復(fù)數(shù)知識(shí)框架

1、復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的兒何意義復(fù)數(shù)同四劉運(yùn)算方山匚高考要求數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引 入要求層 次重難點(diǎn)復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù) 相等的條件B了解數(shù)系的擴(kuò)充的基本過(guò)程與復(fù)數(shù)的概 念；掌握復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 的四則運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及 幾何意義A復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則 運(yùn)算C復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減法 的幾何意義A刖就 知識(shí)內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位i:它的平方等于-1,即i2 = -1；實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.i與一1的關(guān)系：i就是-1的一個(gè)平方根，即方程尤2 =1的一個(gè)根，方程尤2 =1的另一個(gè)根是-i.(4)i的周期性：i4n+1 = i , i4n+

2、2 = 1 , i4n+3 = i , i4n = 1.2 .數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)a + bi J實(shí)數(shù) a(b = 0)虛數(shù)a + bi(b。0)純虛數(shù)bi(a = 0)非純虛數(shù)a + bi(a A 0)3.復(fù)數(shù)的定義:形如a + bi(a,b e R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示 4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母乙表示，即z = a + bi (a, b e R)，把復(fù)數(shù)表示成a +布的形式，叫做 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)a + bi (a, b e R)，當(dāng)且僅當(dāng)b = 0時(shí)，復(fù)數(shù)a + bi (a

3、, b e R)是實(shí)數(shù)a ；當(dāng)b A 0時(shí)，復(fù)數(shù)z = a + bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a = 0且b A 0時(shí)，z = bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0三正實(shí)數(shù)I， 之是實(shí)數(shù)冰J 2實(shí)數(shù)0復(fù)數(shù)I上負(fù)實(shí)數(shù)3 屯虛數(shù)阮、旦點(diǎn)虛數(shù)(Q3,低R)、三曳非純虛數(shù)的虛數(shù)復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：N荷Z Q荷R C兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說(shuō)， 如果a，b，c，d e R，那么 a + bi = c + di o a = c,b = d二、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)z = a +貝a,beR)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,

4、b)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z = a + bi(a,b e R)可用點(diǎn)Z(a,b)表示， 這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，工軸叫做 實(shí)軸，J軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z = 0 + 0i = 0表示是實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).3.復(fù)數(shù)z = a + bi 一一對(duì)感復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)zi與z2的和的定義：z + z

5、= (a + bi)+ (c + di) = (a + c )+ (b + d )i 2.復(fù)數(shù)zi與z2的差的定義：zi - z2 = (a + bi)-(c + di)= (a - c)+(b - d)i3.復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z + z = z +z1221復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律:(z + z ) + z = z + (z + z )123123乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè) z = a + bi， z = c + di (a、b、c、 d e R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，12那么它們的積 z z =(a + bi)(c + di)= (ac 一bd)+(bc + ad)i其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩

6、個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i 2換成-1， 并且把實(shí)部與虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).乘法運(yùn)算律：z (z z )=(z z ) z12 31 23( z - z ) - z = z - (z - z )123123z1 (z+ zg= z1 z2 + z1 z3滿足(c + di)G + yi)= (a + bi)的復(fù)數(shù)x + yi (x、y e R)叫復(fù)數(shù)a + bi 除以復(fù)數(shù)c + di的商，記為：(a + bi) + (c + di)或者冬 c + di除法運(yùn)算規(guī)則:設(shè)復(fù)數(shù)a + bi (a、b e R)，除以c + di (c , d e R)，其商為 x + yi

7、(工、y e R),即(a + bi) + (c + di)= x + yi(x + yi)(c + di) = (cx - dy)+ (dx + cy)i得ac + bdx =c 2 + d 2bc 一 ady =c2 +d2.(cx - dy)+ (dx + cy)i = a + biI cx - dy = a, 由復(fù)數(shù)相等定義可知(，解這個(gè)方程組I dx + cy = b.ac + bd bc 一 ad .于是有：(a + bi) + (c + di) =+ic 2 + d 2 c 2 + d 2利用(c + di)(c - di)= c2 + d2于是將業(yè)的分母有理化得: c + di

8、原式=a + bi _(a + bi)(c 一 di) _ ac + bi - (-di) + (bc 一 ad)i c + di(c + di)(c 一 di)c 2 + d 2(ac + bd) + (bc 一 ad )i ac + bd bc 一 ad .=+ i.c 2 + d 2c 2 + d 2 c 2 + d 2.(a + bi) ：(c + di)= ac + b + bc-ad ic 2 + d 2 c 2 + d 2點(diǎn)評(píng):是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡(jiǎn)無(wú)理分式時(shí)，都是采用的分 母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)c+di與復(fù)數(shù)c-di，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的.3 + .J2 的對(duì)偶式提-克，它們之積 為1是有理數(shù)，而(c + di)(c - di)= c2 + d2是正實(shí) 數(shù).所以可以分母實(shí)數(shù)化.把這種方法叫做分母實(shí)數(shù)化法.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)