與平面垂直的判定可知正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故錯誤；若兩個平面垂直，只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一

8、個平面垂直，故正確綜上，真命題是.故選：D【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題4A【解析】首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調(diào)性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當時，.當時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當時，.”，所以令，得，因為，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.5A【解析】把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

9、化簡得答案【詳解】解：由，得，故選【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題6C【解析】化的解析式為可判斷，求出的解析式可判斷，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷，由得可判斷.【詳解】由題意，所以，故正確；為偶函數(shù)，故錯誤；當時，單調(diào)遞減，故正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問題.7C【解析】先確定集合中元素，可得非空子集個數(shù)【詳解】由題意，共3個元素，其子集個數(shù)為，非空子集有7個故選：C【點睛】本題考查集合的概

10、念，考查子集的概念，含有個元素的集合其子集個數(shù)為，非空子集有個8C【解析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，的零點為與，的交點，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，的零點，即為與，的交點，作出與，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.9D【解析】根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可【詳解】解：a，b，a，b，由ab，不一定有，與可能相交；反之，由，可得ab或a與b異面，a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且a，b，a，b，則“ab“是“”的既不充分也不必要條件故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性

11、質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題10C【解析】根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】A：當時，也可以滿足，b，故本命題不正確；B：當時，也可以滿足，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當，時，能得到，故本命題是正確的；D：當時，也可以滿足，b，故本命題不正確.故選：C【點睛】本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.11D【解析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排

12、除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別，此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況，本題屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于中等題.二、填空題：本題共4

13、小題，每小題5分，共20分。130或6【解析】計算得到圓心，半徑，根據(jù)得到，利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】，即，圓心，半徑.，故圓心到直線的距離為，即，故或.故答案為：或.【點睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。14【解析】試題分析：因為正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為為中點，所以底面的面積為，到平面的距離為就是底面正三角形的高，所以三棱錐的體積為考點：幾何體的體積的計算15【解析】利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為4n=1024, n=5,故的

14、展開式的通項公式為Tr+1=C35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.1620【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,因為,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為，所以.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15、。17（1），（）；（2）.【解析】（1）根據(jù)是等差數(shù)列，、成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），當時，.當時，.【點睛】此題等差數(shù)列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.18（）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析（）見解析【解析】（）根據(jù)題意，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進而研究零點個數(shù)問題；（）求導，由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，求出，利用導數(shù)結(jié)

16、合單調(diào)性和極值點，即可證明出.【詳解】解：（），當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上無零點；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上唯一零點；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；在區(qū)間上唯一零點；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.（），由（）知在無極值點；在有極小值點，即為；在有極大值點，即為，由，即，2，以及的單調(diào)性，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，由在單調(diào)遞減，得，即，故.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.19（）；（）?！窘馕觥浚ǎ┓诸愑懻摚サ艚^對值，求得原絕對值不等式的解集；（）由條件利用基本不等式求得，再由，求得的范圍【詳解】（）當時

17、，原不等式可化為，此時不成立；當時，原不等式可化為，解得，即；當時，原不等式可化為，解得.綜上，原不等式的解集是 （）因為，當且僅當時等號成立，所以.當時，所以所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想20（1）（2）定值為0.【解析】（1）根據(jù)直線方程求焦點坐標，即得c，再根據(jù)離心率得，（2）先設(shè)直線方程以及各點坐標，化簡，再聯(lián)立直線方

18、程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得結(jié)果.【詳解】（1）因為直線過橢圓的右焦點,所以，因為離心率為，所以，（2），設(shè)直線，則因此由得，所以，因此即【點睛】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21 (1)證明見解析 (2) 【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點又是的中點，連接，則因為平面，平面，所以平面（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系， 則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為， 同理可得平面的一個法向量為， 則 所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題22（1）最小正周期為，單