奶制品加工計劃問題

1、奶制品的加工計劃問題一、加工問題一奶制品工廠用牛奶生產A1, A2兩種初級奶制品，它們可以直接出售，也可以分別加 工成B1，B2兩種高級奶制品再出售。按目前技術每桶牛奶可加工成2kgA1和3kgA2,每桶 牛奶的買入價為10元，加工費為5元，加工時間為15h。每千克A1可深加工成0.8kgB1， 加工費為4元，加工時間為12h；每千克A2可深加工成0.7kgB2，加工費為3元，加工時間 為10h。初級奶制品A1，A2的售價分別為10元/kg和9元/kg，高級奶制品B1，B2的售價 分別為30元/kg和20元/kg。工廠現(xiàn)有的加工能力為每周總共2000h。根據市場狀況，高級 奶制品的需求量占全部

2、奶制品需求量的20%至40%。試在供需平衡的條件下為該廠制定（一 周的）生產計劃，使利潤最大，并進一步研究如下問題：（1）工廠擬撥一筆資金用于技術革新，據估計可實現(xiàn)下列革新中的某一項：總加工能 力提高10%；各項加工費用均減少10%；初級奶制品A1，A2的產量提高10%； 高級奶制品 B1，B2的產量提高10%。問將資金用于哪一項革新，這筆資金的上限（對于一周）應為多 少？（2）該廠的技術人員又提出一項技術革新，將原來的每桶牛奶可加工成品2kgA1和 3kgA2變?yōu)槊客芭Ｄ炭杉庸こ?kgA1或6.5kgA2。假設其他條件都不變，問是否采用這項革 新，若采用，生產計劃如何？（3）根據市場經濟規(guī)律

3、，初級奶制品A1，A2的售價都要隨著二者銷售量的增加而減 少，同時，在深加工過程中，單位成本會隨著它們各自加工數(shù)量的增加而減少。在高級奶制 品的需求量占全部奶制品需求量20%的情況下，市場調查得到如下一批數(shù)據如下表。試根據 此市場實際情況對該廠的生產計劃進行修訂（設其他條件不變）。奶制品市場調查數(shù)據1手*匚3FC踞節(jié)EE7DPO氏售量21D,匚19U1.IbU頃19UIE. /14.二14.1 口 71 ；:11. c1 1. !1 1. Eir. r0. E七售價11. 3S. E13. C10. 811. 58. E13. CS. 29. 1七策二日丁量7ECUr JJU一凸n_UU&沫E

4、工貴1. n4. 053. 6日日3, 5FW沱2m在II 丁量招,UcUyu上，項1旭11JL頊項策小丁赍3. S3. 0一一 7二、初步分析本問題是將實際的奶制品生產計劃作為一個優(yōu)化問題來進行研究?？梢岳米顑?yōu)化理論 中的具體優(yōu)化方法進行求解。已知條件：1、A1，A2，B1，B2的售價分別為10，9， 30，20元/公斤。2、牛奶的買入和加工的總費用為10+5=15元/桶3、A1, A2的深加工費用分別為4, 3元/公斤。4、 每桶牛奶可加工成a1=2公斤A1和3公斤A2，每公斤A1可深加工成0.8公斤B1， 每公斤A2可深加工成0.7公斤B2。5、 每桶牛奶的加工時間為15小時，每公斤A

5、1，A2的深加工時間分別為12， 10小 時，工廠的總加工能力為t=2000小時。6、 B1, B2的市場需求量（即生產量）占全部奶制品的比例為20%40%。變量設定：1、 設 A1, A2, B1, B2 一周的銷售量為 x1, x2, x3, x4 桶；2、設A1, A2 一周的生產量為x5, x6桶；3、A1, A2深加工的數(shù)量為x7, x8桶；4、購買的牛奶數(shù)量x9桶三、基本問題求解在供需平衡的條件下為該廠制定（一周的）生產計劃，使利潤最大。不考慮牛奶桶數(shù)取整，即可以購買任意數(shù)量的牛奶，建立優(yōu)化模型如下。max = 10 x + 9x + 30 x + 20 x -15x - 4x -

6、 3x78(1) TOC o 1-5 h z 1234x = 2 x , x = 3 xx = 0.8x , x = 0.7xx = x + x , x = x + x51762815x +12x +10 x 0.2(x + x + x + x )341234(x + x ) 0,i = 1,2,3,.,9該問題為線性規(guī)劃，在Lingo中進行求解（程序代碼見附件），得到全局最優(yōu)解（Globaloptimal solution)：Objective value:2998.374VariableValueReduced CostX155.284550.000000X2204.87800.00000

7、0X365.040650.000000X40.0000000.000000X968.292680.000000X781.300810.000000X80.0000005.762602X5136.58540.000000X6204.87800.000000將所得結果的小數(shù)位進行適當?shù)氖÷?，則在模型（1）的情況下一周的生產計劃為：購買68.3桶牛奶，A1和A2的總產量分別為136.6公斤和204.9公斤，其中55.3公斤的 A1和全部的A2用于銷售，余下的81.3公斤A1深加工得到65.0公斤的B1。按照該計劃所 得收益為2998.4元。牛奶必須購買整數(shù)桶。在模型（1）基礎上加入乂9為整數(shù)的約束條

8、件，得到模型（2）。則該問題變成了混合型 整數(shù)規(guī)劃。采用分支定界算法（B-and-B），得到全局最優(yōu)解：Objective value:2992.667VariableValueReduced CostX154.333330.000000X2204.00000.000000X365.333330.000000X40.0000000.000000X968.00000-19.50000X781.666670.000000X80.0000006.333333X5136.00000.000000X6204.00000.000000將所得結果的小數(shù)位進行適當?shù)氖÷裕瑒t在模型（2）的情況下一周的生產計劃為

9、：購買68桶牛奶，A1和A2的總產量分別為136公斤和204公斤，其中54.3公斤的A1 和全部的A2用于銷售，余下的81.7公斤A1深加工得到65.3公斤的B1。按照該計劃所得收 益為2992.7元。略小于模型（1）的最優(yōu)值，兩種生產計劃差別不大。按照模型（2）最優(yōu)解安排生產時，生產時間為2000，相當于完全利用了生產能力。高 級奶制品占所有奶制品的比例為0.20，達到了最低比例，即高級奶制品生產得較少時有利于 提高利潤。四、進一步研究注：以下的各種計算均以模型（1）為基礎。技術革新資金應投入項目a）總加工能力提高10%，即t=2200小時。求解得到最大利潤為3298.2元。b）各項加工費用

10、均減少10%，即每桶牛奶加工費變?yōu)?.5元，A1、A2深加工費變?yōu)?3.6元和2.7元。最大利潤為3065.0元。c）初級奶制品A1，A2的產量提高10%，即一桶牛奶可以生產2.2斤A1和3.3斤A2。 最大利潤為3242.5元。d）高級奶制品B1，B2的產量提高10%，即一斤A1可生產0.88斤B1，一斤A2可生 產0.77斤B2。最大利潤為3233.8元。通過比較四種不同技術革新方案的最大利潤可知，將資金用于提高總加工能力可以 得到最大的收益。比較起未改革之前的收益增加了 3298.2-2998.4=299.8，約等于 300元，按照投資不出現(xiàn)虧損的要求，這筆資金的上限（對于一周）應為30

11、0元。加工技術革新將原來的每桶牛奶可加工成品2kgA1和3kgA2變?yōu)槊客芭Ｄ炭杉庸こ?kgA1或6.5kgA2。I |-t It- / 、 ft r f / .，3 X2 X, X 3xl 八、，X / 4 I_ X/ 6.5X ，t /、即將模型（1）中的約束條件19 29換為129，得到模型（3），問題仍然為線性規(guī)劃。在Lingo中計算得到經過加工技術革新后的最大利潤為3256.2。比未 經過技術革新的模型（2）所得利潤增加了 3256.2-2998.4=257.8元。相應的生產計劃為：購買64.2桶牛奶，其中21.6桶加工成86.5公斤的A1, 42.6桶加工成276.6公斤的A2，全

12、部人1加工成69.2公斤的B1，全部的A2用于銷售，即最后銷售的奶制品只有A2和B1兩種。 高級奶制品占所有奶制品的銷售比例是0.2,達到了最低比例?？偵a時間是2000小時，充 分利用了生產能力。市場調查的結果顯示了 A1、A2兩種奶制品的價格與兩者的聯(lián)合銷售量(x1、x2)有關， 而兩者的深加工費用分別與各自的深加工量有關。設 A1、A2 的價格 p1、p2 為 A1、A2 聯(lián)合銷量的函數(shù)，即 p1=p1(x1,x2)，p2=p2(x1,x2)；考慮到方法的效率和實用性，采用線性函數(shù)的形式對價格函數(shù)進行擬合。設售價函數(shù)的形式如下：p1(x1, x2)=a1+b1x1+c1x2p3(x1,

13、x2)=a2+b2x1+c2x2A1、A2的深加工費d1、d2分別為各自深加工量的函數(shù)，即d1=c1(x7)，d2=c2(x8)?？紤]到誤差和實用性，采用二次函數(shù)進行擬合。設深加工費函數(shù)的形式如下：d1=a3+b3x7+c3x7A2d2=a4+b4x8+c4x8A2采用最小二乘法對以上四個函數(shù)進行擬合，得到各個系數(shù)如下：a1=24.7299，b1=-0.0937，c1=-0.0356，R2=0.9933;a2=29.9575，b2=-0.0563，c2=-0.0839，R2=0.9873;a3=8.5879，b3=-0.1084，c3=0.000553，R2=0.9849;a4=7.3272，

14、b4=-0.0822，c4=0.000368，R2=0.9626。擬合的平方相關系數(shù)均在0.96以上，擬合效果比較好，可以認為基本反映了真實銷售 價格和深加工費用的變化。已知高級奶制品占市場需求20%，將變化后的銷售價和深加工費帶入到模型(1)中， 并更改相應的約束，得到新的優(yōu)化模型如下：max = p x + p x + 30 x + 20 x -15x - c x - c x TOC o 1-5 h z 1 12 23491 72 8x = 2x , x = 3xx = 0.8x , x = 0.7x3748模型(4)x = x + x , x = x + x51762815 x +12x +10 x 0,i = 1,2,3,.,9在Lingo中求解得到最優(yōu)解為:Objective value:3405.405VariableValueReduced CostX147.353840.000000X2175.48780.000000X355.710400.000000X40.0000000.000000X958.495920.000000X769.638000.00