線性方程組的消元法和矩陣的初等變換分解

1、和矩陣的初等變換線性方程組的消元解法矩陣的初等變換第一章 線性方程組的消元法第一節(jié) 線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念1. 線性方程組的定義引例有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠 A1 、A2 、 A3，其年產(chǎn)量分別為40t ，20t 和 10t ，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶 B1、B2 ，其用量分別為 45t 和 25t引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠 A1 、A2 、 A3，其年產(chǎn)量分別為40t ，20t 和 10t ，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶 B1、B2 ，其用量分別為 45t 和 25t 不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為 1 元 ，問(wèn)各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？解設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如

2、表 1-2依題意，3個(gè)廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等：再來(lái)看總運(yùn)費(fèi)，由表1-1：12于是，題目要解決的問(wèn)題是：使之滿足方程組 和 并使總運(yùn)費(fèi)最少 . 幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個(gè)數(shù)為 n ，方程個(gè)數(shù)為 m ，則線性方程組可以寫成如下形式 ： 若常數(shù)項(xiàng)均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則 ，稱為非齊次線性方程組 .2. 線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個(gè)線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來(lái)兩個(gè)線性方程的和。線性方程乘常數(shù)將線性方程兩邊同乘以非零常數(shù) ，線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程的數(shù)乘。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別

3、稱兩個(gè)已知常數(shù) 再將所得的兩個(gè)方程相加，得到新方程： 得到一個(gè)新的線性方程：(3)稱為原來(lái)兩個(gè)方程(1)和(2)的一個(gè)稱為這個(gè)線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個(gè)線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對(duì)給定的兩個(gè)線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個(gè)方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個(gè)方程組等價(jià)，等價(jià)的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過(guò)程稱為同解變換。例1二、線性方程組的消元法求解線性方程組1、線性方程組的初等變換解用“回代”的方法求出解：于是解得(2)小結(jié)：1

4、上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍（以 替換 ）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換 （以 替換 ）（ 與 相互替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組 2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線

5、性方程組(化為階梯型方程組)2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)定理2在齊次線性方程組證明：顯然 ，方程組在化成階梯型方程組之后 ，方程個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)原方程組中方程個(gè)數(shù) ，即第二節(jié) 矩陣的初等變換 為了簡(jiǎn)化方程組的表達(dá)，可以省掉各個(gè)未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，把它們排成一個(gè)表，用這個(gè)表代替線性方程組，直接對(duì)這個(gè)表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達(dá)上可以更加簡(jiǎn)潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。1. 線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣及其初等變換對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常

6、數(shù)項(xiàng)按原位置可排為 由 個(gè)數(shù)排成的 m 行 n 列矩陣的數(shù)表稱為 m 行 n 列矩陣.簡(jiǎn)稱 矩陣.記作定義 1簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如是一個(gè) 實(shí)矩陣,是一個(gè) 復(fù)矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣.例如是一個(gè)3 階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱為 階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量). 稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如 的方陣,不全為0注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作 （4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作 或 .（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣

7、）. 同型矩陣與矩陣相等的概念 1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.全為1 2.兩個(gè)矩陣 為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣 相等,記作例如為同型矩陣.矩陣的轉(zhuǎn)置（1）定義 設(shè) 是一個(gè) 矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A （或AT ）即A =線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義 2等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià) 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義 3例1求解線性方程組解 ：用矩陣的初等行變換解方程組特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階 只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的例2求解方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，得顯然無(wú)解, 故方程組無(wú)解.例如，二 、用矩陣的初等變換化